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第三讲 空间位置关系与综合题目的向量解法 知识梳理 知识盘点 一 平行关系 1 所谓直线的方向向量 就是指 的向 量 一条直线的方向向量有 个 2 所谓平面的法向量 就是指所在直线与平面垂直的直线 一个平 面的法向量也有 个 1 线线平行 证明两条直线平等 只要证明这两条直线的方向向量 是 也可以证这两条直线平行于同一个平面的法向 量 2线面平行 证明线面平行的方法 1 证明直线的方向向量与平面的法向量 2 证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向 量 3 利用共面向量基本定理 即证明直线的方向向量与平面内的两个 不共线的向量是 3 面面平行的证明方法 1 转化为 处理 2 证明这两个平面的法向量是 二 垂直关系 4 线线垂直 证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量 是 5 线面垂直的证明方法 1 证明线面垂直的方法是证明这两条直线的方向向量 是 2 证明直线与平面内的 6 面面垂直的证明方法 1 转化为证明 2 证明这两个平面的法向量是 特别提醒 1 用向量证明立体几何问题 有两种基本思维 一种是用向量表示几何 量 利用向量的运算进行判断 别一种是用向量的坐标表示几何量 共 分为三步进行判断 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量 或坐标 表示问题中的点 线 面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量的运算 研究点 线 面之间的位置关系 3 根据运算结 果的几何意义来解释相关问题 2 用向量知识证明立体几何问题 仍然离不开立体几何定理 例如要 证明线面平行 只需要证明平面中的一条直线和平面内的一条直线平 行 即转化为证明线线平行问题 也就是用向量方法证明直线时 只需 要证明直线的方向向量共线即可 3 向量作为沟通 数 与 形 的桥梁 是利用数形结合解题的一种重要 载体 只有掌握了向量运算的各种几何意义 才能较好地利用向量这一 工具解决实际问题 4 以柱体 锥体为依托 考查空间中的线线 线面 面面关系 以及 角和距离是高考的 热点 在角题时 应深入挖掘里面的特殊关系 尤 其是垂直关系 建立空间直角坐标系 是解决此类问题的关键 基础闯关 1 正方体中 是的中点 是底面的中心 是棱上任意一点 则直线与 直线所成的角是 A B C D 与点的位置有关 2 在正方体中 是底面的中心 分别是棱 的中点 则直线 A 是与的公垂线 B 垂直于 但不垂直于 C 垂直于 但不垂直于 D 与 都不垂直 3 在正方体中 是异面直线和的公垂线 则直线与的关系是 A 异面直线 B 平行直线 C 垂直但不相交 D 垂直相交 4 空间中有四点 其中 且 则直线和 A 平行 B 平行或重合 C 必定相交 D 必定垂直 5 设是平面外一点 点满足 则直线与平面的位置关系 是 6 已知矩形中 平面 且 若在边上存在一点 使得 则的取值范围 是 典例精析 例1 已知是正三棱柱 是的中点 求证 平面 剖析 证明线面平行问题 可以有以下三种方法 1 利用线面平行 的判断定理 转化为线线平行问题 2 向量与两个不共线的向量共面的 充要条件是存在实数对 使得 利用共面向量基定理可以证明线面平行 问题 3 设为平面的法向量 要证明直线平面 只需要证明即可 解 证法一 建立如图所示的空间直角坐标系 设正三棱柱的底面 边长为 侧棱长为 z C x D y B A C1 B1 A1 则 从而 设平面的法向量 由 得 取 得 由 得 即平面 证法二 如图所示 记 则 共面 平面 平面 警示 利用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直关系问题 主 要运用了直线的方向向量与平面的法向量的 同时也要借助空间中已有 的一些关于平行 垂直的定理 另外 利用向量知识解题 一般不需要 添加辅助线 只是利用向量运算及向量基本定理 把要证明的直线或平 面用该平面内的向量表示即可 变式训练 1 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为 分别是和上 的点 求证 平面 N M D1 D C B A C1 B1 A1 例2 2006年山东高密调研 如图 在四棱锥P ABCD中 PD 底面 ABCD 底面ABCD为正方形 PD DC E F 分别是AB PB的中点 求证 EF CD 在平面PAD内求一点G 使GF 平面PCB 并证明你的结论 剖析 证明线线垂直问题 可以利用线线垂直的判定定理 或者证明 这两条直线的方向向量的内积为零 解 以DA DC DP所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标 系 如图 设AD a 则D 0 0 0 A a 0 0 B a a 0 C 0 a 0 警示 本题是一道开放型的综合题目 以四棱锥为载体 考查线线垂 直 线面垂直关系 对于此类问题 要掌握柱休与锥体特有的性质 关 系 在解题时要充分利用 从而找出隐含条件 促使问题的解决 变式训练 2 正方体的边长为4 分别是棱的中点 求证 平面平面 例3 2006年河南开封 已知正四棱柱中 分别为的中点 平面 I 求二面角平面角的正切值 II 求点到平面的距离 剖析 由于题设中条件中已知平面 而可知的方法向量即为平面的法 向量 解 1 如图建立坐标系 设 故 z A B C D x y A1 B1 C1 D1 M N 即 向量与面垂直 设与面BDN垂直 则 即 设所求二面角为 则 2 由 在向量方向上的投影为 所以到面的距离为 警示 若问题的题设中存在垂直关系时 建立空间直角坐标系大多较 为方便 如果不存在时 应选好基底进行运算 或采用传统的欧氏几何 法加以证明 变式训练 3 如图 PD垂直正方形ABCD所在平面 AB 2 E是PB的中 点 1 建立适当的空间坐标系 写出点E的坐标 2 在平面PAD内求一点F 使EF 平面PCB 例4 在正方体中 分别是的中点 1 证明 平面平面 2 在上求一点 使得平面 剖析 证明面面垂直通常有两种方法 一是利用面面垂直的判断定 理 转化为证明线面垂直 线线垂直的问题去证明 二是证明两个平面 的法向量互相垂直 解 1 建立如图所示的平面直角坐标系 不妨设正方体的棱长为 2 则 设平面的法向量为 则 z y x F E M D1 A1 C1 B1 D C B A 令 得 同理可得平面的法向量 平面平面 2 由于点在直线上 设 可得 要使平面 需有 解得 故当时 平面 警示 平面的法向量是指所在直线与平面垂直的问题 它在解决立体 几何问题中有着非常重要的应用 一个平面的法向量有无穷多个 一般 来说 我们只需求出其中最简单的一个即可 求法向量的方法一般是用 待定系数法 即设出平面法向量的坐标 然后根据与平面内的两个不共 线的向量都垂直 即数量积为0 建立方程组进行求解 变式训练 4 如图 ABCD是边长为的正方形 ABEF是矩形 且二面角CABF是 直二面角 G是EF的中点 求证平面 平面 求GB与平面AGC所成角的正弦值 例5 2006年湖北卷 如图 在棱长为1的正方体中 是侧棱上的一 点 试确定 使得直线与平面所成角的正切值为 在线段上是否存在一个定点 使得对任意的 在平面上的射影垂 直于 并证明你的结论 剖析 解决探索性题目的一般方法是假设存在 然后据此并结合已知 条件进行推理和计算 若没有矛盾 则假设成立 否则假设错误 也 就是说不存在 为此本题可先假设符合条件的存在 并结合已知条件进 行推导 解 建立如图所示的空间直角坐标系 则A 1 0 0 B 1 1 0 P 0 1 m C 0 1 0 D 0 0 0 B1 1 1 1 D1 0 0 1 所以 又由知 为平面的一个法向量 设AP与平面所成的角为 则 依题意有解得 故当时 直线AP与平面 所成的角的正切值为 若在A1C1上存在这样的点Q 设此点的横坐标为 则Q x 1 1 依题意 对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP 等 价于D1Q AP即Q为A1C1的中点时 满足题设要求 警示 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性的问题 它不 必进行复杂繁难的作图 论证和推理 只需要通过坐标运算进行判断 在解题过程中 往往把 是否存在 的问题 转化为 点的坐标是否有 解 是否有规定范围内的解 等等 所以使问题简单 有效地得以解 决 在复习中要注意运用这一方法解题 变式训练 5 2006年江西卷 如图 在三棱锥A BCD中 侧面ABD ACD是 全等的直角三角形 AD是公共的斜边 且AD BD CD 1 另一个侧面是正三角形 1 求证 ADBC D C B A 2 求二面角B AC D余弦值的大小 3 在线段AC上是否存在一点E 使ED与面BCD 成30角 若存在 确定E的位置 若不存在 说明理由 例6 2006年上海春 四棱锥中 底面是一个平行四边形 1 求证 底面 2 求四棱锥的体积 3 对于向量 定义一种运算 试计算的绝对值 说明其与四棱锥体积的关系 并由此猜测向量这一 运算的绝对值的几何意义 剖析 要证底面 只需证明是底面的一个法向量即可 解 1 又 是底面内的两条相交直线 底面 2 设与的夹角为 则 3 它是四棱锥体积的3倍 据此可以猜测 在几何意义上表示以为棱的平行六面体的体积 警示 本题是一道探索性的新定义题目 对应新定义问题的解决 一 定要读懂题目中所给出的定义 只有理角清楚了新定义的含义 才能准 确地解决该题 变式训练 6 2006年上海南汇区 直三棱柱ABC A1B1C1的底面为等腰直角三角 形 BAC 900 AB AC 2 AA 2 E F分别是BC AA1的中点 求 1 异面直线EF和A1B所成的角 2 直三棱柱ABC A1B1C1的体积 能力提升 1 若向量夹角的余弦值是 则的值为 A 2 B 2 C 2或 D 2或 2 直线的方向向量为 平面内两共点向量 下列关系中能表示的是 A B C D 以上均不能 3 以下向量中与向量a 1 2 3 b 3 1 2 都垂直的向量为 A 1 7 5 B 1 7 5 C 1 7 5 D 1 7 5 4 在正方体中 棱长为 分别是和上的点 则与平面的关系是 A 相交 B 平行 C 垂直 D 不能确定 5 已知斜三棱柱ABC A1B1C1的底 ABC为直角三角形 C 90 侧棱与底面成60 角 B1点在底面射影D为BC中点 若侧面A1ABB1与C1CBB1成30 的二面角 BC 2cm 则四棱锥A B1BCC1的体积是 8 设正四棱锥S ABCD的侧棱之长为 底面边长为 E 是SA的中点 则异面直线BE与SC所成的角等于 6 在空间四边形中 分别是和对 角线的中点 则平面与平面的位置 关系是 7 在正方体中 分别是与的中点 则与所成的角 为 9 在 正三棱 锥中 已知在棱上 且 若与平面所成的角为 则 10 已知三棱锥P ABC中 PA PC APC ACB 900 BAC 300 平面PAC 平面PBC 求证 平面PAB平面PBC 11 2007年高考新方案 如图所示 已知四棱锥P ABCD的底面是直角 梯形 ABC BCD 90 AB BC PB PC 2CD 侧 面PBC 底面ABCD 1 证明 PA BD 2 求二面角P BD C的正切值 3 求证 平面PAD 平面PAB 12 2006年山东济宁 如图 已知直三棱柱ABC A1B1C1 中 ABC 90 AB BC a AA1 2AB M为CC1上的点 当M在C1C上的什么位置时 B1M与平面AA1C1C所成的角为 30 在 的条件下求B到平面AMB1的距离 仿真训练 一 选择题 1 在下列命题中 若 共线 则 所在的直线平行 若 所在的 直线是异 面直线 则 一定不共面 若 三向量两两共面 则 三向量 一定也共面 已知三向量 则空间任意一个向量总可以唯一表示 为 其中正确命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 2 已知 A 15 B 5 C 3 D 1 3 已知 2 1 3 1 4 2 7 5 若 三向量共 面 则实数 等于 A B C D 4 直三棱柱ABC A1B1C1中 若 则 A B C D 5 已知 ABC的三个顶点为A 3 3 2 B 4 3 7 C 0 5 1 则BC边上的 中线长为 A 2 B 3 C 4 D 5 6 将正方形ABCD沿对角线BD折起 使得平面ABD平面BCD 若E 是CD的中点 则异面直线AE BC所成角的正切值为 A B C 2 D 7 已知为平面外一点 为的两条斜线段 若 与所成的角的差为 45 则的长为 A 4 B 6或8 C 4或6 D 8 8 已知 点Q在直线OP上运动 则当 取得最小值时 点Q的坐标 为 A B C D A B C C1 A1 B1 D1 F1 9 2006年广西柳州 如图 A1B1C1 ABC是直三棱柱 BCA 900 点D1 F1分别是A1B1 A1C1的中点 若BC CA CC1 则 BD1与AF1所成角的余弦值是 A B C D 10 在三棱锥A BCD中 AB CD 2 E F分别是AC BD的中点 且 EF 则AB与CD所成的角为 30 60 90 120 11 2007上海浦东 右图是一个正方体的表面展开图 A B C均为棱 的中点 D是顶点 则在正方体中 异面直线AB和CD的夹角的余弦值 为 B A C D A B C D 12 2006年黄冈 如图 在正三角形ABC中 D E F分别为各边的 中点 G H分别为DE AC的中点 将 ABC沿DE EF DF 折成三棱锥以后 BG与DH所成的角的余弦值为 A 0 B C D 二 填空题 13 若A m 1 n 1 3 B 2m n m 2n C m 3 n 3 9 三点共线 则m n 14 在空间四边形ABCD中 AC和BD为对角线 G为 ABC的重心 E 是BD上一点 BE 3ED 以 为基底 则 15 2005年山东模拟 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 且满足 则点到平面的距离是 16 在长方体中 和与底面所成的角