垂径定理教案（Word版）.doc

垂直于弦的直径教学目标：1、使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；2、掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；3、能初步应用垂径定理进行计算和证明。4、进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。教学重点： 1、垂径定理及应用；2、从感性到理性的学习能力。教学难点：垂径定理的证明教具准备：电脑，三角板，圆规教学过程：一、新课引入：请同学们回答下列问题：1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做_；这条直线叫做_。2、等腰三角形是轴对称图形吗？3、“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性。教师利用提问1，2的形式，复习轴对称图形的概念。提问3的目的是引出本节课的第一个知识点。在学生回答后，引导学生观察电脑演示将圆对折的情形。教师讲解将圆沿着一条直径对折，你观察到什么情况？这时学生回答，教师板书。圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。接着电脑继续演示，教师讲解：图1由图形（1）中CD为O的直径；变到图形（2）中在O上任意取一点A；再变到图形（3）从点A作直径CD的垂线交O于另一个交点B。这时我们可以看出图（3）中的点B与点A是否是对称点呢？A、B是关于什么对称。教师进一步提出当直径CD垂直于弦AB，将能得到什么结论呢？这就是本节学习的内容。“73垂直于弦的直径（一）”（板书课题）。教师这样引入课题的目的，使学生从认识上初步完成实验观察感性理性的认识过程。逐步学会从实践中引入、从现象中抽象、从事实中概括，从而激发学生的学习动机。二、新课讲解：为了使学生进一步通过实验的观察，很快地概括出本课的教学内容，由图形（1）可知CD所在直线是O的对称轴；到图形（2）从O上取一点A，过点A作直径CD的垂线交O于点B，得到图形（3），这时沿着CD折叠，引导学生观察重合部分，让学生猜想结论。通过实验观察猜想获得感性认识。这个实验结论是否正确呢？还需要证明。学生带着一种好奇心，积极主动参与到证明这个结论中去。学生回答证明过程，教师板书。已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。求证：AE=EB， = ， = 。证明：连结OA，OB，则OA=OB。又CDAB，直线CD是等腰OAB的对称轴，又是O的对称轴。所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合。因此，AE=BE， = ， = 。从而得到圆的一条重要性质。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理是由演示实验观察感性理性的全过程。为了使学生能够真正理解垂径定理，引导学生分析垂径定理的题设和结论，加深对定理的认识并强化用数学表达式表示出来：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。（2） （1） （3） （4） （5）把直径化分为（1）；把垂直于弦化分为（2）；把平分弦化为（3）；平分优弧化为（4）；平分劣弧化分为（5）。为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：题设：（1）过圆心；（2）垂直于弦；结论：（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。这样做目的是加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混。再仔细想一想：直径CD所在的直线经过五点（圆心O、垂足E、弦的中点E、优弧AB的中点C、劣弧AB的中点D）。由于两点确定一条直线，垂径定理不就是经过两点圆心O，垂足E的直线，必过弦的中点E，优弧AB的中点C，劣弧AB的中点D，显然为下一课讲它的推论打下伏笔。接着为了巩固垂径定理，引导学生完成下面两道题。例1 如图（2）已知在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。图（2）教师分析：要求O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OEAB于E，学生回答，教师板书计算过程。解：连结OA，作OEAB，垂足为EOEAB，AE=EBAB=8cm，AE=4cm又OE=3cm，在RtAOE中，O的半径为5cm教师强调：从例1可以知道作“弦心距”是很重要的一条辅助线，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样。hrda垂径定理应用，弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，和勾股定理联系起来。计算：涉及四条线段的长：弦长a，圆的半径r，弦心距d，弓形高h，关系：r = h + d ，r2 = d2 + （a）2例2 已知：如图（3），在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证:AC=BD例2由学生分析证明思路，学生板书证明过程。师生共同参与评价。练习1：教材P63中1题练习2：教材P63中2题练习1，2两道题教师把题打在幻灯片上，由学生上黑板分析思路，学生之间展开评价。这样做给学生充分的表现机会，不是老师牵着学生走，而是学生通过积极思维主动获得知识。图（3）最后找两名同学上黑板写出证明过程，其它同学在练习本上完成每小组派一名学生辅导有问题的学生，使不同层次的学生共同提高。三、课堂小结：小结由学生完成，教师进一步强调。1本节课学习的知识点（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理及应用。2方法上主要学习了（1）垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形。（2）在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线弦心距。（3）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足（1）过圆心；（2）垂直于弦；则可得（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。四、布置作业教学反思（1）本课符合学生的认识观：从现实观察感性理性，最后把知识推向高潮。（2）借助于电脑教学，动态效果强，激发学生的学习数学的热情。（3）把垂径定理划为五点，加深学生对定理的