2020高考数学知识点合集.pdf

1 2019数学高考知识点综合 必修一 一 集合与函数概念 并集 由集合A 和集合 B 的元素合并在一起组成的集合 如果遇到重复的只取一次 记作 A B 交集 由集合A 和集合 B 的公共元素所组成的集合 如果遇到重复的只取一次记作 A B 补集 就是作差 1 集合 n aaa 21 的子集个数共有2 n 个 真子集有2 n 1 个 非空子集有2 n 1 个 非空的真子有2 n 2 个 集合的中元素的三个特性 1 元素的确定性 2 元素的互异性 3 元素的无序性 非负整数集 即自然数集 记作 N 正整数集 N 或 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 2 求 xfy的反函数 解出 1 yfx yx 互换 写出 1 xfy的定义域 函数图象关于y x 对称 3 函数定义域 分母不为0 开偶次方被开方数0 指数的真数属于R 对数的真数0 4 函数的单调性 如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 0 a 1 M 0 N 0 那么 NMMN aaa logloglog NM N M aaa logloglog loglogRnMnM a n a 4 换底公式 0 10 10 log log logbccaa a b b c c a 且且 1a10a 图 象 1 4 2 0 1 1 4 2 0 1 性 质 1 定义域 R 2 值域 0 3 过定点 0 1 即 x 0 时 y 1 4 在 R 上是增函数 4 在 R上是减函数 5 0 1 x xa 0 01 x xa 5 0 01 x xa 0 1 x xa 2 5 对数函数的图象和性质 8 幂函数 函数 xy叫做幂函数 只考虑 2 1 1 3 2 1的图象 9 方程的根与函数的零点 如果函数 xfy在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 0 bfaf 那么 函数 xfy在区间 a b 内有零点 即存在 bac 使得0 cf这个c就是方程0 xf的根 零点函数与x 轴的交点 必修二 一 直线平面简单的几何体 1 长方体的对角线长 2222 cbal 正方体的对角线长al3 2 球的体积公式 3 3 4 Rv 球的表面积公式 2 4 RS 3 柱体 锥体 台体的体积公式 柱体 V Sh S为底面积 h为柱体高 锥体 V Sh 3 1 S为底面积 h为柱体高 台体 V 3 1 S SS S h S S分别为上 下底面积 h为台体高 4 点 线 面的位置关系及相关公理及定理 1 四公理三推论 公理 1 若一条直线上有两个点在一个平面内 则该直线上所有的点都在这个平面内 公理 2 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 公理 3 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 推论一 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 推论二 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论三 经过两条平行直线 有且只有一个平面 公理 4 平行于同一条直线的两条直线平行 2 空间线线 线面 面面的位置关系 空间两条直线的位置关系 相交直线 有且仅有一个公共点 平行直线 在同一平面内 没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点 相交直线和平行直线也称为共面直线 空间直线和平面的位置关系 1 直线在平面内 无数个公共点 1a10a 图 象 2 5 1 5 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 1 0 1 1 2 5 1 5 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 1 0 1 1 性 质 1 定义域 0 2 值域 R 3 过定点 1 0 即 x 1 时 y 0 4 在 0 上是增函数 4 在 0 上是减函数 5 0log 1xx a 0log 10 xx a 5 0log 1xx a 0log 10 xx a 3 2 直线和平面相交 有且只有一个公共点 3 直线和平面平行 没有公共点 它们的图形分别可表示为如下 符号分别可表示为a a A a 空间平面和平面的位置关系 1 两个平面平行 没有公共点 2 两个平面相交 有一条公共直线 5 直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与平面内一条直线平行 那么该直线与这个平面平行 符号表示 a ba ab 图形表示 6 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 那么这两个平面平行 符号表示 a b abP a b 图形表示 7 直线与平面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行 经过这条直线的平面与已知平面相交 那么交线与 这条直线平行 符号表示 a aab b 图形表示 8 两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们交线的平行 符号表示 9 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么 这条直线垂直于这个平面 符号表示 10 两个平面垂直的判定定理 一个平面经过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直 符号表示 11 直线与平面垂直的性质 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 符号表示 a ab b 12 平面与平面垂直的性质 如果两个平面互相垂直 那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 符号表示 13 异面直线所成角 平移到一起求平移后的夹角 直线与平面所成角 直线和它在平面内的射影所成的角 如右图 14 异面直线所成角的取值范围是90 0 直线与平面所成角的取值范围是90 0 二面角的取值范围是180 0 两个向量所成角的取值范围是180 0 二 直线和圆的方程 1 斜率 tank k 直线上两点 222111 yxPyxP 则斜率为 2 直线的五种方程 1 点斜式 11 yyk xx 直线l过点 111 P xy 且斜率为 k 2 斜截式ykxb b 为直线l在 y 轴上的截距 3 两点式 11 2121 yyxx yyxx 111 P xy 222 P xy 12 xx 12 yy 4 截距式1 xy ab ab 分别为直线的横 纵截距 0ab 5 一般式0AxByC 其中 A B不同时为0 3 两条直线的平行 重合和垂直 1 若 111 lyk xb 222 lyk xb 1 l 1212 bkkl且 2 b 22121 bbkkll且重合时与 21 21 yy k xx abab ababP la lbl ll lm lml P H l 4 ax 2 bx c 0 a 0 1212 1llk k 2 若 1111 0lA xB yC 2222 0lA xByC 且 A1 A2 B1 B2都不为零 111 12 222 ABC ll ABC 121212 0llA AB B 4 两点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 的距离公式 P1P2 2 12 2 12 yyxx 5 两点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 的中点坐标公式M 2 21 xx 2 21 yy 6 点 P x0 y0 到直线 直线方程必须化为一般式 Ax By C 0的距离公式d 22 00 BA CByAx 7 平行直线Ax By C1 0 Ax By C2 0 的距离公式d 22 12 BA CC 8 圆的方程 标准方程 222 rbyax 圆心ba 半径为r 一般方程 22 0 xyDxEyF 配方 4 4 2 2 22 22FEDE y D x 04 22 FED时 表示一个以 2 2 ED 为圆心 半径为 FED4 2 1 22 的圆 9 点与圆的位置关系 点 00 P xy与圆 222 rbyax的位置关系有三种 若 22 00 daxby 则 dr点P在圆外 dr点P在圆上 dr点P在圆内 10 直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆 222 rbyax的位置关系有三种 0相离rd 0相切rd 0相交rd 其中 22 BA CBbAa d 11 弦长公式 若直线 y kx b 与二次曲线 圆 椭圆 双曲线 抛物线 相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 则由 二次曲线方程 y kx m 则知直线与二次曲线相交所截得弦长为 AB 2 12 2 12 yyxx 2 1k 21 xx 21 2 212 41xxxxk 21 2 21 2 21 2 4 1 1 1 1yyyy k yy k a acb k 4 1 2 2 13 空间直角坐标系 两点之间的距离公式 xoy 平面上的点的坐标的特征A x y 0 竖坐标 z 0 xoz 平面上的点的坐标的特征B x 0 z 纵坐标y 0 yoz 平面上的点的坐标的特征C 0 y z 横坐标x 0 x 轴上的点的坐标的特征D x 0 0 纵 竖坐标y z 0 y 轴上的点的坐标的特征E 0 y 0 横 竖坐标x z 0 z 轴上的点的坐标的特征E 0 0 z 横 纵坐标x y 0 P1P2 2 12 2 12 2 12 zz yy xx 14 立体几何中求点到平面的距离 建立直角坐标系 求平面的法向量 再用两点距离公式求 法向量与该点坐标 等体积法 将其看成一个四面体 顶点为所给点 另外三点为所给点射影平面上 将射影平面的三点构成的三角形为 底面三角形 再根据 锥体 V Sh 3 1 求出 h h 即为点到平面的距离 必修三 算法初步与统计 以下是几个基本的程序框流程和它们的功能 z y x F E D C B A X Y Z O 5 图形符号名称功能 终端框 起止框 表示一个算法的起始和结束 输入 输出框表示一个算法输入输出的信息 处理框 执行框 赋值 计算 语句 结果的传送 判断框 判断某一条件是否成立时 在出口处 标明 是 或 Y 不成立时标明 否 或 N 流程线连接程序框 流程进行的方向 连接点连接程序框图的两部分 注释框帮助注解流程图 循环框程序做重复运算 一 算法的三种基本结构 1 顺序结构 2 条件结构 3 循环结构 二 算法基本语句 1 输入语句 输入语句的格式 INPUT 提示内容 变量 2 输出语句 输出语句的一般格式 PRINT 提示内容 表达式 3 赋值语句 赋值语句的一般格式 变量 表达式 4 条件语句 1 IF THEN ELSE 语句 5 循环语句 直到型循环结构 DO LOOP UNTIL 语句 和当型循环结构 WHILE WEND 三 三种常用抽样方法 1 简单随机抽样 2 系统抽样 3 分层抽样 4 统计图表 包括条形图 折线图 饼图 茎叶图 四 频率分布直方图 具体做法如下 1 求极差 即一组数据中最大值与最小值的差 2 决定组距与组数 3 将数据分组 4 列频率分布表 5 画频率分布直方图 注 频率分布直方图中小正方形的面积 组距 频率 2 频率分布直方图 频率小矩形面积 注意 不是小矩形的高度 计算公式 频数 频率 样本容量 频数样本容量频率 频率 频率小矩形面积组距 组距 各组频数之和 样本容量 各组频率之和 1 3 茎叶图 茎表示高位 叶表示低位 折线图 连接频率分布直方图中小长方形上端中点 就得到频率分布折线图 4 刻画一组数据集中趋势的统计量 平均数 中位数 众数 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 将一组数据按照从大到小 或从小到大 排列 处在中间位置上的一个数据 或中间两位数据的平均数 叫做这组 数据的 中位数 5 刻画一组数据离散程度的统计量 极差 极准差 方差 1 极差一定程度上表明数据的分散程度 对极端数据非常敏感 2 方差 标准差越大 离散程度越大 方差 标准差越小 离散程度越小 聚集于平均数的程度越高 3 计算公式 标准差 方差 直线回归方程的斜率为b 截距为 a 即回归方程为 y b x a 此直线必过点 x y 6 频率分布直方图 在频率分布直方图中 各小长方形的面积等于相应各组的频率 方长方形的高与频数成正比 各组频数之和等于样本容量 频率之和等于1 五 随机事件 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件 一般用大写字母A B C 表示 随机事件的 概率 在大量重复进行同一试验时 事件A发生的频率总接近于某个常数 在它附近摆动 这时就把 这个常数叫做事件A的概率 记作P A 由定义可知0 P A 1 显然必然事件的概率是1 不可能事件的概率 是 0 222 12 1 n sxxxxxx n 2222 12 1 n sxxxxxx n 6 1 事件间的关系 1 互斥事件 不能同时发生的两个事件叫做互斥事件 2 对立事件 不能同时发生 但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件 3 包含 事件A 发生时事件B 一定发生 称事件A 包含于事件B 或事件 B 包含事件A 4 对立一定互斥 互斥不一定对立 2 概率的加法公式 1 当A和B互斥时 事件A B的概率满足加法公式 P A B P A P B A B互斥 2 若事件 A与 B为对 立事件 则A B为必然事件 所以P A B P A P B 1 于是有P A 1 P B 3 古典概型 1 正确理解古典概型的两大特点 1 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 2 每个基本事件出现的可能 性相等 2 掌握古典概型的概率计算公式 Am P A n 事件包含的基本事件个数 实验中基本事件的总数 4 几何概型 1 几何概率模型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率 模型为几何概率模型 2 几何概型的特点 1 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有无限多个 2 每个基本事件出现的可能性相 等 3 几何概型的概率公式 A P A 事件构成的区域的长度 面积或体积 实验的全部结果构成的区域的长度 面积或体积 必修四 一 三角函数 1 弧度制 1 180 弧度 1 弧度 1857 180 弧长公式 rl l为所对的弧长 r为半径 正负号的确定 逆时针为正 顺时针为负 2 三角函数 1 定义 y x x y r x r y cottancossin 22 yxr 3 特殊角的三角函数值 的角度030456090120135150180270360 的弧度0 64323 2 4 3 6 5 2 3 2 sin0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 010 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 101 tan0 3 3 13 3 1 3 3 0 0 4 同角三角函数基本关系式 1cossin 22 cos sin tan1cottan 5 诱导公式 众变横不变 符号看象限 正弦上为正 余弦右为正 正切一三为正 1 诱导公式一 2 诱导公式二 3 诱导公式三 tan2tan cos2cos sin2sin k k k tantan coscos sinsin tantan coscos sinsin 4 诱导公式四 5 诱导公式五 6 诱导公式六 tantan coscos sinsin sin 2 cos cos 2 sin sin 2 cos cos 2 sin 6 两角和与差的正弦 余弦 正切 S sincoscossin sin S sincoscossin sin 7 C sinsincoscos cos a C sinsincoscos cos a T tantan1 tantan tan T tantan1 tantan tan tan tan tan 1tantan tan tan tan 1tantan 7 辅助角公式 x ba b x ba a baxbxacossincossin 2222 22 sin sincoscos sin 2222 xbaxxba 8 二倍角公式 1 2 S cossin22sin 2 C 22 sincos2cos1cos2sin21 22 2 T 2 tan1 tan2 2tan 2 降次公式 多用于研究性质 2sin 2 1 cossin 2 1 2cos 2 1 2 2cos1 sin 2 2 1 2cos 2 1 2 2cos1 cos 2 9 在cot tan cos sinyyyy四个三角函数中只有cosy是偶函数 其它三个是寄函数 指数 函数 对数函数是非寄非偶函数 10 在三角函数中求最值 最大值 最小值 求最小正周期 求单调性 单调第增区间 单调第减区间 求对称轴 求对称中心点都要将原函数化成标准型 如 bxAy bxAy bxAy bxAy cot tan cos sin 再求解 11 三角函数的图象与性质 函数y sinx y cosx y tanx 图象 定义域 RR 2 Zkkxx 值域 1 1 1 1 R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 周期性22 单调性 在 2 2 22 kk Zk增 在 3 2 2 22 kk Zk减 在 2 2 kk Zk 增 在 2 2 kk Zk减 在 Zk 增 最值 当 Zkkx 2 2 时 1 max y 当 Zkkx 2 2 时 1 min y 当Zkkx 2时 1 maxy 当Zkkx 12 时 1 miny 无 对称性 对称中心 0 k Zk 对称轴 2 kx Zk 对称中心 0 2 k Zk 对称轴 kx Zk 对称中心 0 k Zk 对称轴 无 12 函数xAysin的图象 1 用 图象变换法 作图 由函数 yxsin 的图象通过变换得到 yAxsin 的图象 有两种主要途径 先平移后伸缩 与 先伸缩后平移 法一 先平移后伸缩 yxyxsinsin 向左或向右 平移个单位 00 纵坐标变为原来的倍 横坐标不变 A yAxsin 8 yxyxsinsin 向左或向右 平移个单位 00 1 sinyx 横坐标变为原来的倍 纵坐标不变 法二 先伸缩后平移 yxsi n 横 坐 标 变 为 原 来 的倍 纵 坐 标 不 变 1 纵坐标变为原来的倍 横坐标不变 A yAxsin 当函数 yAxsin A 0 0 x 0 表示一个振动量时 A 就表示这个量振动时离开平衡 位置的最大距离 通常把它叫做这个振动的振幅 往复振动一次所需要的时间 2 T 它叫做振动的周期 单位时 间内往复振动的次数 21 T f 它叫做振动的频率 x 叫做相位 叫做初相 即当x 0 时的相位 二 平面向量 1 平面向量的概念 1在平面内 具有大小和方向的量称为平面向量 2向量可用一条有向线段来表示 有向线段的长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示向量的方向 3向量的大小称为向量的模 或长度 记作 4模 或长度 为0的向量称为零向量 模为1的向量称为单位向量 5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量 记作a 6方向相同且模相等的向量称为相等向量 2 实数与向量的积的运算律 设 为实数 那么 1 结合律 a a 2 第一分配律 a a a 3 第二分配律 ba a b 3 向量的数量积的运算律 1 a b b a 交换律 2 a b a b a b a b 3 ba c a c b c 4 平面向量基本定理 如果 1 e 2 e 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 1 2 使得 a 1 1 e 2 2 e 不共线的向量 1 e 2 e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 5 坐标运算 1 设 2211 yxbyxa 则 2121 yyxxba 数与向量的积 1111 yxyxa 数量积 2121 yyxxba 2 设 A B两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 1212 yyxxAB 终点减起点 6 平面两点间的距离公式 1 A B d ABAB AB 22 2121 xxyy 2 向量a的模 a aaa 2 22 yx 3 平面向量的数量积 cosbaba 注意 00 a 00 a 0 aa 4 向量 2211 yxbyxa 的夹角 则 7 重要结论 1 两个向量平行 baba R ba 0 1221 yxyx 2 两个非零向量垂直0 2121 yyxxba 3 P分有向线段 21P P的 设 P x y P1 x1 y1 P2 x2 y2 且 21 PPPP 则定比分点坐标公式中点坐标公式 12 12 1 1 xx x yy y 12 12 2 2 xx x yy y 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy yxyxsinsin 向左或向右 平移个单位 00 9 三 空间向量 1 空间向量的概念 空间向量与平面向量相似 1在空间中 具有大小和方向的量称为空间向量 2向量可用一条有向线段来表示 有向线段的长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示向量的方向 3向量的大小称为向量的模 或长度 记作 4模 或长度 为0的向量称为零向量 模为1的向量称为单位向量 5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量 记作a 6方向相同且模相等的向量称为相等向量 2 实数与空间向量a的乘积a是一个向量 称为向量的数乘运算 当0时 a与a方向相同 当0时 a与a方向相反 当0时 a为零向量 记为0 a的长度是a的长度的倍 3 设 为实数 a b是空间任意两个向量 则数乘运算满足分配律及结合律 分配律 abab 结合律 aa 4 如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合 则这些向量称为共线向量或平行向量 并规定零向量与任何 向量都共线 5 向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a 0b b ab的充要条件是存在实数 使ab 6 平行于同一个平面的向量称为共面向量 7 向量共面定理 空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x y 使xyC 8 已知两个非零向量a和b 在空间任取一点 作a b 则称为向量a b的夹角 记作 a b 两个向量夹角的取值范围是 0 a b 9 对于两个非零向量a和b 若 2 a b 则向量a b互相垂直 记作ab 10 已知两个非零向量a和b 则cos a ba b称为a b的数量积 记作a b 即cos a ba ba b 零向量 与任何向量的数量积为0 11 a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影cos ba b的乘积 12 若a b为 非 零 向 量 e为 单 位 向 量 则 有1cos e aa eaa e 20aba b 3 a bab a b a bab 与 同向 与 反向 2 a aa aa a 4cos a b a b a b 13 量数乘积的运算律 1a bb a 2aba bab 3abca cb c 14 若空间不重合两条直线a b的方向向量分别为a b 则 abababR 异面垂直时0ababa b 15 若空间不重合的两个平面 的法向量分别为a b 则 abab 0aba b 16 直线l垂直 取直线l的方向向量a 则向量a称为平面的法向量 必修五 一 解三角形 1 三角形的面积公式 AbcBacCabSsin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2 正弦定理 CRcBRbARaR C c B b A a sin2sin2 sin2 2 sinsinsin 边用角表示 3 余弦定理 1 2 cos2 cos2 cos2 2222 222 222 cocCabbaCabbac Baccab Abccba 10 4 求 角 ab cba C ac bca B bc acb A 2 cos 2 cos 2 cos 222222222 5 直角三角形的内切圆半径 2 为斜边为直角边 cba cba r 一般三角形内切圆半径 s cba r 2 直角三角形外接圆半径 2 c r 二 数列 1 数列的前n 项和 nn aaaaS 321 数列前 n 项和与通项的关系 2 等差数列 1 定义 等差数列从第2 项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 1 daa nn 性质 等差中项 若a b c 成等差 则2b a c 若m npq m n p q 则 qpnm aaaa 若2npq n p q 则 qpn aaa2 2 通项公式 dnaan 1 1 其中首项是 1 a 公差是d 3 前 n 项和 n S d nn na aan dna n 2 1 2 0 1 1 1 d 0 4 等差中项 A是a与b的等差中项 或baA2 三个数成等差常设 a d a a d 3 等比数列 1 定义 等比数列从第2 项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 1 q a a n n 0q 性质 等比中项 若a G b成等比数列 则 2 Gab 若m npq 则 mnpq aaaa 若2npq 则 qpn aaa 2 2 通项公式 1 1 n n qaa 其中 首项是 1 a 公比是q 3 前 n 项和 4 等比中项 G是a与b的等比中项 即abG 2 或abG 等比中项有两个 4 数列求和的方法 1 套用公式法 等差数列求和公式 1 1 1 2