小学六年级数学竞赛讲座 第2讲 高斯记号进阶

第二讲第二讲 高斯记号进阶高斯记号进阶 模块一 高斯记号求值 例 1 和式 S 502 1 305 503 n n 的值为 解 1 305 1305 502 305 503503 305 2305 501 305 503503 502 1 305 305 251 503 n n 所以 502 1 305 503 n n 502 1 305 251 503 n n 304 251 76304 解 2 n 1 时 305 1 0 503 n 2 时 305 2 1 503 n 3 时 305 3 1 503 n 4 时 305 4 2 503 n 5 时 305 5 3 503 n 6 时 305 6 3 503 n 7 时 305 7 4 503 n 8 时 305 8 4 503 n 9 时 305 9 5 503 n 10 时 305 10 6 503 n 11 时 305 11 6 503 n 12 时 305 12 7 503 n 13 时 305 13 7 503 n 14 305 14 8 503 n 15 时 305 15 9 503 n 16 时 305 16 9 503 于是原式 0 1 1 2 3 3 4 4 5 6 6 7 7 8 9 9 301 301 302 303 303 304 10 25 40 1510 304 10 1510 100 304 2 76304 例 2 计算 210 1222 3333 解 原式 0 0 1 2 5 10 21 42 85 170 341 677 解 2 对于 1 2 22 23 210 它们除以 3 的余数分别是 1 2 1 2 2 1 所以直接算 01210 2222 3333 得到的数将偏大 而前面 11 个余数中恰好组成 5 个 3 外加 1 个 1 于是 01210 2222 3333 1 5 3 11 11 21 5 33 677 例 3 20000 100 10 103 的值的个位数字为 解 先找出 310 10 100 20000 的整数部分与小数部分 310 10 100 20000 310 3 310 3 10 100 200 100 200200100 1002002001002 1002 100 1002220000200 10010022 20000200 100 200100 100100 2000020002002000010020000 100100100 10 3 10 3 10 3 103 103 10 3 103 103 39 1 103103 1010310910 103103103 知 又 知是整数 显然 知 50 100 81 103 其中分母的个位数字为 3 分子的个位数字为 9 故商的个位数字为 3 模块二 高斯记号方程 例 4 若实数 r 使得 192091 100100100 rrr 546 则 100r 解 因为 192091 100100100 rrr 且 9119 1 100100 rr 又 192091 100100100 rrr 546 所以这 73 个数中前 38 个都为 7 后 35 个都为 8 所以第 38 个数 56 7 100 r 第 39 个数 57 8 100 r 所以 r 0 568 所以 7 43 r 7 44 743 100r 744 所以 100r 743 例 5 解方程 56157 85 xx 则 x 解 56565 6 1 888 xxx 所以 561575 6 1 858 xxx 1575 6 58 56157 1 85 xx xx 解得 419 9010 x 又 157 5 x 为整数 15x 7 0 5 10 解得 x 7 15 或 x 4 5 或 x 17 15 舍 所以 x 4 5 或 x 7 15 例 6 求正整数 a 235 aaa a 解 a 不是最小公倍数 30 的整倍数 令 a 30k r 0 r2011 所以 239 14 253 即 n 的最小值是 253 例 8 下列 m 个整数 2009 120092200932009 123 m m 共有 69 个不同的取值 则 m 的 最小值为 最大值为 解 由于 20092009 1 k kk 所以 m 个整数 2009 120092200932009 123 m m 共有 69 个不同的取值 相当于 m 个整数 2009200920092009 123m 共有 69 个不同的取值 而 200920092009 1 1 kkk k 2009200920092009 11 1 1 kkk kk k 2009200920092009 1 1 1 1 kk kkk k 1 k 44 时 2009 1 1 k k 因此 20092009 1 1kk 即从 1 45 时 2009 k 是 45 个不同的取值 2 k 45 时 2009 0 1 k k 20092009 1 1 kk k 0 或 1 因此 k 45 时 20092009 1kk 或 20092009 1 1kk 2009200920092009 44 12345 这是 45 个不同的值 还差 24 个不同的值 则 2009 m 44 24 20 于是 2009 2021 m 推出 96 m 100 综上 m 的最大值是 100 最小值是 96 随随 堂堂 练练 习习 1 14 114 214 9714 98 33333333 的和是 其中 x 表示不超过 x 的最大整数 解 首尾相加比较 对于 k 1 2 98 14 1414 333333 kkk 14 99 14 99 14 99 333333 kkk 所以 42 14 14 99 141414 99 14 99 333333333333 kkkkkk 并且上式中 1414 99 3333 kk 是整数 所以 1414 99 3333 kk 也是整数 又对于任何数 m 0 m 2 又当 k 2 时 1111 1 1kk kkk 所以 111 1 1 2 1995 1 1 1 1 2 1 2 1 3 11 19941995 3 1 1995 3 所以 111 1 1 2 1995 2 3 用 x 不少不超过 x 的最大整数 并令 x x x 若 x y z 满足下列关系 x y 2011 y z 18 8 z x 6 则 x y z 解 y z 18 8 因为 y 是整数 z 是小数 所以 y 18 z 0 8 又 z x 6 所以 x 0 2 z 5 8 x y 2011 所以 x 2010 2 y 18 8 所以 x y z 2010 2 18 8 5 8 2034 8 4 解方程 1 x 2 x 3 x 2 3x 5 x 49 0 解 1 x x x 所以 x x 2 x 3 x 解得 3 x 2 x 0 x 1 所以 0 3 x 3 所以 0 2 x 3 所以 0 x 1 5 当 x 0 时 x 0 当 x 1 时 x 2 3 所以 x 2 1 3 于是方程的解是 x 0 或 x 2 1 3 2 x x x 所以 8 x 3 x 49 得到 3 x 为整数 x 0 x 2 3 只有 x 1 3 x 6 所以 x 6 1 3 5 x y z 分别表示不超过 x y z 的最大整数 若 x 5 y 3 z 2 则 x y z 可以取的不同值的个 数是多少个 解 5x 3y 2z 56x 34y 23z 43y 36xyz xyz 的值为 3 或 4 或 5 6 已知 x y z 满足 0 1 1 2 1 3 xyz xyz xyz 求 x y z 的值 解 xxx 由 1 2 3 得 2 2 6xyz 1 3xyz 4 由 4 1 得 1 2yz 则 1z 0 2y 由 4 2 得 0 1xy 则 0y 0 1x 由 4 3 得 0zx 则 0 x 0z 从而 0 1xxx 0 2yyy 1zzz 7 解方程 110 12610 xxxx 其中 x 是整数 求 x x 表示不超过 x 的最大整数 解 当 x 60 时 6030 106106 12610 xxxx 60 当 x 61 时 61 30 106107 12610 xxxx 不满足方程 当 x 62 时 6231 106109 12610 xxxx 不满足方程 当 x 63 时 63 31 106110 12610 xxxx 满足方程 当 x 63 时 方程左边的值一定越来越大 也不满足方程 所以方程有唯一解 即 x 63 8 在 2222 1232013 2013201320132013 中共出现了多少个互不相同的数 解 2 2013 2013 2013 即最小的数为 0 最大的数为 2013 又 10072 10062 1007 1006 1007 1006 201