正方形的性质与判定 优质完整ppt课件

19 2 3正方形 2002年世界数学大会会标 图片欣赏 剪一剪 1 给你一张正方形的彩色纸 你能一刀剪出如图的正方形孔吗 正方形 矩形 剪一剪 2 给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗 情景一 新知探究 情景一 新知探究 情景一 新知探究 情景一 新知探究 情景一 新知探究 情景一 新知探究 情景一 新知探究 创设情景 问题 从这个图形中你想到了什么 A B C D 情景二 新知探究 A B C D 情景二 新知探究 A B C D 情景二 新知探究 A B 情景二 新知探究 A B 情景二 新知探究 A B 情景二 新知探究 A B 情景二 新知探究 A B C D 情景二 新知探究 A B C D A B 邻边相等的矩形 想一想 正方形是怎样的矩形 矩形 正方形 新知探究 菱形 正方形 一个角是直角的菱形 想一想 正方形是怎样的菱形 新知探究 有一个角是直角 有一组邻边相等 回忆 如何在平行四边形的基础上来定义正方形 给正方形下个定义 定义 一组邻边相等 且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 菱形 矩形 平行四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形的关系 正方形是特殊的平行四边形 也是特殊的矩形 也是特殊的菱形 正方形的性质 回顾平行四边形 矩形 菱形的性质 完成表格前三列 对边平行且相等 四条边相等 对边平行且四条边相等 对角相等 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直 每条对角线平分一组对角 对角线相等且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 中心对称图形 既是中心对称图形又是轴对称图形 既是中心对称图形又是轴对称图形 既是中心对称图形又是轴对称图形 图形 性质 分类 正方形 类比归纳 角 四个角都是直角 图形的对称性 既是轴对称图形 又是中心对称图形 正方形的性质 你觉得什么样的四边形是正方形呢 判断一个四边形是正方形有哪些方法 正方形的判定方法 可从平行四边形 矩形 菱形为基础 定义法 四条边相等 四个角都是直角 对角线互相垂直 平分且相等 以四边形为基础 既是菱形又是矩形的四边形是正方形 请发表你的见解 谈谈你的收获 小结 5种识别方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形 矩形 菱形 正方形的判定小结 挑战自我 1 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形 2 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3 如果一个菱形的对角线相等 那么它一定是正方形 4 如果一个矩形的对角线互相垂直 那么它一定是正方形 5 四条边相等 且有一个角是直角的四边形是正方形 快速反应 判断题 6 正方形一定是矩形 7 正方形一定是菱形 8 菱形一定是正方形 9 矩形一定是正方形 10 正方形 矩形 菱形都是平行四边形 12 正方形是轴对称图形 一共有2条对称轴 13 四个角都相等的四边形是正方形 14 四条边都相等的四边形是正方形 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 A 四个角相等 B 对角线互相垂直平分 C 对角互补 D 对角线相等 2 正方形具有而菱形不一定具有的性质 A 四条边相等 B 对角线互相垂直平分 C 对角线平分一组对角 D 对角线相等 B D 选择题 3 下列命题正确的是 A 四个角都相等的四边形是正方形B 四条边都相等的四边形是正方形C 对角线相等的平行四边形是正方形D 对角线互相垂直的矩形是正方形 D 4 四个内角都相等的四边形一定是 A 正方形B 菱形C 矩形D平行四边形 5 在四边形ABCD中 O是对角线的交点 能判定这个四边形是正方形的是 A AO BO CO DO AC BDB AD BC A CC AO COBO DOAB BCD AC BD C A 6 四个内角都相等 四条边也都相等的四边形一定是 A 正方形B 菱形C 矩形D 平行四边形 A 1 如图 正方形ABCD的周长为15cm 则矩形EFCG的周长为cm 7 5 试一试 4 已知 正方形ABCD对角线AC BD相交于点O 且AB 2cm 则AC 正方形的面积S 练一练 2 2 4 6 36 5 已知 在正方形ABCD中 对角线AC BD相交于点O 且AC 6cm 面积S 则边长AB 5 已知四边形ABCD是平行四边形 对角线AC BD相交于点O 若AB BC 则四边形ABCD是 若AC BD 则四边形ABCD是 若 BCD 900 则四边形ABCD是 若OA OB 则四边形ABCD是 若AB BC 且AC BD 则四边形ABCD是 菱形 矩形 矩形 矩形 正方形 如图 在正方形ABCD中 点E在对角线AC上 那么 BE和DE相等吗 为什么 解 BE DE 因为对角线AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴 而点E在对称轴上 点B为点D关于AC的对称点 所以BE DE 已知 如图正方形ABCD对角线AC BD相交于点O 求证 ABO BCO CDO ADO 例1 求证 正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 3 如图 3 正方形ABCD中 AC BD相交于O 分析 要证明BM CN 大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等 MN AB且MN分别交OA OB于M N 求证 BM CN 你能完成证明吗 AB BC 1 2 45 条件够吗 还需要的条件是AM BN ABM BCN 你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件 由正方形可以得到的条件有 例2 如图 正方形ABCD中 AC BD相交于O MN AB且MN分别交OA OB于M N 求证 BM CN 证明 OA OM OB ON OM ON OMN 1 3 ONM 45 又 MN AB 1 2 3 45 OA OBAB BC 四边形ABCD是正方形 即 AM BN ABM BCN BM CN 例3 直角三角形ABC中 CD平分 ACB交AB于D DE AC DF AB 求证 四边形CEDF是正方形 四边形ABCD是正方形 DE DF DE AC DF BC CD平分 ACB 四边形ABCD为矩形 而 ACB 90 DEC 90 DFC 90 证明 DE AC DF AB 有三个角是直角的四边形是矩形 角平分线的定理 有一组邻边相等的矩形是正方形 4 已知 如图 4 在正方形ABCD中 F为CD延长线上一点 CE AF于E 交AD于M 求证 MFD 45 分析 欲证 MFD 45 由于 MDF是直角三角形 只须证 MDF是等腰三角形 即只要证 要证MD FD 大家只须证得哪两个三角形全等 试一试看能不能完成证明 CMD ADF 例4 已知 如图 4 在正方形ABCD中 F为CD延长线上一点 CE AF于E 交AD于M 求证 MFD 45 证明 DM DF Rt CDM Rt ADF AAS 又 CD AD ADF MDC Rt 1 2 CMD AME ADC AEM 90 CE AF四边形ABCD是正方形 MFD 45 1 如图 在AB上取一点C 以AC BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF BD延长BD交AF于H 求证 1 ACF DCB 2 BH AF 练一练 2 如图 6 ABC的外面作正方形ABDE和ACFG 连结BG CE 交点为N 求证 CEA ABG 证明 四边形ABDE和四边形ACFG是正方形 AE ABAG AC 1 2 90 又 EAC 1 BAC 90 BAC BAG 2 BAC 90 BAC EAC BAG AEC ABG SAS CEA ABG 3 在正方形 中 点 分别在 上 且 四边形 是正方形吗 为什么 4 如图 点E F在正方形ABCD的边BC CD上 BE CF 探索图中AE与BF的关系 5 如图 在正方形ABCD中 E在BC的延长线上 且CE AC AE交CD于F 则求 AFC的度数 6 在 ABC中 AB AC D是BC的中点 DE AB DF AC 垂足分别是E F 1 试说明 DE DF2 只添加一个条件 使四边形EDFA是正方形 请你至少写出两种不同的添加方法 不另外添加辅助线 无需证明 1 在一块正方形的花坛上 欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分 不考虑道路的宽度 你有几种方法 至少说出三种 课外拓展 如何设计花坛 在一块正方形的花坛上 欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分 不考虑道路的宽度 你有几种方法 至少说出三种 请你当设计师 1已知 正方形ABCD对角线AC BD相交于点O 且AB 2cm 如图 2 求 AC的长及正方形的面积S E F G 矩形EFCG的周长 6 已知 如图矩形ABCD 对角线AC BD相交于点O AE平分 BAD交BC于点E 连接OE 若 EAO 150 求 BOE的度数 7 在正方形ABCD中 AC 10 P是AB上任意一点 PE AC于点E PF BD于点F 求PE PF的值 8 如图 正方形ABCD的边长为8 M在DC上 且DM 2 N是AC上一个动点 求DN MN的最小值 A B C D M N 8 如图 正方形ABCD的边长为8 M在DC上 且DM 2 N是AC上一个动点 求DN MN的最小值 A B C D M N 9 已知 如图在 ABC中 AB AC AD BC 垂足为点D AN是 ABC外角 CAM的平分线 CE AN垂足为点E 求证 四边形ADCE是矩形 当 ABC满足什么条件时 四边形ADCE是正方形 说明理由 10 如图B C E是同一直线上的三个点 四边形ABCD与CEFG是正方形 连接BG DE 1 观察 猜想BG与DE之间的大小关系 并说明理由 2 正方形CEFG在绕点C旋转过程中 BG与DE之间的关系是否仍然成立 11 如图 M为正方形ABCD边AB的中点 E是AB延长线上一点 MN DM 且交 CBE的平分线于点N 1 求证 MD MN 2 若将上述条件中的 M是AB的中点 改为 M为AB上任意一点 其它条件不变 问结论MD MN是否仍然成立 F P 思考题 如图正方形ABCD的对角线相交于点O O又是另一个正方形OEFG的一个顶点 若正方形OEFG绕点O旋转 在旋转的过程中 探究二 若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于MN 试判断线段AM于BN之间的关系 探究一 两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化 并说明理由 探究四 如图 有两个大小不等的两个正方形 其中小正方形的面积是大正方形面积的一半 若阴影部分的面积为8 则小正方形的边长为多少 探究三 若正方形OEFG继续旋转时 AM与BN之间的关系是否还成立 构建与证明 O B A 如图 分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO 使AO OC BO OD求证 四边形ABCD是正方形 八年级数学 第十九章四边形 数一数图中正方形的个数 你发现了什么 多 多 多 个 个 个 个 第n个图中正方形有个 3n 1 长见识 八年级数学 第十九章四边形 四边形ABCD是正方形 两条对角线相交于点O 1 求 AOB OAB的度数 8 解 四边形ABCD是正方形 AC BD AOB 900 BAC DAC OAB 450 2 若AC 4 则正方形边长 正方形的面积是 4 3 正方形的面积64cm 则对角线交点到正方形一边的距离 AC为正方形ABCD的对角线 E为AC上一点 且AB AE EF AC交BC于F 请说明 EC EF FB 解 四边形ABCD是正方形 B 900 ACB 450 AEF 900A