小学数学基本思想方法与解题策略分析ppt课件

小学数学基本思想方法与解题策略分析 一 植树问题 题目 第四届教师解题比赛试题 1 48名学生在操场上做游戏 大家围成一个正方形 每边人数相等 四个顶点都有人 每边各有名学生 2 圆形滑冰场的一周全长是150米 如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯 一共需要装盏灯 思想方法 教材 四年级下册 数学广角 思想方法植树问题通常是指沿着一定的路线植树 这条路线的总长度被树平均分成若干段 间隔 由于路线的不同 植树要求的不同 路线被分成的段数 间隔数 和植树的棵数之间的关系就不同 在现实生活中类似的问题还有很多 比如公路两旁安装路灯 花坛摆花 站队中的方阵 等等 它们中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题 我们就把这类问题统称为植树问题 思想方法 教材 四年级下册 数学广角 思想方法在植树问题中 植树 的路线可以是一条线段 也可以是一条首尾相接的封闭曲线 比如正方形 长方形或圆形等等 即使是关于一条线段的植树问题 也可能有不同的情形 例如 两端都要栽 只在一端栽另一端不栽 或是两端都不栽 总数 间隔数总数 间隔数 1总数 间隔数 1 解答方法 1 48名学生在操场上做游戏 大家围成一个正方形 每边人数相等 四个顶点都有人 每边各有名学生 解答 48 4 1 13 2 圆形滑冰场的一周全长是150米 如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯 一共需要装盏灯 解答 150 15 10 二 抽屉 鸽巢 问题 题目 第四届教师解题比赛试题 3 把红 黄 蓝 白四种颜色的球各10个放入到一个袋子里 从中至少取出 个球 可以保证取到三个颜色相同的球 抽屉 鸽巢 原理 教材 六年级下册 数学广角 思想方法 抽屉原理 的两种形式 最简单的 抽屉原理 把m个物体任意分放进n个空抽屉里 m n n是非0自然数 那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体 抽屉原理 一般的形式 把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉里 k是正整数 那么一定有一个抽屉中放进了至少 k 1 个物体 解答方法 3 把红 黄 蓝 白四种颜色的球各10个放入到一个袋子里 从中至少取出 个球 可以保证取到三个颜色相同的球 解答 至少取出9个球 可以保证取到三个颜色相同的球 在这里 抽屉数 为4 K 1 3 K 2 2K 8 大于2K的整数最小为9 三 找次品 问题 题目 第四届教师解题比赛试题 4 有15盒饼干 其中的14盒质量相同 另有1盒少了几块 如果用天平称 至少称 次保证可以找出这盒较轻的饼干 思想方法 教材 五年级下册 数学广角 思想方法用天平 找次品 的最优策略主要基于以下两点 一是把待测物品分成3份 二是要分得尽量平均 能够均分的就平均分成3份 不能均分的 也应该使多的一份与少的一份只相差1 解答方法 4 有15盒饼干 其中的14盒质量相同 另有1盒少了几块 如果用天平称 至少称 次保证可以找出这盒较轻的饼干 15 5 5 5 5 2 2 1 2 1 1 称3次 四 鸡兔同笼 问题 题目 第四届教师解题比赛试题 5 在一个盒子里有大 小两种钢珠共30个 共重266克 已知大钢珠每个11克 小钢珠每个7克 这个盒中有大钢珠 个 有小钢珠 个 思想方法 教材 六年级上册 数学广角 思想方法 鸡兔同笼 问题教材主要介绍三种方法 列表 假设法和列方程 假设法 是一种算术方法 但有其独特的特点 是一个假设 计算 推理 解答的过程 列方程则是一种代数解法 根据数量关系列出方程并求解即可 解答方法 解法一 列表法 解法二 假设法 假设全部是大钢珠 则钢珠的重量为30 11 330 这样就多出330 266 64克 一只大钢珠比一个小钢珠多4克 64 4 16个小钢珠 大钢珠有14个 解法三 设大钢珠有个 11x 7 30 x 266 得x 14 五 等量替换问题 题目 第四届教师解题比赛试题 6 如图 中有三台天平 通过观察前两台天平可以发现5个 与3个 一样重 1个 与1个 和2个 一样重 这样可推知 1个 和1个 与个 一样重 图 思想方法 教材 三年级下册 数学广角 思想方法等量代换是指一个量用与它相等的量去代替 它是数学中一种基本的思想方法 也是代数思想方法的基础 等量替换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性 如果a b b c 那么a c 解答方法 6 由于1个 与1个 和2个 一样重 所以3个 与3个 和6个 一样重 又5个 与3个 一样重 即5个 与3个 和6个 一样重 也就是即2个 与6个 一样重 1个 和3个 一样重 再根据1个 与1个 和2个 一样重 这样可推知 1个 和1个 与8个 一样重 六 排列组合问题 题目 第四届教师解题比赛试题 13 六人参加乒乓球比赛 每两人赛一场 分胜负 无平局 最终他们胜的场数分别是a b b c d d 且 那么a等于 19 已知一个长方体的长 宽 高分别是10厘米 5厘米 5厘米 用6种不同的颜色来涂这个长方体的6个面 使不同的面涂有不同的颜色 共有种不同的涂法 注 将长方体任意旋转后仍然不同的涂色法 才被认为是不同的 思想方法 教材 三年级上册 数学广角 思想方法分类计数 加法 原理和分步计数 乘法 原理 分类计数原理 也称加法原理 完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 分步计数原理 也称乘法原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 思想方法 教材 三年级上册 数学广角 思想方法排列数 组合数 解答方法 13 六人参加乒乓球比赛 每两人赛一场 分胜负 无平局 则一共要比赛15场 即从6取2的组合数 并且最多胜5场 若a 3 则b 2 c 1 d 0 若a b b c d d 8 15 不合理 若a 4 则b最大为3 c最大为2 d最大为1 那么a b b c d d 14 15 不合理 因此a 5 19 2 4 6 5 4 3 2 4 2 90 七 枚举问题 题目 第四届教师解题比赛试题 7 在10个盒子中放乒乓球 每个盒子中球的个数不能少于11 不能是17 也不能是6的倍数 并且彼此不同 那么至少需要个乒乓球 15 有5种不同价格的礼品分别是2元 5元 8元 11元 14元以及5种不同价格的包装盒1元 3元 5元 7元 9元 一个礼品配一个包装盒 共能配成套不同价格的礼品 思想方法 枚举法 常常称之为穷举法 是指从可能的集合中一一枚举各个元素 用题目给定的约束条件判定哪些是无用的 哪些是有用的 能使命题成立者 即为问题的解 采用枚举法解题的基本思路 1 确定枚举对象 枚举范围和判定条件 2 一一枚举可能的解 验证是否是问题的解 解答方法 7 在10个盒子中放乒乓球 每个盒子中球的个数不能少于11 不能是17 也不能是6的倍数 并且彼此不同 那么至少需要个乒乓球 解答 根据条件列出满足条件的各数再求和 即 11 13 14 15 16 19 20 21 22 23 174 15 有5种不同价格的礼品分别是2元 5元 8元 11元 14元以及5种不同价格的包装盒1元 3元 5元 7元 9元 一个礼品配一个包装盒 共能配成套不同价格的礼品 方法一 一一列举后去掉重复的 25 6 19方法二 解 任意的搭配共有25种 其中有价格重复的情况 由于礼品和包装盒的价格分别是公差为3和2的等差数列 故当礼品和包装盒的价格分别差6时 会出现价格重复的情况 共有3 2 6种 所以不同价格的礼品共有25 6 19种 八 因数与倍数问题 题目 第四届教师解题比赛试题 8 在一条3000米长的新公路的一侧 从一端开始等距离立电线杆 按原设计 电线杆间隔50米 已挖好了坑 若间隔距离改为60米 则需要重新挖个坑 有个原来挖好的坑将废弃不用 14 一个数恰好有12个约数 且比1000大 那么满足条件的最小的自然数是 思想方法 求一个数因数的个数 先分解成质因数相乘的形式因数个数为 n1 1 n2 1 nk 1 解答方法 8 解答 3000 50 1 61 3000 60 1 51 50与60的最小公倍数是300 3000 300 1 11 51 11 40 61 11 50 答 则需要重新挖40个坑 有50个原来挖好的坑将废弃不用 解答方法 14 12 1 12 2 6 3 4 3 2 2 显然 这个数能被某个质数的幂 幂的次数最少是2 整除 由于22 4 32 9 52 25 72 49 考察1001 1002 1003 1005 1006 1007 1009 1010 1011均不能被4 9 25 49整除 1004 4 251 1008 9 112 9 8 7 32 23 7 其约数为3 4 2 24个 由于1012 22 11 23 其约数为3 2 2 12个 结果是1012 九 追及问题 题目 第四届教师解题比赛试题 11 甲 乙两人在400米跑道上练习长跑 甲的速度与乙的速度的比为5 3 若两人同时出发 则乙跑了圈时 甲比乙多跑了4圈 思想方法 两物体在同一直线或封闭图形上运动所涉及的追及 相遇问题 通常归为追及问题 追及 速度差 追及时间 追及路程相遇 速度和 相遇时间 相遇路程 解答方法 解答 本题的速度比为5 3 则在时间相同时跑的路程的比亦为5 3 设乙跑了x圈时 甲比乙多跑了4圈 则X X 4 得 6 十 有关几何求积问题 题目 第四届教师解题比赛试题 18 如右图 多边形ABCFDE中 AB 8 BC 12 ED DF 13 AE CF 则多边形ABCFDE的面积是 题目 第三届教师解题比赛试题 如图2 OEF中 OAB ABC BCD CDE DEF的面积都等于1 那么 阴影 CDF的面积为 十 有关几何求积问题 计算中常用的有关知识 等底等高的三角形面积相等 高相等的三角形面积的比等于底边长的比 策略转化策略特殊化策略 解答方法 解答 将图形作满足条件的特殊化改造 在AE 或AE的延长线上 CF 或CF的延长线上 取AE CF 3 5 过点E 和F 分别作AB和BC平行线 交于D 则D E 与D F 垂直且D E D F AB CF BC AE 8 3 5 12 3 5 13 则多边形ABCF D E 满足原题的条件 CF 3 5 D E 4 5 D F 8 5 多边形ABCF D E 的面积 8 12 4 5 8 5 96 38 25 57 75 因此多边形ABCFDE的面积是57 75 小学数学有关基础知识理论选讲 关于除法和有余除法除法定义 已知两个数a b 要求一个数q 使q与b的积等于a 这种运算叫做除法 但除数b不能是0 这是因为 如果b 0 那么 当a 0 由于任何数乘0都不可能等于非0数a 所以a 0商不存在 当a 0 由于任何数乘0都等于0 所以a b商是不确定的 小学数学有关基础知识理论选讲 关于除法和有余除法整除的定义整数a除以非0自然数b 如果存在整数q 能使a bq 这时叫做b能整除a 有余数除法已知整数a和b 要求两个整数q r 使q和r满足下列条件 a bq r 并且r b 这样的运算叫做有余数除法 记作a b q 余r 或a b q r q叫做不完全商 为简便也简称商 r叫做余数 小学数学有关基础知识理论选讲 数的整除特征一个整数能被某非0自然数整除的特征 这个数的各个数位上的数 与对应的10的幂除以这个自然数所得的余数的乘积之和能被这个数整除 如判断92715能不能被7整除 92715 9 104 2 103 7 102 1 10 5 100104 7 1428 4103 7 142 6102 7 14 210 7 1 39 4 2 6 7 2 1 3 5 70 7 70 所以 7 92715 小学数学有关基础知识理论选讲 循环小数与分数的互化定理 一个既约真分数的分母b只含有2和5以外的质因数 那么 这个分数化成的小数是纯循环小数 这个纯循环小数的循环节的最少位数 与分母b能整除99 9时9的最少个数t相同 t个 小学数学有关基础知识理论选讲 循环小数与分数的互化定理 一个既约真分数