自动控制原理(任彦硕)第二章ppt课件

第二章自动控制系统的数学模型 主要内容 控制系统微分方程的建立非线性数学模型线性化传递函数系统动态结构图系统传递函数和结构图的变换信号流图小结 基本要求 了解建立系统动态微分方程的一般方法熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式掌握用拉氏变换求解微分方程的方法掌握传递函数的概念及性质掌握典型环节的传递函数形式掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法 分析和设计任何一个控制系统 首要任务是建立系统的数学模型控制系统的数学模型 就是描述系统输入 输出以及内部变量之间动态关系的数学表达式 也称为动态数学模型 常用的动态数学模型有 微分方程传递函数动态结构图信号流图建立数学模型的方法 1 理论推演法 解析法 2 实验法 解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理 化学定律列写出变量间的数学表达式 并实验验证 实验法 对系统或元件输入一定形式的信号 阶跃信号 单位脉冲信号 正弦信号等 根据系统或元件的输出响应 经过数据处理而辨识出系统的数学模型 总结 解析方法适用于简单 典型 常见的系统 而实验方法适用于复杂 非常见的系统 实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效 控制系统微分方程的建立 基本步骤 分析各元件的工作原理 明确输入 输出量建立输入 输出量的动态联系消去中间变量标准化微分方程 例1 图所示电路是由三个理想电路元件组成的简单电网络单元 试列写该网络在输入量ur t 作用下输出量uc t 的微分方程 一 线性元件单元的微分方程 第一节线性连续系统微分方程的建立 解 由基尔霍夫定律得 式中 i t 为流经电感L 电阻R和电容C的电流 消去中间变量i t 得到输出量关于输入量满足的二阶微分方程 例2 设有一弹簧 质量 阻尼动力系统如图所示 当外力F t 作用于系统时 系统将产生运动 试写出外力F t 与质量块的位移x t 之间的动态方程 其中弹簧的弹性系数为k 阻尼器的阻尼系数为f 质量块的质量为m 输入F t 输出x t 理论依据 牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积 式中 x m的位移 m f 阻尼系数 N s m k 弹簧刚度 N m 将上式的微分方程标准化 T称为时间常数 为阻尼比 显然 上式描述了m k f系统的动态关系 它是一个二阶线性定常微分方程 令 即 则上式可写成 例3 图为弹簧 质量 阻尼器机械旋转运动单元 试写出在输入转矩M t 作用下转动惯量为J的物体的运动方程 输出量为角位移 1 弹簧与角位移成正比的弹性扭矩 2 阻尼器与角速度成正比的摩擦阻力矩 由牛顿第二运动定律 解 输入转矩要克服 例4图中L R分别为电枢回路的总电感和总电阻 假设励磁电流恒定不变 试建立在ur t 作用下电动机转轴角速度的运动方程 电枢控制的他励直流电动机原理图 解 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能 也就是由输入的电枢电压Ua t 在电枢回路中产生电枢电流ia t 再由电流ia t 与激磁磁通相互作用产生电磁转矩M t 从而拖动负载运动 因此 直流电动机的运动方程可由以下三部分组成 3 电动机轴上的转矩平衡方程 1 电枢回路电压平衡方程 2 电磁转矩方程 1 电枢回路电压平衡方程 Ea是电枢反电势 它是当电枢旋转时产生的反电势 其大小与激磁磁通及转速成正比 方向与电枢电压Ua t 相反 即Ea Ce t Ce 电动机反电势系数 v rad s 2 电磁转矩方程 电动机转矩系数 N m A 是由电枢电流产生的电磁转矩 N m 3 电动机轴上的转矩平衡方程 J 电动机和负载折合到电动机轴上的等效转动惯量 kg m Mc t 电动机和负载折合到电动机轴上的等效负载转矩 N m rad s 将式 联立求解 电动机电磁时间常数 s 电动机机电时间常数 s 电压传递系数 rad s V 转矩传递系数 rad s N m 对于恒转矩负载 式5可以表示为 控制系统中用测速发电机和直流电动机同轴连接用来检测转速 发电机中等效电感和转动惯量都较小 而等效电阻较大 忽略含电磁时间常数和机电时间常数的项 得到测速发电机输入输出的函数关系式 电动机的转速与电枢电压成正比 例5 直流电动机输出轴带齿轮减速机构拖动负载的单元 输入量为电动机的电磁转矩Mm t 输出量为电动机转轴角速度 齿轮系 齿轮1和齿轮2的转速 齿数和半径 粘性摩擦系数和转动惯量 原动转矩和负载转矩 齿轮系的作用 减速和增大力矩 解 齿轮传动中 两个啮合齿轮的线速度相同 传送的功率也相同 有关系式 齿数与半径成正比 即 因此有关系式 根据力学原理对齿轮1和2写出其运动方程 消去中间变量 齿轮系微分方程为 为折合到齿轮1的等效转动惯量 等效粘性摩擦系数和等效负载转矩 令 许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统 其运动规律可能完全一样可以用一个运动方程来表示 称它们为结构相似系统 上例的机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析 具有相同的数学模型 列写元件微分方程的步骤 1 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用 确定其输入和输出量 2 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律 列写相应的微分方程 3 消去中间变量 得到输入和输出之间关系的微分方程 即得到元件时域数学模型 4 整理 与输入有关的放在等号右面 与输出有关的放在等号左面 并按照降阶次进行排列 习题弹簧 阻尼器系统 二 控制系统的微分方程的建立 图2 3具有负反馈的速度给定控制系统原理图 图2 4控制系统方块图 1 运算放大器单元 2 反相器单元 3 功率放大器单元 4 他励直流电动机单元 5 测速发电机与反馈电位器单元 Tl电磁时间常数 Tm机电时间常数 Ce反电动势系数 Cm转矩系数 三 非线性特性的近似线性化处理 在实际工程中 构成系统的元件都具有不同程度的非线性 如下图所示 于是 建立的动态方程就是非线性微分方程 对其求解有诸多困难 因此 对非线性问题做线性化处理确有必要 对弱非线性的线性化如上图 a 当输入信号很小时 忽略非线性影响 近似为放大特性 对 b 和 c 当死区或间隙很小时 相对于输入信号 同样忽略其影响 也近似为放大特性 如图中虚线所示 平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性 在平衡点A x0 y0 处 当系统受到干扰 y只在A附近变化 则可对A处的输出 输入关系函数按泰勒级数展开 由数学关系可知 当很小时 可用A处的切线方程代替曲线方程 非线性 即小偏差线性化 可得 简记为y kx 若非线性函数由两个自变量 如z f x y 则在平衡点处可展成 忽略高次项 经过上述线性化后 就把非线性关系变成了线性关系 从而使问题大大简化 但对于如图 d 所示为强非线性 只能采用第七章的非线性理论来分析 对于线性系统 可采用叠加原理来分析系统 叠加原理 叠加原理含有两重含义 即可叠加性和均匀性 或叫齐次性 例 设线性微分方程式为 若时 方程有解 而时 方程有解 分别代入上式且将两式相加 则显然有 当 时 必存在解为 即为可叠加性 上述结果表明 两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和 而且外作用增强若干倍 系统响应也增强若干倍 这就是叠加原理 若时 为实数 则方程解为 这就是齐次性 解 由于研究的区域为5 x 7 10 y 12 故选择工作点x0 6 y0 11 于是z0 x0y0 6 11 66 求在点x0 6 y0 11 z0 66附近非线性方程的线性化表达式 将非线性方程在点x0 y0 z0处展开成泰勒级数 并忽略其高阶项 则有 因此 线性化方程式为 z 66 11 x 6 6 y 11 z 11x 6y 66当x 5 y 10时 z的精确值为z xy 5 10 50由线性化方程求得的z值为z 11x 6y 55 60 66 49 因此 误差为50 49 1 表示成百分数 例1 试把非线性方程z xy在区域5 x 7 10 y 12上线性化 求用线性化方程来计算当x 5 y 10时z值所产生的误差 取一次近似 且令 即有 例2已知某装置的输入输出特性如下 求小扰动线性化方程 解 在工作点 x0 y0 处展开泰勒级数 复习拉普拉斯变换有关内容 1 1复数有关概念 1 复数 复函数 复数 复函数 例1 2 模 相角 3 复数的共轭 4 解析 若F s 在s点的各阶导数都存在 则F s 在s点解析 模 相角 复习拉普拉斯变换有关内容 2 2拉氏变换的定义 1 阶跃函数 3常见函数的拉氏变换 2 指数函数 复习拉普拉斯变换有关内容 3 3 正弦函数 复习拉普拉斯变换有关内容 4 1 线性性质 4拉氏变换的几个重要定理 2 微分定理 证明 0初条件下有 复习拉普拉斯变换有关内容 5 例2求 解 例3求 解 复习拉普拉斯变换有关内容 6 3 积分定理 零初始条件下有 进一步有 例4求L t 解 例5求 解 复习拉普拉斯变换有关内容 7 4 实位移定理 证明 例6 解 令 复习拉普拉斯变换有关内容 8 5 复位移定理 证明 令 例7 例8 例9 复习拉普拉斯变换有关内容 9 6 初值定理 证明 由微分定理 例10 复习拉普拉斯变换有关内容 10 7 终值定理 证明 由微分定理 例11 终值确实存在时 例12 复习拉普拉斯变换有关内容 11 用拉氏变换方法解微分方程 L变换 系统微分方程 L 1变换 设象函数F s 为 5 拉氏反变换 1 象函数是真分式 m n a F s 中具有不同的极点时 可展开为 复习拉普拉斯变换有关内容 12 特征根 极点 相对于的模态 查表法 分解部分分式法 解 解 复习拉普拉斯变换有关内容 13 解一 解二 复习拉普拉斯变换有关内容 14 II 当有重根时 设为m重根 其余为单根 复习拉普拉斯变换有关内容 15 复习拉普拉斯变换有关内容 16 解 复习拉普拉斯变换有关内容 17 将B s 除以A s 把F s 变成一个s的多项式与一个余式 有理真分式之和的形式 再将余式展开成部分分式 最后求取原函数 2 象函数是真分式 m n 例 解 B s 除以A s 得 复习拉普拉斯变换有关内容 18 1拉氏变换的定义 L变换重要定理 线性定常微分方程求解 微分方程求解方法 第二节传递函数 transferfunction 传递函数的概念与定义线性定常系统在输入 输出初始条件均为零的条件下 输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比 称为该系统的传递函数 这里 初始条件为零 有两方面含义 一指输入作用是t 0后才加于系统的 因此输入量及其各阶导数 在t 时的值为零 二指输入信号作用于系统之前系统是静止的 即t 时 系统的输出量及各阶导数为零 许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的 用微分方程来描述系统比较直观 但是一旦系统中某个参数发生变化或者结构发生变化 就需要重新排列微分方程 不便于系统的分析与设计 为此提出传递函数的概念 一 传递函数的定义和概念 以上一节例 1 RLC电路的微分方程为例 设初始状态为零 对上式进行拉氏变换 得到 一般形式 设线性定常系统 元件 的微分方程是 c t 为系统的输出 r t 为系统输入 则零初始条件下 对上式两边取拉氏变换 得到系统传递函数为 分母中s的最高阶次n即为系统的阶次 因为组成系统的元部件或多或少存在惯性 所以G s 的分母阶次大于等于分子阶次 即 是有理真分式 若 我们就说这是物理不可实现的系统 传递函数是关于复变量s的有理真分式 它的分子 分母的阶次是 二 关于传递函数的几点说明 传递函数仅适用于线性定常系统 否则无法用拉氏变换导出 传递函数完全取决于系统内部的结构 参数 而与输入 输出无关 传递函数只表明一个特定的输入 输出关系 对于多输入 多输出系统来说没有统一的传递函数 可定义传递函数矩阵 一定的传递函数有一定的零 极点分布图与之对应 这将在第四章根轨迹中详述 传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数 因为 当时 所以 传递函数是在零初始条件下建立的 因此 它只是系统的零状态模型 有一定的局限性 但它有现实意义 而且容易实现 三 传递函数举例说明 如图所示的RLC无源网络 图中电感为L 亨利 电阻为R 欧姆 电容为C 法 试求输入电压ui t 与输出电压uo t 之间的传递函数 解 为了改善系统的性能 常引入图示的无源网络作为校正元件 无源网络通常由电阻 电容 电感组成 利用电路理论可方便地求出其动态方程 对其进行拉氏变换即可求出传递函数 这里用直接求的方法 因为电阻 电容 电感的复阻抗分别为R 1 Cs Ls 它们的串并联运算关系类同电阻 则传递函数为 已知某系统在0初条件下的阶跃响应为 试求 1 系统的传递函数 2 系统的特征根及相应的模态 3 求系统的单位脉冲响应 4 求系统微分方程 解 1 2 4 四 典型环节的传递函数 一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积 每个基本因子就称为典型环节 常见的几种形式有 不同的元部件可以有相同的传递函数 若输入输出变量选择不同 同一部件可以有不同的传递函数 任一传递函数都可看作典型环节的组合 传递函数都可看作典型环节的组合 1 比例环节 其输出量和输入量的关系 由下面的代数方程式来表示 特点 输入输出量成比例 无失真和时间延迟 实例 电子放大器 齿轮 电阻 电位器 感应式变送器等 2 惯性环节 其输出量和输入量的关系 由下面的常系数非齐次微分方程式来表示 特点 含一个储能元件 对突变的输入 其输出不能立即发现 输出无振荡 实例 RC网络 直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节 3 积分环节 其输出量和输入量的关系 由下面的微分方程式来表示 传递函数为 特点 输出量与输入量的积分成正比例 当输入消失 输出具有记忆功能 实例 电动机角速度与角度间的传递函数 模拟计算机中的积分器等 4 微分环节 是积分的逆运算 其输出量和输入量的关系 由下式来表示 特点 输出量正比输入量变化的速度 能预示输入信号的变化趋势 实例 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节 5 振荡环节 其输出量和输入量的关系 由下面的二阶微分方程式来表示 传递函数为 特点 环节中有两个独立的储能元件 并可进行能量交换 其输出出现振荡 实例 RLC电路的输出与输入电压间的传递函数 6 延迟环节 其输出量和输入量的关系 由下式来表示 特点 输出量能准确复现输入量 但须延迟一固定的时间间隔 实例 管道压力 流量等物理量的控制 其数学模型就包含有延迟环节 以上6种是常见的基本典型环节的数学模型 1 是按数学模型的共性建立的 与系统元件不是一一对应的 2 同一元件 取不同的输入输出量 有不同的传递函数 有不同的传递函数 3 环节是相对的 一定条件下可以转化 4 基本环节适合线性定常系统数学模型描述 第三节控制系统的动态结构图 动态结构图是一种数学模型 采用它将更便于求传递函数 同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程 一 动态结构图的概念 系统的动态结构图由若干基本符号构成 构成动态结构图的基本符号有四种 即信号线 传递方框 综合点和引出点 信号线 表示信号输入 输出的通道 箭头代表信号传递的方向 2 传递方框 方框的两侧为输入信号线和输出信号线 方框内写入该输入 输出之间的传递函数G s 3 综合点 综合点亦称加减点 表示几个信号相加 减 叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和 负信号需在信号线的箭头附近标以负号 省略时也表示 4 引出点 表示同一信号传输到几个地方 二 动态结构图的基本连接形式 1 串联连接 方框与方框通过信号线相连 前一个方框的输出作为后一个方框的输入 这种形式的连接称为串联连接 2 并联连接 两个或两个以上的方框 具有同一个输入信号 并以各方框输出信号的代数和作为输出信号 这种形式的连接称为并联连接 3 反馈连接 一个方框的输出信号输入到另一个方框后 得到的输出再返回到这个方框的输入端 构成输入信号的一部分 这种连接形式称为反馈连接 三 系统动态结构图的构成 构成原则 按照动态结构图的基本连接形式 构成系统的各个环节 连接成系统的动态结构图 以机电随动系统为例 如下图所示 举例说明系统动态结构图的构成 其象方程组如下 系统各元部件的动态结构图 1 系统各元部件的动态结构图 2 系统各元部件的动态结构图 3 系统各元部件的动态结构图 4 系统各元部件的动态结构图 5 系统各元部件的动态结构图 6 系统各元部件的动态结构图 7 系统各元部件的动态结构图 8 电磁力矩 电枢反电势 电枢回路 力矩平衡 电枢控制式直流电动机 直流电动机结构图 四结构图的等效变换 思路 在保证总体动态关系不变的条件下 设法将原结构逐步地进行归并和简化 最终变换为输入量对输出量的一个方框 1 串联结构的等效变换 串联结构图 等效变换证明推导 1 串联结构的等效变换 等效变换证明推导 1 串联结构的等效变换 串联结构的等效变换图 两个串联的方框可以合并为一个方框 合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的乘积 1 串联结构的等效变换 2 并联结构的等效变换 并联结构图 等效变换证明推导 1 2 并联结构的等效变换 等效变换证明推导 并联结构的等效变换图 两个并联的方框可以合并为一个方框 合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的代数和 3 反馈结构的等效变换 反馈结构图 C s 3 反馈结构的等效变换 等效变换证明推导 3 反馈结构的等效变换 反馈结构的等效变换图 4 综合点的移动 后移 综合点后移 Q s 综合点后移证明推导 移动前 综合点后移证明推导 移动后 移动前 移动后 综合点后移证明推导 移动前后 综合点后移证明推导 移动后 综合点后移等效关系图 综合点前移 综合点前移证明推导 移动前 综合点前移证明推导 移动后 移动前 移动后 综合点前移证明推导 移动前后 4 综合点的移动 前移 综合点前移证明推导 移动后 4 综合点的移动 前移 综合点前移等效关系图 综合点之间的移动 4 综合点之间的移动 结论 结论 多个相邻的综合点可以随意交换位置 5 引出点的移动 引出点后移 R s 问题 要保持原来的信号传递关系不变 等于什么 引出点后移等效变换图 引出点前移 问题 要保持原来的信号传递关系不变 等于什么 引出点前移等效变换图 引出点之间的移动 引出点之间的移动 相邻引出点交换位置 不改变信号的性质 五举例说明 例1 例1 利用结构图变换法 求位置随动系统的传递函数Qc s Qr s 例题分析 由动态结构图可以看出该系统有两个输入 r ML 干扰 我们知道 传递函数只表示一个特定的输出 输入关系 因此 在求 c对 r的关系时 根据线性叠加原理 可取力矩ML 0 即认为ML不存在 要点 结构变换的规律是 由内向外逐步进行 例题化简步骤 1 合并串联环节 例题化简步骤 2 内反馈环节等效变换 例题化简步骤 3 合并串联环节 例题化简步骤 4 反馈环节等效变换 例题化简步骤 5 求传递函数Qc s Qr s 五举例说明 例2 例2 系统动态结构图如下图所示 试求系统传递函数C s R s 例2 例题分析 本题特点 具有引出点 综合交叉点的多回路结构 例2 解题思路 解题思路 消除交叉连接 由内向外逐步化简 例2 解题方法一 将综合点2后移 然后与综合点3交换 内反馈环节等效变换 内反馈环节等效变换结果 串联环节等效变换 串联环节等效变换结果 内反馈环节等效变换 内反馈环节等效变换结果 反馈环节等效变换 等效变换化简结果 例2 解题方法二 将综合点 前移 然后与综合点 交换 例2 解题方法三 引出点A后移 例2 解题方法四 引出点B前移 结构图化简步骤小结 确定输入量与输出量 如果作用在系统上的输入量有多个 则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简 求得各自的传递函数 若结构图中有交叉联系 应运用移动规则 首先将交叉消除 化为无交叉的多回路结构 对多回路结构 可由里向外进行变换 直至变换为一个等效的方框 即得到所求的传递函数 结构图化简注意事项 有效输入信号所对应的综合点尽量不要移动 尽量避免综合点和引出点之间的移动 练习 试简化系统结构图 并求系统传递函数 一 信号流图的基本概念 信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法 信号流图由节点和支路组成 第四节信号流图和梅森公式 信号流图的基本术语 1 源节点 只有输出支路 没有输入支路的节点称为源点 它对应于系统的输入信号 或称为输入节点 2 汇节点 只有输入支路 没有输出支路的节点称为阱点 它对应于系统的输出信号 或称为输出节点 3 混合节点 既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点 4 支路相邻两个节点之间的定向连线称为支路 5 传输指支路的传输系数 控制系统的传输指结构框图中的传递函数 6 通路若干个支路沿信号传输方向顺序的连接起来成为通路 沿通路行进时 遇到同一节点的次数不多于一次 控制系统中称为通道 通路的起始端是首条支路的输入节点 终止端是末尾支路的输出节点 7 回环是闭合的通路 只有一条支路的回环成为自环 8 回环传输回环中各支路的传输之积 9 前向通路是指从源节点开始并终止于汇节点的通路 10 不接触回环如果一信号流图有多个回环 各回环之间没有任何公共节点 就称为不接触回环 反之称为接触回