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文档简介

13 2二重积分的计算方法 一 利用直角坐标计算二重积分 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D 则面积元素为 1 已知平行截面面积的立体的体积 注 二重积分转变为二次积分的推导过程借助于几何直观 略去了分析证明过程 2 用平面x x0截立体 截得A x0 应用计算 平行截面面积为已知的立体求体积 的方法 得 注意D的特殊之处 3 定理13 1 基本定理 函数f x y 在闭矩形区域D 可积 若每一个 若每一个 4 dc ab 如果积分区域为 5 6 如果积分区域为 其中函数 在区间上连续 X 型 X型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 7 如果积分区域为 Y 型 Y型区域的特点 穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 8 若区域如图 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割 对非X Y型区域 9 解 积分区域如图 10 解 积分区域如图 11 1 计算 其中D是直线y 1 x 2 及 y x所围的闭区域 解法1 将D看作X 型区域 则 解法2 将D看作Y 型区域 则 例3计算下列二重积分 12 解 13 解 X 型 14 4 计算 其中D是抛物线 所围成的闭区域 解 为计算简便 先对x后对y积分 及直线 则 15 解 16 6 计算 其中D是直线 所围成的闭区域 解 由被积函数可知 因此取D为X 型域 先对x积分不行 说明 有些二次积分为了积分方便 还需交换积分顺序 17 解 18 令y x u 交换积分次序 令u t 19 20 O1x y1 21 例7 解 先去掉绝对值符号 如图 22 o1x 23 o1x 24 25 例6 证 26 利用二重积分计算空间立体体积 27 例1 解 所求立体可以看成是一个曲顶柱体 它的曲顶为 底为 28 例2 求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积 解 设两个直圆柱方程为 利用对称性 考虑第一卦限部分 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 29 二 利用极坐标系计算二重积分 30 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 31 32 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 33 极坐标系下区域的面积 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 34 解 35 36 解 37 解 38 39 40 解 41 例5求由球面x2 y2 z2 4a2与柱面x2 y2 2ax所围立体的体积 解 x y o 42 43 44 解 D
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