北师大版选修4_52020学年高中数学模块综合测试卷2

模块综合检测题(二)时间120分钟满分150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1不等式|2x1|2Bx|x2Cx|1x1答案C2设a，bR，下面的不等式能成立的是()Aa23abb2 BabababC.b，c1，则algcblgc；若ab，c0，则algcblgc；若ab，则a2cb2c；若ab0，则.其中正确命题的个数为()A1 B2C3 D4答案C解析正确，c1时，lgc0；不正确，0c1时，lgc0；正确，ab.4已知pa，qa24a(a2)，则()Apq Bp0，p224，而q(a2)24，由a2，可得qq.5ab0，下列不等式恒成立的是()A.Cab Daabb答案B解析ab0，2ab0，a2b0，00.1.因此A不能恒成立(a)(b)(ab)()(ab).ab0，ab0，ab0.而ab1的符号不能确定，故C不正确当a，b时，aabb，故D不正确，综上选B.6若P，Q，R，则P，Q，R的大小顺序是()APQR BPRQCQPR DQRP答案B7用数学归纳法证明“n1(nN*)”第二步证nk1时(n1已验证，nk已假设成立)，这样证明：(k1)1，所以当nk1时，命题正确此种证法()A是正确的B归纳假设写法不正确C从k到k1推理不严密D从k到k1推理过程未使用归纳假设答案D8当0x0且tanx时取等号，故选C.方法二：f(x)(02x0，故选C.9若a0，则使不等式|x4|x3|a在R上的解集不是空集的a的取值范围是()A0a0 D以上均不对答案C10设x0，y0，且xy4，则下列不等式中恒成立的是()A. B.1C.2 D.答案D解析因为x0，y0，所以xy2.又因为xy4，所以24.0xy4.11已知x，y，zR，且1，则x的最小值是()A5 B6C8 D9答案D解析x()(x)()29.12一组实数为a1，a2，a3，设c1，c2，c3是另一组数b1，b2，b3的任意一个排列，则a1c1a2c2a3c3的()A最大值为a1b1a2b2a3b3，最小值为a1b3a2b2a3b1B最大值为a1b2a2b3a3b1，最小值为a1b3a2b1a3b2C最大值与最小值相等为a1b1a2b2a3b3D以上答案都不对答案D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13若不等式|x1|a成立的充分条件是0x0时(2)因为(adbc)20，所以a2d2b2c22abcd，所以命题成立解析根据分析法的原理，及后续证明提示，可知在(1)处需要对acbd的正负讨论；对于(2)处需要考虑前面证明步骤成立的条件，及结论的写法16对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_答案5解析|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)是R上的增函数，a，bR.(1)若ab0，求证f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论解析(1)因为ab0，所以ab，已知f(x)是R上的增函数，所以f(a)f(b)，又ab0ba.同理f(b)f(a)，两式相加，可得f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命题的逆命题成立逆命题：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.下面用反证法证明，设ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)，这与已知矛盾，故有ab0成立从而逆命题成立18(本小题满分12分)(2015陕西)已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4(1)求实数a，b的值；(2)求的最大值解析(1)由|xa|b，得bax2的解集；(2)若不等式f(x)a(x)的解集非空，求实数a的取值范围解析(1)原不等式等价于或或解得不等式的解集为(，)(3，)(2)f(x)|x1|x3|f(x)图像如图所示，其中A(1，1)，B(3，2)，直线ya(x)绕点(，0)旋转，由图可得不等式f(x)a(x)的解集非空时，a的取值范围为(，)，)20(本小题满分12分)设an1(nN)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1a2a3an1g(n)(an1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论解析假设g(n)存在，那么当n2时，由a1g(2)(a21)，即1g(2)(11)，所以g(2)2；当n3时，由a1a2g(3)(a31)，即1(1)g(3)(11)，所以g(3)3，当n4时，由a1a2a3g(4)(a41)，即1(1)(1)g(4)(11)，所以g(4)4，由此猜想g(n)n(n2，nN)下面用数学归纳法证明：当n2，nN时，等式a1a2a3an1n(an1)成立(1)当n2时，a11，g(2)(a21)2(11)1，结论成立(2)假设当nk(k2，nN)时结论成立，即a1a2a3ak1k(ak1)成立，那么当nk1时，a1a2ak1akk(ak1)ak(k1)akk(k1)ak(k1)1(k1)(ak1)(k1)(ak11)，说明当nk1时，结论也成立，由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n，存在g(n)n使等式a1a2a3an1g(n)(an1)成立21(本小题满分12分)某集团投资兴办甲、乙两个企业，2014年甲企业获得利润320万元，乙企业获得利润720万元，以后每年甲企业的利润以上年利润1.5倍的速度递增，而乙企业是上年利润的.预期目标为两企业年利润之和是1 600万元，从2014年年初起：(1)哪一年两企业获利之和最小？(2)需经过几年即可达到预定目标(精确到1年)?解析(1)设从2014年起，第n年获利为yn320()n1720()n122480960，当且仅当320()n1720()n1，即()n1()n1，n2时取等号所以第二年，即2015年两企业获得利润之和最少，共960万元(2)依题意有：320()n1720()n11 600，即4()n19()n120.设()n1t(t1)，则原不等式化为4t220t90，解得t，或t(舍去)于是()n1，n1log(3)2log32log()24.所以n5，即经过5年可达到预期目标22(本小题满分12分)已知数列bn是等差数列，b11，b1b2b10145.(1)求数列bn的通项公式bn；(2)设数列an的通项anloga(1)，(其中a0，且a1)，记Sn为数列an的前n项和，试比较Sn与logabn1的大小，并证明你的结论解析(1)设数列bn的公差为d，由题意得所以bn3n2.(2)由bn3n2知Snloga(11)loga(1)loga(1)loga(11)(1)(1)，而logabn1loga.于是比较Sn与logabn1的大小，即比较(11)(1)(1)与的大小取n1，有(11)的大小取n2，有(11)(1).由此猜想：(11)(1)(1).(*)下面用数学归纳法证明：当n1时，已验证(*