分类与整合思想例析.doc

分类与整合思想例析1.分类与整合的思想的含义分类与整合的思想,就是当问题所给的对象因一些不确定的因素而不能进行统一研究时 (如不能用同一种标准,或同一种运算,或同一个类型,或同一个定理,或同一种方法去解决等),就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略. 分类讨论既是一种重要的数学方法，也是一种重要的数学思想由于有关分类讨论的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，并能训练人的思维的条理性与概括性，因而在高考试题中往往占有较大的比重 对问题实行分类与整合,确定分类标准后等于增加了一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.2.运用分类与整合思想解题的基本步骤：确定标准合理分类逐类讨论归纳总结。 (1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论； (2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)； (3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； (4)归纳总结：将各类情况总结归纳3.明确引起分类讨论的原因，有利于掌握分类整合的思想方法解决问题.分类讨论的主要原因有： (1)由数学概念引起的分类讨论：有些数学概念本身就是以分类形式定义的，如直线与平面所成的角、三角函数值所在象限的符号、绝对值等有些数学概念本身也有一定的限制，如直线的斜率 ，二次曲线中又包括椭圆、双曲线及抛物线，如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的斜率与倾斜角、两条直线所成的角，指数函数,对数函数,空集，直线的截距式等. (2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响，三角函数的定义域，一元二次方程解的情况是按“”的正负给出的等；(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学性质、定理、公式是分类给出的,在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否分类讨论。如等比数列的前n项和公式，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的单调性，等。(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图像类型，位置需要分类，如角的终边所在的象限，立体几何中的点线面的位置关系，二次函数对称轴位置的变动，函数问题中区间的变动，函数图象形状的变动，直线由斜率引起的位置变动，圆锥曲线由焦点引起的位置变动或离心率引起的形状变动等。 (5)由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，如含参数的函数，方程，不等式，由于 参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法； (6)由实际意义引起的分类讨论，如排列、组合问题，应用问题等.4.其他1.数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立. 这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论. 常见的“个别”情形略举以下几例（1）“方程ax2+bx+c=0有实数解”转化为“=b24ac0 ” 时忽略了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为0；（2）等比数列a1qn1的前n项和公式Sn=中有个别情形：q=1时，公式不再成立，而是Sn=na1；（3） 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别 情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑；（4）若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为 ，但有个别情形：a=0时，则不能如此设，应另行考虑. 2.分类讨论问题已成为高考考查学生知识与能力的热点问题，这是因为： 其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识的考查； 其二，解分类讨论问题要有一定的分析能力、一定的分类思想与分类技巧，有利于对学生能力的考查； 其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关. 3.分类讨论要注意的几点： 在运用分类讨论解题时，我们要明确分类的原因是什么？对象是什么？分几个类别？不仅要掌握分类的原则，而且要把握分类的时机，重视分类的合理性与完整性。 (1) 根据问题实际，做到分类不重复、不遗漏; (2) 熟练地掌握基本知识、基本方法和基本技巧，并做到融会贯通，是解好分类讨论问题的前提条件; (3) 不断地总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性; (4) 要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程4.分类原则：施行分类的集合的全集必须是确定的；每一次分类的标准必须是统一的；分类必须是完整的，不出现遗漏；各子集必须是互斥的，不出现重复；实行多次分类时，必须逐级进行，不得越级5.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体确定分类标准，正确进行分类；逐步进行讨论，获取阶段性结果；归纳小结，综合得出结论5解题时严把“四关”：基础关深刻理解基本知识与基本原理；分类关找准划分标准；逻辑关分类条理分明，层次清晰；检验关注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍6.分类讨论的类型：1.问题中含有需要讨论的变量或参数时，要进行分类讨论。2. 问题中的条件是分类给出的，要进行分类讨论。3.解题过程不能同一叙述的，必须要进行分类讨论。4.有关几何问题中，几何元素的形状，位置的变化，需要进行分类讨论。7.简化分类的策略 由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述繁琐，且极易