因式分解是把一个多项式化分为几个整式的积的形式.doc

因式分解是把一个多项式化分为几个整式的积的形式，他是中学教学中最重要的恒等变形之一，并被广泛的应用于初等教学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法技巧，不仅掌握了因式分解内容所需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。 初中数学教材中主要介绍了提取公式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法，而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘交换对称法等。学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好基础。 因式分解得注意三项基本原则： 1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如：-5x2+x=-x(5x-1)） 因式分解是初中数学中的重要内容,是中学数学的基础,由于因式分解的题型多,变化答案,初学因式分解的同学,常犯如下错误: 一、 概念理解不透 例1.分解因式:8x2y-4xy2+12x2y2 误解:原式=xy(8x-4y+12xy) 原因:对公因式这一概念没有真正理解,忽视了数字因式 正解:原式=4xy(2x-y+3xy) 例2.分解因式:a2+3a-4 误解:原式=a(a+3)-4 原因:没有理解因式分解的概念,即没有把一个多项式从整体上化成几个整式乘积的形式 正解:原式=(a-1)(a+4) 二、 方法不对 1. 提公因式法中的错误(1).有而不提 例3.分解因式:100x2-25 误解:原式=(10x+5)(10x-5) 原因:如果多项式的个项有公因式,应先提公因式,但这里没有提公因式25 正解:原式=25(2x+1)(2x-1) (2).提而不尽 例4.分解因式:6(p-q)2-2(q-p) 误解:原式=23(p-q)2-(q-p) =23(p2-2pq-q2)-(q-p) =2(3p2-6pq+3q2-q-p) 原因:对p-q=-(q-p)不理解,丢失了公因式(p-q) 正解:原式=2(p-q)3(p-q)+1 =2(p-q)(3p-3q+1) (3).提后不补位 例5.分解因式:14abx-8ab2x+2ax 误解:原式=2ax(7b-4b2)=2abx(7-4b) 原因:错误地认为把2ax提出来后,该项就不存在了,实际应为2ax2ax=1 正解:原式=2ax(7b-4b2+1) 2. 运用公式不正确 例6.分解因式:121x2-4y2 误解:原式=(121x+4y)(121x-4y) 原因:对平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中a ,b两数未理解其含义.公式中的a,b应分别为11x和2y 正解:原式=(11x+2y)(11x-2y) 例7.分解因式:x4+x2y2+y4 误解:原式=(x2+y2)2 原因:对完全平方公式的特点认识不足,以至把x4+x2y2+y4误认为是完全平方公式 正解:原式=(x4+2x2y2+y4)-x2y2 =(x2+y2)2-x2y2 =(x2+y2+xy)(x2+y2-xy) 3. 分组分解中的错误 例8.分解因式:4x2+4xy+y2-a2 误解:原式=(4x2-4xy)+(y2-a2) =4x(x-y)+(y+a)(y-a) 原因:盲目分组,导致无法达到因式分解的目的 正解:原式=(4x2-4xy+y2)-a2 =(2x-y)2-a2 =(2x-y+a)(2x-y-a) 三、 忽视符号 例9.分解因式:-x2-4y2+4xy 误解:原式=-(x2-4y2+4xy) 原式:提出“-”号后,括号内的各项都应变号 正解:原式=-(x2+4y2-4xy)=-(x-2y)2 四、 分解不彻底例10.分解因式(m2+1)2-4m2 误解:原式=(m2+1+2m)(m2+1-2m) 原因:对于分解出来的因式,没有继续分解彻底 正解:原式=(m2+1+2m)(m2+1-2m) =(m+1)2(m-1)2下面介绍一下因式分解的基本方法：（1）提公因式法 公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. ambmcmm（a+b+c） 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的.（2）运用公式法 平方差公式：. a2b2(ab)(ab) 完全平方公式：a22abb2(ab)2能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. 立方和公式：a3+b3(a+b)(a2-ab+b2). 立方差公式：a3-b3(a-b)(a2+ab+b2). 完全立方公式：a33a2b3ab2b3(ab)3 an-bn=(a-b)a(n-1)+a(n-2)b+b(n-2)a+b(n-1) am+bm=(a+b)a(m-1)-a(m-2)b+-b(m-2)a+b(m-1)(m为奇数)（3）分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.（4）十字相乘法 x2（p q）xpq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2（p q）xpq（xp）（xq） kx2mxn型的式子的因式分解如果能够分解成kac，nbd，且有adbcm时，那么kx2mxn（ax b）（cx d）a -/b ack bdnc /-d adbcm多项式因式分解的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.总之,因式分解的错误原因很多