八年级下册数学第17章《勾股定理》单元测试题含答案.pdf

第 1 页 共 20 页 八年级下册 数学 第 17 章 勾股定理 单元测试题 含答案 八年级下册 数学 第 17 章 勾股定理 单元测试题 含答案 一 选择题 共 10 小题 1 下列各组数中 不是勾股数的是 A 3 4 6B 7 24 25C 6 8 10D 9 12 15 2 在 ABC 中 BC 6 AC 8 AB 10 则该三角形为 A 锐角三角形B 直角三角形 C 纯角三角形D 等腰直角三角形 3 如图 在边长为 1 个单位长度的小正方形网格中 点 A B 都是格点 即网格线的交点 则线段 AB 的长度为 A 3B 5C 6D 4 4 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理 创制了一副 弦图 后人称其为 赵爽弦图如图 由弦图变化得到 它是由八个全等的直角三角形拼接而成 记图中正方形 ABCD 正方形 EFGH 正方形 MNKT 的面积分别为 S1 S2 S3 若 S1 S2 S3 21 则 S2的值是 第 2 页 共 20 页 A 9 5B 9C 7 5D 7 5 如图 是 赵爽弦图 ABH BCG CDF 和 DAE 是四个全等的直角三角形 四边 形 ABCD 和 EFGH 都是正方形 如果 EF 4 AH 12 那么 AB 等于 A 30B 25C 20D 15 6 在我国古代数学著作 九章算术 勾股 章有一题 今有开门去阃 k n 一尺 不合二寸 问门广几何 大意是说 如图 推开双门 AD 和 BC 门边缘 D C 两点到门槛 AB 距离为 1 尺 1 尺 10 寸 双门间的缝隙 CD 为 2 寸 那么门的宽度 两扇门的和 AB 为 A 100 寸B 101 寸C 102 寸D 103 寸 7 2019 年 10 月 1 日 中华人民共和国 70 年华诞之际 王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学 们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式 倾听着雄壮的国歌声 目送着五星红旗级缓升起 不禁心潮澎湃 爱国之情油然而生 爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高 度 将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面 测得此时绳子末端距旗杆底端 2 米 然后将绳 子末端拉直到距离旗杆 5m 处 测得此时绳子末端距离地面高度为 1m 最后根据刚刚学习 的勾股定理就能算出旗杆的高度为 A 10mB 11mC 12mD 13m 8 如图 笑笑将一张 A4 纸 A4 纸的尺寸为 210mm 297mm AC AB 剪去了一个角 量得 CF 90mm BE 137mm 则剪去的直角三角形的斜边长为 A 50 mmB 120 mmC 160 mmD 200 mm 9 如图 铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇 QON 30 公路 PQ 上 A 处距 O 点 240 米 如果火车行驶时 周围 200 米以内会受到噪音的影响 那么火车在铁路 MN 上沿 ON 方向以 10 米 秒的速度行驶时 A 处受噪音影响的时间为 A 32 秒B 36 秒C 40 秒D 44 秒 10 如图 小明 视为小黑点 站在一个高为 10 米的高台 A 上 利用旗杆 OM 顶部的绳索 划 过 90 到达与高台 A 水平距离为 17 米 高为 3 米的矮台 B 那么小明在荡绳索的过程中离地 面的最低点的高度 MN 是 简单初中生 A 2 米B 2 2 米C 2 5 米D 2 7 米 二 填空题 共 8 小题 11 在 Rt ABC 中 C 90 AB 15 BC AC 3 4 则 BC 12 直角三角形的两边长为 3cm 4cm 则第三边边长为 13 如图 以 Rt ABC 的三边向外作正方形 其面积分别为 S1 S2 S3 且 S1 6 S3 15 则 S2 14 中国古代三国时期的数学家赵爽 创作了一幅 勾股弦方图 通过数形结合 给出了勾 股定理的详细证明如图 在 勾股弦方图 中 以弦为边长得到的正方形 ABCD 是由 4 个全等 的直角三角形和中间的小正方形组成 这一图形被称作 赵爽弦图 张天同学要用细塑料棒制 第 3 页 共 20 页 第 4 页 共 20 页 作 赵爽弦图 若正方形 ABCD 与正方形 EFCH 的面积分别为 169 和 49 则所用细塑料棒 的长度为 15 已知三角形三边长分别为 5 12 13 则此三角形的最大边上的高等于 16 如图所示的网格是正方形网格 则 PAB PBA 点 A B P 是网格线交点 17 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系 并标示了 A B C 三地的坐标 数据如图 单 位 km 笔直铁路经过 A B 两地 1 A B 间的距离为km 2 计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l 并在 l 上建一个维修站 D 使 D 到 A C 的距 离相等 则 C D 间的距离为km 18 如图 在离水面高度为 8 米的岸上 有人用绳子拉船靠岸 开始时绳子 BC 的长为 17 米 此人以 1 米每秒的速度收绳 7 秒后船移动到点 D 的位置 问船向岸边移动了米 假 设绳子是直的 三 解答题 共 4 小题 19 如图 在 Rt ABC 中 BAC 90 AB 4 AC 3 DE 垂直平分 AB 分别交 AB BC 第 5 页 共 20 页 于点 D E AP 平分 BAC 与 DE 的延长线交于点 P 1 求 PD 的长度 2 连结 PC 求 PC 的长度 20 如图 将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形 直角三角形 ABC 中 ACB 90 BC a AC b AB c 正方形 IECF 中 IE EC CF FI x 1 小明发明了求正方形边长的方法 由题意可得 BD BE a x AD AF b x 因为 AB BD AD 所以 a x b x c 解得 x 2 小亮也发现了另一种求正方形边长的方法 利用 S ABC S AIB S AIC S BIC可以得到 x 与 a b c 的关系 请根据小亮的思路完成他的求 解过程 3 请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理 简单初中生 21 为了积极响应国家新农村建设 遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员 如 图 笔直公路 MN 的一侧点 A 处有一村庄 村庄 A 到公路 MN 的距离为 600 米 假使宣讲 车 P 周围 1000 米以内能听到广播宣传 宣讲车 P 在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 1 请问村庄能否听到宣传 请说明理由 2 如果能听到 已知宣讲车的速度是 200 米 分钟 那么村庄总共能听到多长时间的宣传 第 6 页 共 20 页 22 有一架秋千 当它静止时 踏板离地的垂直高度 DE 1m 将它往前推送 6m 水平距离 BC 6m 时 秋千的踏板离地的垂直高度 BF 4m 秋千的绳索始终拉得很直 求绳索 AD 的长度 第 7 页 共 20 页 参考答案参考答案 一 选择题 共 10 小题 1 下列各组数中 不是勾股数的是 A 3 4 6B 7 24 25C 6 8 10D 9 12 15 分析 欲判断是否为勾股数 必须根据勾股数是正整数 同时还需满足两小边的平方和等 于最长边的平方 解答 解 A 32 42 62 不是勾股数 此选项正确 B 72 242 252 是勾股数 此选项错误 C 62 82 102 是勾股数 此选项错误 D 92 122 152 是勾股数 此选项错误 故选 A 2 在 ABC 中 BC 6 AC 8 AB 10 则该三角形为 A 锐角三角形B 直角三角形 C 纯角三角形D 等腰直角三角形 分析 根据勾股定理的逆定理解答即可 解答 解 在 ABC 中 BC 6 AC 8 AB 10 BC2 AC2 AB2 ABC 是直角三角形 故选 B 3 如图 在边长为 1 个单位长度的小正方形网格中 点 A B 都是格点 即网格线的交点 则线段 AB 的长度为 A 3B 5C 6D 4 分析 由勾股定理即可得出线段 AB 的长 解答 解 由勾股定理得 AB 5 故选 B 4 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理 创制了一副 弦图 后人称其为 赵爽弦图如图 由弦图变化得到 它是由八个全等的直角三角形拼接而成 记图中正方形 ABCD 正方形 EFGH 正方形 MNKT 的面积分别为 S1 S2 S3 若 S1 S2 S3 21 则 S2的值是 A 9 5B 9C 7 5D 7 分析 根据正方形的面积和勾股定理即可求解 解答 解 设全等的直角三角形的两条直角边为 a b 且 a b 由题意可知 S1 a b 2 S2 a2 b2 S3 a b 2 因为 S1 S2 S3 21 即 a b 2 a2 b2 a b 2 21 3 a2 b2 21 所以 3S2 21 S2的值是 7 故选 D 5 如图 是 赵爽弦图 ABH BCG CDF 和 DAE 是四个全等的直角三角形 四边 形 ABCD 和 EFGH 都是正方形 如果 EF 4 AH 12 那么 AB 等于 A 30B 25C 20D 15 分析 在直角三角形 AHB 中 利用勾股定理进行解答即可 解答 解 ABH BCG 简单初中生 BG AH 12 第 8 页 共 20 页 第 9 页 共 20 页 四边形 EFGH 都是正方形 HG EF 4 BH 16 在直角三角形 AHB 中 由勾股定理得到 AB 20 故选 C 6 在我国古代数学著作 九章算术 勾股 章有一题 今有开门去阃 k n 一尺 不合二寸 问门广几何 大意是说 如图 推开双门 AD 和 BC 门边缘 D C 两点到门槛 AB 距离为 1 尺 1 尺 10 寸 双门间的缝隙 CD 为 2 寸 那么门的宽度 两扇门的和 AB 为 A 100 寸B 101 寸C 102 寸D 103 寸 分析 画出直角三角形 根据勾股定理即可得到结论 解答 解 设 OA OB AD BC r 过 D 作 DE AB 于 E 则 DE 10 OE CD 1 AE r 1 在 Rt ADE 中 AE2 DE2 AD2 即 r 1 2 102 r2 解得 2r 101 故门的宽度 两扇门的和 AB 为 101 寸 故选 B 7 2019 年 10 月 1 日 中华人民共和国 70 年华诞之际 王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学 们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式 倾听着雄壮的国歌声 目送着五星红旗级缓升起 不禁心潮澎湃 爱国之情油然而生 爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高 度 将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面 测得此时绳子末端距旗杆底端 2 米 然后将绳 子末端拉直到距离旗杆 5m 处 测得此时绳子末端距离地面高度为 1m 最后根据刚刚学习 的勾股定理就能算出旗杆的高度为 A 10mB 11mC 12mD 13m 第 10 页 共 20 页 分析 根据题意画出示意图 设旗杆高度为 x 可得 AC AD x AB x 1 m BC 5m 在 Rt ABC 中利用勾股定理可求出 x 解答 解 设旗杆高度为 x 可得 AC AD x AB x 1 m BC 5m 根据勾股定理得 绳长的平方 x2 12 右图 根据勾股定理得 绳长的平方 x 1 2 52 x2 22 x 1 2 52 解得 x 11 故选 B 8 如图 笑笑将一张 A4 纸 A4 纸的尺寸为 210mm 297mm AC AB 剪去了一个角 量得 CF 90mm BE 137mm 则剪去的直角三角形的斜边长为 A 50 mmB 120 mmC 160 mmD 200 mm 分析 解答此题只要把原来的图形补全 构造出直角三角形解答 解答 解 延长 BE CF 相交于 D 则 EFD 构成直角三角形 运用勾股定理得 EF2 210 90 2 297 137 2 1202 1602 40000 所以 EF 200 则剪去的直角三角形的斜边长为 200mm 故选 D 9 如图 铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇 QON 30 公路 PQ 上 A 处距 O 点 240 米 第 11 页 共 20 页 如果火车行驶时 周围 200 米以内会受到噪音的影响 那么火车在铁路 MN 上沿 ON 方向以 10 米 秒的速度行驶时 A 处受噪音影响的时间为 A 32 秒B 36 秒C 40 秒D 44 秒 分析 过点 A 作 AC ON 利用锐角三角函数的定义求出 AC 的长与 200m 相比较 发现 受到影响 然后过点 A 作 AD AB 200m 求出 BD 的长即可得出居民楼受噪音影响的时间 解答 解 如图 过点 A 作 AC ON AB AD 200 米 QON 30 OA 240 米 AC 120 米 当火车到 B 点时对 A 处产生噪音影响 此时 AB 200 米 AB 200 米 AC 120 米 由勾股定理得 BC 160 米 CD 160 米 即 BD 320 米 火车在铁路 MN 上沿 ON 方向以 10 米 秒的速度行驶 影响时间应是 320 10 32 秒 故选 A 10 如图 小明 视为小黑点 站在一个高为 10 米的高台 A 上 利用旗杆 OM 顶部的绳索 划 过 90 到达与高台 A 水平距离为 17 米 高为 3 米的矮台 B 那么小明在荡绳索的过程中离地 面的最低点的高度 MN 是 第 12 页 共 20 页 A 2 米B 2 2 米C 2 5 米D 2 7 米 分析 首先得出 AOE OBF AAS 得出 OE BF AE OF 求出 OE OF AE BF CD 17 米 得出 EF EM FM AC BD 7 米 求出 BF OE 5 米 OF 12 米 得 出 CM CD DM CD BF 12 米 OM OF FM 15 米 由勾股定理求出 ON OA 13 米 进而求出 MN 的长即可 解答 解 作 AE OM 于 E BF OM 于 F 如图所示 则 OEA BFO 90 AOE BOF BOF OBF 90 AOE OBF 在 AOE 和 OBF 中 AOE OBF AAS OE BF AE OF OE OF AE BF CD 17 米 EF EM FM AC BD 10 3 7 米 OE OF 2EO EF 17 米 2OE 17 7 10 米 BF OE 5 米 OF 12 米 CM CD DM CD BF 17 5 12 米 OM OF FM 12 3 15 米 由勾股定理得 ON OA 13 米 MN OM OF 15 13 2 米 故选 A 二 填空题 共 8 小题 11 在 Rt ABC 中 C 90 AB 15 BC AC 3 4 则 BC 9 分析 设 BC 3x AC 4x 又其斜边 AB 15 再根据勾股定理即可得出答案 解答 解 设 BC 3x AC 4x 又其斜边 AB 15 9x2 16x2 152 解得 x 3 或 3 舍去 BC 3x 9 故答案为 9 12 直角三角形的两边长为 3cm 4cm 则第三边边长为5 或 分析 根据勾股定理分两种情况解答 一是把两边长都看作直角边 二是把 4cm 长边看 作斜边 根据勾股定理计算即可 简单初中生 解答 解 1 若把两边都看作是直角边 那么据已知和勾股定理 设第三边长为 xcm 则 x2 32 42 25 x 5 2 若把 4cm 长的边看作斜边 设第三边长为 xcm 则 x2 32 42 x2 42 32 7 x 故答案为 5 或 13 如图 以 Rt ABC 的三边向外作正方形 其面积分别为 S1 S2 S3 且 S1 6 S3 15 则 S2 9 分析 由三角形 ABC 为直角三角形 利用勾股定理列出关系式 结合正方形面积公式得 到 S3 S1 S2 即可求出 S2 的值 解答 解 ABC 为直角三角形 AB2 AC2 BC2 以 Rt ABC 的三边向外作正方形 其面积分别为 S1 S2 S3 且 S1 6 S3 15 S3 S1 S2 则 S2 S3 S1 15 6 9 第 13 页 共 20 页 故答案为 9 14 中国古代三国时期的数学家赵爽 创作了一幅 勾股弦方图 通过数形结合 给出了勾 股定理的详细证明如图 在 勾股弦方图 中 以弦为边长得到的正方形 ABCD 是由 4 个全等 的直角三角形和中间的小正方形组成 这一图形被称作 赵爽弦图 张天同学要用细塑料棒制 作 赵爽弦图 若正方形 ABCD 与正方形 EFCH 的面积分别为 169 和 49 则所用细塑料棒 的长度为100 分析 根据正方形的面积可得两个正方形的边长分别为 13 和 7 再根据勾股定理可求得 直角三角形的两条直角边长 进而求解 解答 解 正方形 ABCD 是由 4 个全等的直角三角形和中间的小正方形组成 AE BF AEB 90 正方形 ABCD 与正方形 EFCH 的面积分别为 169 和 49 AB 13 EF 7 在 Rt ABE 中 BE BF EF AE 7 根据勾股定理 得 AE2 BE2 AB2 即 AE2 AE 7 2 132 解得 AE 12 所以 BE 12 7 5 所以所用细塑料棒的长度为 4 AB AE 4 13 12 100 故答案为 100 15 已知三角形三边长分别为 5 12 13 则此三角形的最大边上的高等于 分析 根据勾股定理的逆定理 ABC 是直角三角形 利用它的面积 斜边 高 2 短边 短边 2 就可以求出最长边的高 解答 解 52 122 132 根据勾股定理的逆定理 ABC 是直角三角形 最长边是 13 第 14 页 共 20 页 设斜边上的高为 h 则 S ABC 5 12 13h 解得 h 故答案为 16 如图所示的网格是正方形网格 则 PAB PBA 45 点 A B P 是网格线交点 分析 延长 AP 交格点于 D 连接 BD 根据勾股定理得到 PD2 BD2 1 22 5 PB2 12 32 10 求得 PD2 DB2 PB2 于是得到 PDB 90 根据三角形外角的性质即可得到结论 解答 解 延长 AP 交格点于 D 连接 BD 则 PD2 BD2 1 22 5 PB2 12 32 10 PD2 DB2 PB2 PDB 90 DPB PAB PBA 45 故答案为 45 17 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系 并标示了 A B C 三地的坐标 数据如图 单 位 km 笔直铁路经过 A B 两地 1 A B 间的距离为20km 2 计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l 并在 l 上建一个维修站 D 使 D 到 A C 的距 离相等 则 C D 间的距离为13km 分析 1 由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出 AB 的长度 第 15 页 共 20 页 2 根据 A B C 三点的坐标可求出 CE 与 AE 的长度 设 CD x 根据勾股定理即可求出 x 的值 解答 解 1 由 A B 两点的纵坐标相同可知 AB x 轴 AB 12 8 20 2 过点 C 作 l AB 于点 E 连接 AC 作 AC 的垂直平分线交直线 l 于点 D 由 1 可知 CE 1 17 18 AE 12 设 CD x AD CD x 由勾股定理可知 x2 18 x 2 122 解得 x 13 CD 13 故答案为 1 20 2 13 18 如图 在离水面高度为 8 米的岸上 有人用绳子拉船靠岸 开始时绳子 BC 的长为 17 米 此人以 1 米每秒的速度收绳 7 秒后船移动到点 D 的位置 问船向岸边移动了9米 假 设绳子是直的 分析 在 Rt ABC 中 利用勾股定理计算出 AB 长 再根据题意可得 CD 长 然后再次利 用勾股定理计算出 AD 长 再利用 BD AB AD 可得 BD 长 解答 解 在 Rt ABC 中 CAB 90 BC 17 米 AC 8 米 AB 15 米 第 16 页 共 20 页 第 17 页 共 20 页 此人以 1 米每秒的速度收绳 7 秒后船移动到点 D 的位置 CD 17 1 7 10 米 AD 6 米 BD AB AD 15 6 9 米 答 船向岸边移动了 9 米 故答案为 9 三 解答题 共 4 小题 19 如图 在 Rt ABC 中 BAC 90 AB 4 AC 3 DE 垂直平分 AB 分别交 AB BC 于点 D E AP 平分 BAC 与 DE 的延长线交于点 P 1 求 PD 的长度 2 连结 PC 求 PC 的长度 简单初中生 分析 1 根据等腰直角三角形的性质解答 2 作 PF AC 于 F 根据角平分线的性质定理求出 PF 根据勾股定理计算即可 解答 解 1 DE 垂直平分 AB AD AB 2 AP 平分 BAC PAD BAC 45 DP AD 2 2 作 PF AC 于 F AP 平分 BAC PD AB PF AC PF PD 2 PAC 45 AF PF 2 FC AC AF 1 在 Rt PFC 中 PC 第 18 页 共 20 页 20 如图 将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形 直角三角形 ABC 中 ACB 90 BC a AC b AB c 正方形 IECF 中 IE EC CF FI x 1 小明发明了求正方形边长的方法 由题意可得 BD BE a x AD AF b x 因为 AB BD AD 所以 a x b x c 解得 x 2 小亮也发现了另一种求正方形边长的方法 利用 S ABC S AIB S AIC S BIC可以得到 x