《变化率与导数》优质课ppt课件

变化率与导数 问题1气球膨胀率 在吹气球的过程中 可发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加得越来越慢 从数学的角度 如何描述这种现象呢 结论 随着气球体积逐渐变大 它的平均膨胀率逐渐变小 一 平均变化率 当空气容量从V1增加到V2时 气球的平均膨胀率是多少 问题2高台跳水 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态 那么 在0 t 0 5这段时间里 在1 t 2这段时间里 思考 求t1到t2时的平均速度 平均变化率 令 x x2 x1 f f x2 f x1 则 容易看出点B C之间的曲线较点A B之间的曲线更加 陡峭 如何量化陡峭程度呢 该比值近似量化B C之间这一段曲线的陡峭程度 称该比值为曲线在B C之间这一段平均变化率 B A C 说明 1 平均变化率就是 两点 x1 f x1 x2 f x2 连线的斜率 以直代曲思想 数形结合思想 平均变化率 一般的 函数在区间上的平均变化率为 其几何意义是表示曲线上两点连线 即曲线割线 的斜率 结论 例1 已知函数f x 2x 1 g x 2x 分别计算在区间 3 1 0 5 上f x 及g x 的平均变化率 例2 已知函数f x x2 分别计算f x 在下列区间上的平均变化率 1 1 3 2 1 2 3 1 1 1 4 1 1 001 4 3 2 1 2 001 5 0 9 1 6 0 99 1 7 0 999 1 变题 1 99 1 9 1 999 思考 为何趋近于2呢 2的几何意义是什么 数学应用 二 导数的概念 在高台跳水运动中 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 需要用瞬时速度描述运动状态 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 又如何求瞬时速度呢 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 求 从2s到 2 t s这段时间内平均速度 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 当 t趋近于0时 即无论t从小于2的一边 还是从大于2的一边趋近于2时 平均速度都趋近于一个确定的值 13 1 从物理的角度看 时间间隔 t 无限变小时 平均速度就无限趋近于t 2时的瞬时速度 因此 运动员在t 2时的瞬时速度是 13 1 表示 当t 2 t趋近于0时 平均速度趋近于确定值 13 1 从2s到 2 t s这段时间内平均速度 探究 1 运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示 2 函数f x 在x x0处的瞬时变化率怎样表示 定义 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 称为函数y f x 在x x0处的导数 记作 或 即 求导数一般方法 一差 二比 三极限 题1将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果第xh时 原油的温度 单位 为f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2h和第6h 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 解 在第2h和第6h时 原油温度的瞬时变化率就是 和 根据导数的定义 所以 同理可得 在第2h和第6h时 原油温度的瞬时变化率分别为 3和5 它说明在第2h附近 原油温度大约以3 h的速率下降 在第6h附近 原油温度大约以5 h的速率上升 例1 1 求函数y 3x2在x 1处的导数 2 求函数f x x2 x在x 1附近的平均变化率 并求出在该点处的导数 3 质点运动规律为s t2 3 求质点在t 3的瞬时速度 典例分析 1 曲线的切线 如图 曲线C是函数y f x 的图象 P x0 y0 是曲线C上的任意一点 Q x0 x y0 y 为P邻近一点 PQ为C的割线 PM x轴 QM y轴 为PQ的倾斜角 P Q 割线 切线 T 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时 割线PQ绕着点P逐渐转动的情况 我们发现 当点Q沿着曲线无限接近点P即 x 0时 割线PQ有一个极限位置PT 则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线PQ的斜率 称为曲线在点P处的切线的斜率 即 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数平均变化率的极限 注意 曲线在某点处的切线 1 与该点的位置有关 2 要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线 因此 切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 1 先利用切线斜率的定义求出切线的斜率 2 利用点斜式求切线方程 例2 已知曲线上一点P 1 2 用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程 故过点P的切线方程为 y 2 1 x 1 即y x 1 练习 求曲线上一点P 1 1 处的切线方程 答案 y 3x 4 即点P处的切线的斜率等于4 2 点P处切线方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 练习 如图已知曲线上一点 求 1 点处的切线斜率 2 点处的切线方程 小结