北京市朝阳区六校联考2019-2020学年高三年级四月份测试--数学A答案

高三数学参考答案 第 1 页 共 7 页 2019 2020 学年度学年度高三年级四月份高三年级四月份测试题测试题 数学数学 A 参考答案参考答案 2020 4 第一部分 选择题第一部分 选择题 共共 40 分 分 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 A 2 C 3 C 4 B 5 D 6 D 7 D 8 B 9 C 10 A 第二部分 非选择题第二部分 非选择题 共共 110 分 分 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 分 11 80 12 4 34 i 2525 13 1 2 n n an N 答案不唯一 14 21 15 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 共小题 共 85 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 16 本小题 13 分 解 因为 3sin22cos cos 424 f xxxx 3sin22sin cos 44 xxx 3sin2sin 2 2 xx 3sin2cos2xx 31 2 sin2cos2 22 xx 2sin 2 6 x 3 分 另解 3sin22 cos cossin sin cos cossin sin 4444 f xxxxxx 2222 3sin22 cossin cossin 2222 xxxxx 22 3sin2 cossin 3sin2cos2xxxxx 31 2 sin2cos2 2sin 2 226 xxx 3 分 所以 2 2 2 T 4 分 由 2 22 262 kxkkZ 得 63 kxkk Z 故 f x的单调递增区间为 63 kkk Z 6 分 令2sin 2 1 6 x 有 1 sin 2 62 x 即 22 66 xkk Z或 5 22 66 xkk Z 也即 6 xkk Z或 2 xkk Z 高三数学参考答案 第 2 页 共 7 页 因为 0 x 所以 6 x 或 2 x 9 分 令 2sin 2 1 6 x 得 1 sin 2 62 x 即 22 66 xkk Z或 5 22 66 xkk Z 也即 xkk Z或 3 xkk Z 因为 0 x 所以 x 或 2 3 x 11 分 又因为 f x的单调递增区间为 0 3 和 5 6 f x的单调递减区间为 5 36 12 分 所以当 1 1 f x 时 x的取值范围为 2 0 62 3 13 分 17 本小题 14 分 解 由表可知 该患者共 6 天的体温不低于39 C 记平均体温为x 1 分 1 39 439 740 1 39 939 2 39 0 39 55 C 6 x 4 分 所以 患者体温不低于39 C 的各天体温平均值为39 55 C X的所有可能取值为0 1 2 5 分 30 32 3 5 1 0 10 C C P X C 6 分 21 32 3 5 63 1 105 C C P X C 7 分 12 32 3 5 3 2 10 C C P X C 8 分 则X的分布列为 9 分 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 所以 1336 012 105105 E X 11 分 抗生素 C 治疗效果最佳可使用理由 抗生素 B 使用期间先连续两天降温 1 0C又回升 0 1C 抗生素 C 使用期间持续 降温共计 1 2C 说明 抗生素 C 降温效果最好 故 抗生素 C 治疗效果最佳 抗生素 B 治疗期间平均体温 39 03C 方差约为0 0156 抗生素 C 平均体温 38C 方差约为0 1067 抗生素 C 治疗期间体温离散程度大 说明存在某个时间节点降温效 果明显 故 抗生素 C 治疗效果最佳 14 分 抗生素 B 治疗效果最佳可使用理由 不说使用 抗生素不说使用 抗生素 B 治疗才开始持续降温扣 治疗才开始持续降温扣 1 分分 自使用 抗生素 B 开始治疗后 体温才开始稳定下降 且使用 抗生素 B 治疗当天共降 温 0 7C 是单日降温效果最好的一天 故 抗生素 B 治疗效果最佳 14 分 开放型 开放型问题问题 答案不唯一 但答答案不唯一 但答 抗生素 抗生素 A 效果最好不得分效果最好不得分 理由与结果不匹配不得分理由与结果不匹配不得分 不用数据不得分 不用数据不得分 高三数学参考答案 第 3 页 共 7 页 P C D AB M F y x z H 18 本小题 15 分 解 因为平面ABCD 平面PCD 1 分 平面ABCD平面PCDCD 2 分 AD平面ABCD ADDC 3 分 所以 AD平面PCD 4 分 又因为 PC平面PCD 所以ADPC 5 分 选择 评分细则 在平面PCD内过点D作DHDC 交PC于H 由 可知 AD 平面PDC 所以ADDH 故 AD CD DH两两垂直 如图 以D为原点 DA DC DH所在直线分别 为 x y z轴 建立空间直角坐标系 Dxyz 则 0 0 0 D 0 1 3 P 2 0 0 A 2 1 0 B 0 2 0 C 6 分 因为DH 平面ABCD 所以平面ABCD的一个法向量为 0 0 1 n 而 2 1 3 PA 2 2 3 PB 设平面PAB的一个法向量为 x y zm 则由 0 0 PA PB m m 得 230 2230 xyz xyz 取2z 有 3 0 2 m 8 分 所以 22 cos 7 77 n m n m n m 10 分 由题知 二面角PABC 为锐角 故二面角PABC 的余弦值为 2 7 7 11 分 选择 得分要点 评分细则同 下面给出关键点供参考 若与上面建系相同 则 平面ABCD的一个法向量为 0 0 1 n 平面PBD的一个法向量为 3 2 3 2 m 二面角PBD C 为钝角 二面角PABC 的余弦值为 2 19 19 选择 得分要点 评分细则同 下面给出关键点供参考 若与上面建系相同 则 平面ABCD的法向量 0 0 1 n 平面PBC的法向量 1 2 2 3 m 二面角PBCD 为锐角 二面角PBCD 的余弦值为 2 51 17 假设棱BC上存在点F MFPC 设 0 1 BFBC 12 分 依题意 可知 13 1 22 M 2 1 0 BC 2 0 BF 22 1 0 F 13 分 高三数学参考答案 第 4 页 共 7 页 33 1 2 22 MF 0 3 3 PC 14 分 则 1 20 3 3 2 3 3 2 而此方程组无解 故假设不成立 所以结论成立 15 分 19 本小题 14 分 解 由题意得 2 222 2 3 1 2 b a c a abc 1 分 解得 2 3 1abc 2 分 所以椭圆的标准方程为 22 1 43 xy 3 分 依题意 若直线l的斜率不为零 可设直线 1 0 l xmym 1122 A x yB x y 假设存在点P 设 0 0 P x 由题设 0 1x 且 01 xx 02 xx 设直线 PA PB的斜率分别为 12 k k 则 12 12 1020 yy kk xxxx 4 分 因为 1122 A x yB x y在1xmy 上 故 1122 1 1xmyxmy 5 分 而x轴上任意点到直线 PA PB距离均相等等价于 PF平分APB 所以等价于 12 0kk 6 分 则 12 12 1020 yy kk xxxx 1221012 1020 x yx yxyy xxxx 12012 1020 2 1 0 my yxyy xxxx 8 分 联立 22 1 43 1 xy xmy 消去x 得 22 34 690mymy 有 1212 22 69 3434 m yyy y mm 10 分 则 00 12 22 10201020 1866246 0 34 34 mmmxmmx kk mxxxxmxxxx 即 0 40mmx 又0m 故 0 4x 13 分 当直线l的斜率为零时 4 0 P也符合题意 故存在点 4 0 P 使得x轴上任意点到直线 PA PB距离均相等 14 分 高三数学参考答案 第 5 页 共 7 页 20 本小题 15 分 解 因为 2 e x f xax a R 故 e2 x fxax 1 分 依题意 1 e20fa 即 e 2 a 2 分 当 e 2 a 时 e 1 0 2 f 此时切线不与x轴重合 符合题意 因此 e 2 a 3 分 由 知 e2 x fxax 当0a 时 因为 0 1 x e0 x 20ax 故 0fx 即 f x单调递增 因此 max 1 ef xfa 依题意 当0a 时 max ee2f xa 所以0a 符合题意 5 分 当0a 时 e2 x fxa 令 0fx 有ln2xa 6 分 fx fx 变化如下 x ln2 a ln2a ln2 a fx 0 fx 极小值 故 min 22 ln22 1 ln2 f xaaaaa 7 分 当1 ln20a 时 即 e 0 2 a 时 0fx f x单调递增 因此 max 1 ef xfa 依题意 令e2a 有0e2a 8 分 当1 ln20a 时 即 e 2 a 时 1 e20fa 0 10 f 故存在唯一 0 0 1 x 使 0 0fx 9 分 此时有 0 0 e20 x ax 即 0 0 e2 x ax fx f x变化如下 10 分 x 0 0 x 0 x 0 1 x fx 0 f x 极大值 所以 0 00 2 0 max00 e ee 2 x xx x f xf xax 0 0 1 x 11 分 依题意 令 e e 2 x x x g x 0 1 x 则 1 e 0 2 x x g x g x在 0 1 单调递增 所以 e 1 2 2 g xg 所以 max 2f x 此时不存在符合题意的a 综上所述 当 e2 a f x在 0 1 上的最大值不小于2 若 e2 a 则 f x在 0 1 上的最大值小于2 所以a的取值范围为 e2 12 分 解法二 当 0 1 x 时 f x最大值不小于 2 等价于 2 e2 x f xax 在 0 1 x 上有解 显然0 x 不是解 即 2 e2 x a x 在 0 1 x 上有解 4 分 设 2 e2 x g x x 0 1 x 高三数学参考答案 第 6 页 共 7 页 则3 e2e4 xx x g x x 5 分 设 e2e4 xx h xx 0 1 x 则 e 1 0 x h xx 所以 h x在 0 1 单调递减 1 4 e0h xh 7 分 所以 0g x 所以 g x在 0 1 单调递增 9 分 所以 max 1 e2g xg 10 分 依题意需e2a 所以a的取值范围为 e2 12 分 解法三 由 知 e2 x fxax 1 当 e 2 a 时 e2ee xx fxaxx 设 ee 0 1 x h xx x ee0 x h x 所以 h x在 0 1 单调递减 故 1 0h xh 5 分 所以 0fx 所以 f x在 0 1 单调递增 因此 max 1 ef xfa 7 分 依题意 令e2a 得e2a 8 分 2 当 e 2 a 时 22 e ee 2 xx f xaxx 设 2 e e 2 x xx 0 1 x 则 ee 0 x xxh x 所以 x 在 0 1 单调递增 10 分 故 max ee 1 e2 22 x 即 2f x 不符合题意 11 分 综上所述 a的取值范围为 e2 12 分 III 当0a 时 yf x 有 0 个零点 当 2 e 0 4 a 时 yf x 有 1 个零点 当 2 e 4 a 时 yf x 有 2 个零点 当 2 e 4 a 时 yf x 有 3 个零点 15 分 写对一个给 1 分 写对三个给 2 分 全对给 3 分 21 本小题 14 分 解 0 0 0 1 AB 0 1 0 0 AB 1 分 1 0 1 1 AB 2 分 1 1 1 0 AB 3 分 令 121212 nnn Aa aaBb bbCc cc i 对1 2 in 当0 i c 时 有 iiiiii acbcab 4 分 当1 i c 时 有 1 1 iiiiiiii acbcabab 5 分 所以 11222222 nnnn d A C BCacbcacbcacbc 1122 nn abababd A B 6 分 高三数学参考答案 第 7 页 共 7 页 ii 证法 1 设 12 n Aa aa 12 n Bb bb 12 n Cc cc n S d A Bk d A Cl d B Ch 记 0 0 0 n OS 由 I 可知 d A Bd AA BAd O BAk d A Cd AA CAd O CAl d B Cd BA CAh 所以 1 2 ii bain中 1 的个数为k 1 2 ii cain的 1 的个数为l 设t是使 1 iiii baca 成立的i的个数 则2hlkt 由此可知 k l h三个数不可能都是奇数 即 d A B d A C d B C三个数中至少有一个是偶数 证法 2 因为 0 iiiiii abbcca 且 iiiiii abbcca 与 iiiiii abbcca 奇偶性相同 所以 iiiiii abbcca 为偶数 故 d A Bd