2018年数一真题与答案.pdf

1 2018 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试卷 一 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选 项符合题目要求的 1 下列函数中 在0 x 处不可导的是 A sin f xxx B sin f xxx C cos f xx D cos f xx 答案 D 分析 因为 对选项 A 22 00000 0 sin limlimlimlimlim0 0 xxxxx f xfxxxx xf xxxx 对选项 B 0000 sin 0 limlimlimlim 0 0 xxxx xxxxf xfx xf xxxx 无穷小乘以有界量 对选项 C 2 0000 1 0 cos 11 2 limlimlimlim0 0 2 xxxx x f xfx xf xxx 对选项 D 2 0000 1 cos 1 0 1 2 limlimlimlim 2 xxxx x xf xfx xxxx 不存在 因此选择 D 2 过点 1 0 0 与 0 1 0 且与 22 zxy 相切的平面方程为 A 0z 与1xyz B 0z 与222xyz C yx 与1xyz D yx 与222xyz 答案 B 分 析 设 切 点 坐 标 为 x y z 则 法 向 量 为 2 2 1 xy 故 切 平 面 的 方 程 为 2 2 0 x Xxy YyZz 因为平面过点 1 0 0 与 0 1 0 故法向量与向量 1 1 0 垂直 因此有220 xy 即yx 将yx 带入 22 zxy 中 有 2 2zx 将点 1 0 0 带入平面方程有 22 2220 xxyz 2 由 可得0 0 0 xyz 或者1 1 2xyz 带回2 2 0 x Xxy YyZz 中 可确定平面方程为 0Z 或者222XYZ 因此选择 B 3 0 23 1 21 n n n n A sin1 cos1 B 2sin1cos1 C 3sin1cos1 D 3sin12cos1 答案 B 分析 00 23212 1 1 21 21 nn nn nn nn 00 211 1 2 1 21 21 nn nn n nn 00 11 1 2 1 2 21 nn nn nn cos12sin1 因此选择 B 4 设 2 2 2 2 1 1 x Mdx x 2 2 1 x x Ndx e 2 2 1cos Kx dx 则 A MNK B MKN C KMN D KNM 答案 C 分析 222 2222 222 2222 1 121 1 111 xxxx Mdxdxdxdx xxx 对于 2 2 1 x x Ndx e 因为1 x ex 所以11 x x e 故NM 对于 2 2 1cos Kx dx 因为1cos1x 故KM 因此KMN 因此选择 C 5 下列矩阵中 与矩阵 110 011 001 相似的为 3 A 111 011 001 B 101 011 001 C 111 010 001 D 101 010 001 答案 A 分析 对于 110 011 001 3 0EA 对于 A 3 0EA 对于 B 2 0EA 对于 C 2 0EA 对于 D 2 0EA 若两矩阵相似 要求它们的最小多项式相同 因此选择 A 6 设 A B为n阶矩阵 记 r X为矩阵X的秩 X Y表示分块矩阵 则 A r A ABr A B r A BAr A C max r A Br A r B D TT r A Br AB 答案 A 分析 因为AB的每一列可以由A的列向量组线性表出 因此 r A ABr A 因此选择 A 7 设 f x为某分布的概率密度函数 1 1 fxfx 2 0 0 6f x dx 则 0 P X A 0 2 B 0 3 C 0 4 D 0 6 答案 A 分析 因为 1 1 fxfx 所以说明 f x以1x 为对称轴 因此 1 1 2 P X 又因为 2 0 0 6f x dx 故由对称性可知 01 0 3PX 故 0 1 01 0 50 30 2P XP XPX 因此选择 A 8 给定总体 2 XN 2 已知 给定样本 12 n XXX 对总体均值 进行检验 4 令 0010 HH 则 A 若显著性水平0 05 时拒绝 0 H 则0 01 时也拒绝 0 H B 若显著性水平0 05 时接受 0 H 则0 01 时拒绝 0 H C 若显著性水平0 05 时拒绝 0 H 则0 01 时接受 0 H D 若显著性水平0 05 时接受 0 H 则0 01 时也接受 0 H 答案 D 分析 因为显著性水平0 05 的拒绝域为 0 0 025 X u n 而显著性水平0 01 的 拒绝域为 0 0 005 X u n 而 0 0 005 X u n 是 0 0 025 X u n 的子区间 因此要是落在 拒绝域 0 0 005 X u n 中 就一定会落在拒绝域 0 0 025 X u n 中 也就是说在显著性水 平0 01 时拒绝 0 H 则在0 05 时也拒绝 0 H 反之 在显著性水平0 05 时接受 0 H 则在0 01 时也接受 0 H 因此选择 D 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 共 24 分 9 已知 1 sin 0 1tan lim 1tan kx x x e x 则k 答案 2 分析 0 1 11 tan lim1 sin sin1 tan 0 1tan lim 1tan x x kx kxx x x e x 0 1 1 tan1 tan lim 1 tanx xx kxx e 0 12tan2 lim 1 tanx x kxxk eee 所以2k 因此填写2 10 设 曲 线 yf x 的 图 像 过 点 0 0 且 与 曲 线2xy 相 切 于 1 2 则 1 0 xfx dx 答案 2ln22 5 分析 由已知可得 0 0f 1 2f 1 2ln2 f 11 1 0 00 xfx dxxfxfx dx 1 1 0 2ln22fff 因此填写2ln22 11 设向量场 F x y zxyiyzjxzk 则 1 1 0 rotF 答案 ik 或者 1 0 1 分析 1 1 0 1 1 0 1 1 0 ijk rotFyizjxkik xyz xyyzxz 因此填写ik 或者 1 0 1 12 曲线S是曲面 222 1xyz 与平面0 xyz 的交线 则 S xyds 答案 1 3 分析 由于积分曲线对 x y z具有轮换性 因此 SSS xydsyzdszxds 又因为 2222 1 2 SS xyyzzx dsxyzxyz ds 111 11 222 SS dsds 乘以曲线的长度 因为两者交线为球的大圆 因此 1 2 2 S xyyzzx ds 因此所求 1 3 S xyds 因此填写 1 3 13 设二阶方阵A有两个不同特征值 二维列向量 1 和 2 是A的线性无关的特征向量 且 2 1212 A 则 A 答案 1 分析 由于 2 1212 A 因此说明1为 2 A的特征值 因此若A的特征值为 则有 2 1 因此A的特征值为 1 和1 故 1A 6 因此填写1 14 设随机事件 A B相互独立 A C相互独立 且BC 已知 1 2 P AP B 1 4 P AC ABC 则 P C 答案 1 4 分析 P ACABC P AC ABC P ABC P ACABACC P ABC P ABCAC P ABC P AC P ABP CP ABC 1 1 2 1 4 4 P C P C 解之可得 1 4 P C 因此填写 1 4 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 求不定积分 2 arctan1 xx eedx 分析与解答 本题是不定积分的计算题 用换元法和分部积分法来求解 令1 x et 则 2 1 x et 2 x e dxtdt 则原不定积分 2 arctan1 xx eedx 2 2222 2 222 223 3 2 2 2 1 arctan 111 1 arctan 1 221 11 1 arctan1 22 111 1 arctan 223 111 arctan1 1 1 223 xxxx tttdt tttdt t ttt dt ttttC eeeeC 16 本题满分 10 分 将长为 2 米的铁丝分成三段 依次围成圆 正方形与正三角形 三个图形的面积之和是否存 在最小值 若存在 求出最小值 分析与解答 本题是条件下球最值的问题 需要自己建立目标函数以及条件函数 7 设圆的面积为 2 1 Sx 对应的周长为2 x 设正方形的面积为 2 2 Sy 对应的周长为4y 设三角形的面积为 2 3 3 4 Sz 对应的周长为3z 则目标函数为 222 123 3 4 SSSSxyz 条件函数为2432xyz 令 222 3 2432 4 Lxyzxyz 则 220 240 3 30 2 24320 x y z Lx Ly Lz xyz 解之可得 1 43 3 x 2 43 3 y 2 3 43 3 z 此时 1 43 3 S 17 本题满分 10 分 设有空间曲面 22 1 33xyz 其方向与x轴的正方向的夹角为锐角 求 33 xdydzyz dxdzz dxdy 分析与解答 本题是第二类曲面积分的计算问题 通过补面利用高斯公式求解 在三重积 分部分需要采用的是柱面坐标求解 补面 1 22 0 1 3 x yz 方向向后 如图所示 则 33 xdydzyz dxdzz dxdy 11 3333 xdydzyz dxdzz dxdyxdydzyz dxdzz dxdy 22 1 33 yzdxdydz 2 3 21 3 2 3 000 1 3 r ddrrrdx 14 45 8 18 本题满分 10 分 设一阶常微分方程 yyf x 1 当 f xx 时 求该微分方程的通解 2 当 f x为周期函数时 证明该微分方程有通解与其对应 并且该通解也为周期函数 分析与解答 本题是一阶线性微分方程的求解问题 以及函数的周期性的证明 1 解方程yyx 则 1 1 xxxxx y xexe dxCexeCxCe 2 已知 f xTf x T为周期 则 yyf x 的通解为 0 x xx y xef x e dxC 则 0 x T x Tx y xTef x e dxC 0 00 0 x T xx TT x xuT T x xuuTuT TT ef x edxCe ef uT e duCexTu ef u e duf u e duCef u e duCe 令 这里也是一个常数 所以 y xT 也原方程的解 19 本题满分 10 分 设数列 n x满足 1 0 x 1 1 nn xx n x ee 1 2 n 证明 n x收敛 并求lim n n x 分析与解答 本题考查的是递推数列的极限存在证明与求解的问题 将 1n x 的形式或者 1n x e 解出本题即可求解 因为 1 0 x 1 1 nn xx n x ee 故数列 n x的每一项都是正的 又 1 11 nnn nnn xxx xxx n nn ex ee eee xx 令 1 0 xx f xexex 0 0 x fxxex 故 f x在 0 上单调减少 又 0 0f 9 所以 0 0 f xx 即10 nn xx n ex e 因此 1 0 nn xx ee 所以有 1nn xx 数列 n x单调减少 有下界0 x 故 n x收敛 设lim n n xA 所以 1 limlim 1 nn xx n nn x ee 即1 AA Aee 也就是 0f A 因此lim0 n n xA 20 本题满分 11 分 设实二次型 222 1231232313 f x x xxxxxxxax 其中a是参数 1 求 123 0f x x x 的解 2 求 123 f x x x的规范形 分析与解答 本题第一问的本质考察的是线性方程组的解的问题 第二问求标准形之后再 求规范形 1 由 123 0f x x x 可得 123 23 13 0 0 0 xxx xx xax 则 111102 011011 10002aa 当2a 时 123 0f x x x 的解为 1 2 3 0 0 0 x x x 当2a 时 123 0f x x x 的解为 1 2 3 2xk xk xk k为任意常数 2 当2a 时 123 f x x x的标准形为 222 123 zzz 当2a 时 222 1231232313 2 f x x xxxxxxxx 222 1231213 22626xxxx xx x 22 2131 11 2 6 22 xxxx 10 令 121 231 31 1 2 2 1 6 2 1 2 zxx zxx zx 则化原二次型为规范形 22 12 zz 21 本题满分 11 分 已知a是常数 且矩阵 12 130 27 a A a 可经初等列变换化为矩阵 12 011 111 a B 1 求a 2 求满足APB 的可逆矩阵P 分析与解答 本题考察的是矩阵的初等变换及其在矩阵的左侧或者右侧乘时对矩阵的影 响 同时本题需要利用近几年常考的矩阵方程来求解 1212103332427111000020 aaaa ABaa aa 矩阵A经初等列变换化为矩阵B 说明矩阵方程AXB 有解 1 因为 r Ar A B 所以2a 2 106344 012111 000000 AB 所以AXB 的全部解为 123 123 123 363636 121212 kkk Xkkk kkk 123 k k k为任意常数 其中可逆矩阵是全部解中一部分 要求 32 0Xkk 所以 123 123 123 363636 121212 kkk Pkkk kkk 其中 123 k k k为任意常数并且 23 kk 22 本题满分 11 分 已知随机变量 X Y相互独立 且 1 1 1 2 P XP X Y服从参数为 的泊松分布 设ZXY 1 求 Cov X Z 2 求Z的分布律 11 分析与解答 本题考察的是两个独立的离散型随机变量的相关问题 本题的第二问需要用 全概率公式求解 1 Cov X ZCov X XY 2 E XXYEXE XYE X YEXE XY 因为 X Y相互独立 所以 222