初中奥林匹克数学训练题.pdf

数学奥林匹克初中训练题12 第一试 一 选择题 每小题7分 共42分 1 某公路由上坡 平路 下坡三个等长的路段组成 已知一汽车在各路段 上行驶的平均速度分别为v1 v2 v3 则这部汽车在整段路面上的平均速 度为 A B C D 2 已知小王 小李两家相距16 km 小王骑自行车从家出发以12 km h作 匀速直线运动 小李骑助力车同时从家出发以24 km h作匀速直线运 动 20 min后 小王到达M地 小李到达N地 记M N两地的距离为 dkm 则d的取值为 A 4 B 20 C 4 12 20 28 D 4 28 3 有20个同学排成一行 若从左往右隔1人报数 小李报8号 若从右往左 隔2人报数 小陈报6号 那么 从小陈开始向小李逐人报数 小李报的 号数为 A 11 B 12 C 13 D 14 4 若M a b a b a b a b 则M的取值范围为 A 全体正数 B 全体非正数 C 全体负数 D 全体非负数 5 在凸四边形ABCD中 若AB大于其余三边 BC小于其余三边 则 BAD BCD的关系为 A BAD BCD D 不能确定 6 已知 ABC的三边长为8 12 18 又知 A1B1C1也有一边长为12 且与 ABC相似而不全等 则这样的 A1B1C1个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题 每小题7分 共28分 1 一个自行车轮胎 若安装在前轮 则行驶5 000 km后报废 若安装在后 轮 则行驶3 000 km后报废 如果行驶一定路程后交换前 后轮胎 使一 对新轮胎同时报废 那么 最多可行驶 km 2 联结矩形ABCD的对角线AC BD交于点E 过E作AB的垂线交AB于F 联结DF交AC于E1 过E1作AB的垂线交AB于F1 联结DF1交AC于E2 过 E2作AB的垂线交AB于F2 如此类推 则AF2 006 AB 3 4 如图 已知 ABC的两条中线AD BE交于点G 可得到8个图 形 ABD ACD BAE BCE GAB GAE GBD 四 边形CEGD 现从中任取两个图形 则这两个图形面积相等的概率为 第二试 一 20分 已知抛物线y x2与动直线y 2t 1 x c有公共点 x1 y1 x2 y2 且x21 x22 t2 2t 3 1 求t的取值范围 2 求c的最小值 并求出c取最小值时t的取值 二 25分 在等边 ABC内部任取一点P 联结PA PB PC 求证 必存 在PA PB PC中的两条线段 其长度m n满足 1 三 25分 将编号为1 2 18的18名 乒乓球运动员分配在9张球台上进行单打比赛 规定每张球台上两选手 编号之和均为大于4的平方数 请问这一规定能否实现 若规定不能实现 请给出证明 若规定能够实现 请说明实现方案是否唯一 数学奥林匹克初中训练题12参考答案 第一试 一 1 D 解法1 设整段公路长为3s 则三个不同路段的长度均为s 这部汽车在各 路段上行驶时间分别为ti s vi i 1 2 3 2 D 运动20 min 小王走了4 km 小李走了8 km M地在 以小王家为圆心 半径为4 km 的圆上 N地在 以小李家为圆心 半径为8 km 的圆上 如 图2所示 两圆的最近距离为16 4 8 4 km 两圆的最远距离为16 4 8 28 km 一般情况下 d的取值为4 d 28 3 A 解法1 由题知 小李在这个队列中排在 从左往右 的第2 7 1 15位 小 陈在这个队列中排在 从右往左 的第3 5 1 16位 即 从左往右 的第 20 16 1 5位 如图 所以 从小陈开始向小李逐人报数 小李报的号数为15 5 1 11 解法2 由题知 小李在这个队列中排在图4 从左往右 的第2 8 1 15位 小陈在这个队列中排在 从右往左 的第3 6 2 16位 如图4 所以 从小陈 开始向小李逐人报数 小李报的号数为 15 16 20 11 4 B 解法1 M a b a b a b a b a b a 2 b 2 a b 2 2 a a b a2 b2 a2 2ab b2 2 a a b a2 b2 2a a b 2 a a b 0 5 D 如图 取一个 ABCD 使 CBD为等腰直角三角形 作 CBD的外接圆 O 以D为圆心 DC为半径画弧交AB延长线于E 联结DE交 O于 C1 交BC于C2 在线段C1E内取点C3 联结BC1 BC3 则在四边形 ABCiD i 1 2 3 中 AB大于其余三边 BCi小于其余三边 有 BAD BC3D 6 C 设AB 8 BC 12 AC 18 由两三角形相似而不全等可设 AB A1B1 BC B1C1 AC A1C1 q 1 即 8 A1B1 12 B1C1 18 A1C1 q 1 由B1C1 12知 只能A1B1 12或A1C1 12 当A1B1 12时 q 2 3 得 A1B1C1三边长分别为12 18 27 当A1C1 12时 q 3 2 得 A1B1C1 三边长分别为16 3 8 12 此外 再没有第三种情况 所以 这样的 A1B1C1共有2个 说明 ABC与 A1B1C1有两条边 三个角共五个元 素相等 但不全等 二 1 3 750 设每个新轮胎报废时的总磨损量为k 则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 的磨损量为k 5 000 安装在后轮的轮胎每行驶1 km的磨损量为k 3 000 又设一对新轮胎交换位置前走了xkm 交换位置后走了ykm 分别以一个 轮胎的总磨损量为等量关系列方程 有 两式相加得x y 3 750 km 2 1 2 008 如图 由中位线定理得AF AB EF AD 又由 AE1F1在 AEF AE1D EE1F 有 AF1 F1F AE1 E1E AD EF 2 即 2 3 故AF1 AF AB 如此类推 有 AF AB AF1 AB AF2 AB AF2 006 AB 3 5 050 10 101 注意到 4 2 7 从8个图形中任取2个图形有8 7 2 28种取法 其中面积相等的有三种情 况 1 面积为 S ABC的三角形有4个 ABD ACD BAE BCE 得面积相等的图形4 3 2 6对 2 面积为S ABC的三角形有2个 GAE GBD 得面积相等的图形 1对 3 面积为 S ABC的图形有2个 GAB 四边形CEGD 得面积相等的 图形1对 共计面积相等的图形有8对 从而 取到两个图形面积相等的概 率为8 28 2 7 第二试 一 联立y x2与y 2t 1 x c 消去y得二次方程x2 2t 1 x c 0 有实数根x1 x2 由韦达定理得x1 x2 2t 1 x1x2 c 故c x1x2 x1 x2 2 x21 x22 2t 1 2 t2 2t 3 3t2 6t 4 把式 代入方程 得x2 2t 1 x 3t2 6t 4 0 1 t的取值应满足t2 2t 3 x21 x22 0 且使方程 有实数根 即 2t2 8t 7 0 解方程 得t 3或t 1 解方程 得2 2 t 2 2 所以 t的取值范围为2 2 t 2 2 2 由式 知c t 1 2 但由式 知t不能取到1 因而 比较自变量两端点 的函数值 所以 当t 2 2时 cmin 二 如图 将 PAB绕点B顺时针旋转60 得 P1CB PAB 联结 PP1 则P1C PA 等腰 BP1P为等边三角形 有P1P BP1 PB 故以PA PB PC为边可组成 P1PC 记 P1PC的三边为a b c 不妨设a b c 由 0 a b c a b c a b b c 可见 相加的两项当中 必有一项为负数 1 若 a b 0 则 b a 1 取a n b m 命题成立 2 若b c 0 则 c b 1 取b n c m 命题成立 综上得 必存在PA PB PC中的两条线段 其长度m n满足 m n 1 三 解法1 因为编号最大的两数之和为18 17 35 36 所以 同一张球 台上两选手编号之和只能取三个平方数 25 16 9 现设同一张球台上两 选手编号和为25 16 9的分别有x个 y个 z个 x y z均为非负整 数 依题意有 25x 16y 9z 1 2 18 x y z 9 x 0 y 0 z 0 即 16x 7y 9 x y z 171 x y z 9 x 0 y 0 z 0 得 16x 7y 90 x 0 y 0 z 0 又由0 x 90 16 6知 x只能取非负整数0 1 2 3 4 5 逐一代入检 验 可得方程唯一的非负整数解x 3 y 6 z 0 下面讨论9张球台上的 选手对阵情况 1 由x 3 知平方数为25只能有3个 而编号不小于16的3 个选手18 17 16对应的平方数又只能为25 故 两选手编号和为25 的 只能是 18与7对阵 17与8对阵 16与9对阵 2 由y 6 知去掉18 17 16 9 8 7后剩下的12个选手对应的平方数能且只能为16 有 1与15 对阵 2与14对阵 3与13对阵 4与12对阵 5与11对阵 6与10对阵 故 规定能够实现 且实现方案是唯一的 9张球台上选手对阵情况为 18 7 17 8 16 9 15 1 14 2 13 3 12 4 11 5 10 6 解法2 因为编号最大的两数之和为18 17 35 36 所以 同一张球台上 两选手编号之和只能取三个平方数 25 16 9 1 编号不小于16的3个选 手对应的平方数能且只能为25 有 18与7对阵 17与8对阵 16与9对阵 2 去掉18 17 16 9 8 7后剩下的12个选手中 因为1不能与8组成平 方数9 所以 1只能与15对阵 因为2不能与7组成平方数9 所以 2只