1.3.1算法案例(1)辗转相除法与更相减损术幻灯片

1 3 1算法案例 一 辗转相除法与更相减损术 必修 第一章算法初步 咸丰一中杨金煜 1 35 915 问题1 在小学 我们已经学过求最大公约数的知识 你能求出18与30的最大公约数吗 创设情景 揭示课题 1830 2 3 18和30的最大公约数是2 3 6 方法 先用两个数公有的质因数连续去除 一直除到所得的商是互质数为止 然后把所有的除数连乘起来 练习1 1 求25和35的最大公约数 2 求49和63的最大公约数 所以 25和35的最大公约数为5 所以 49和63的最大公约数为7 2 创设情景 揭示课题 问题2 我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数 如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数 我们又应该怎样求它们的最大公约数 比如求8251与6105的最大公约数 思路1 试值 何时结束 有何好的方法 3 案例一 辗转相除法 欧几里得算法 观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程 第一步用两数中较大的数除以较小的数 求得商和余数8251 6105 1 2146 结论 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数 求8251和6105的最大公约数 只要求出6105和2146的公约数就可以了 第二步对6105和2146重复第一步的做法6105 2146 2 1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数 4 完整的过程 8251 6105 1 2146 6105 2146 2 1813 2146 1813 1 333 1813 333 5 148 333 148 2 37 148 37 4 0 例如 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225 135 1 90 135 90 1 45 90 45 2 显然37是148和37的最大公约数 也就是8251和6105的最大公约数 显然45是90和45的最大公约数 也就是225和135的最大公约数 思考 从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么 S1 用大数除以小数 S2 除数变成被除数 余数变成除数 S3 重复S1 直到余数为0 5 问题提出 你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗 算法分析 从上面对辗转相除法的认识中可以看出 辗转相除法中包含重复操作的步骤 因此可以用循环结构来构造算法 算法步骤 第一步 给定两个正整数m n m n 第二步 计算m除以n所得的余数r 第三步 m n n r 第四步 若r 0 则m n的最大公约数等于m 否则 返回第二步 6 否 思考 画出辗转相除法的程序框图并设计其程序 开始 输入两个正数整m n r mMODn r 0 输出m 结束 m n n r 是 7 思考 你能用当型循环结构构造算法 求两个正整数的最大公约数吗 试写出算法步骤 程序框图和程序 分析 在使用当型循环结构时 因为在输入两个正数后 直接进入判断r 0 这里没有一个最初的r值 因而在设计过程中 可先令r 1 算法步骤 第一步 给定两个正整数m n m n 第二步 令r 1 第三步 若r 则执行第四步 否则 m n的最大公约数等于m 结束算法 第四步 计算m除以n所得的余数r 第五步 m n n r 返回第三步 8 程序框图如下 程序如下 INPUTm nr 1WHILEr 0r mMODnm nn rWENDPRINTmEND 9 知识探究 二 更相减损术 1 设两个正整数m n 若m n d 则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等 反复利用这个原理 可求得98与63的最大公约数为多少 98 63 35 14 7 7 21 7 14 28 7 21 35 28 7 63 35 28 10 九章算术 更相减损术 算理 可半者半之 不可半者 副置分母 子之数 以少减多 更相减损 求其等也 以等数约之 算法分析 第一步 任意给定两个正整数 判断他们是否都是偶数 若是 用2约简 若不是 执行第二步 第二步 以较大的数减较小的数 接着把所得的差与较小的数比较 并以大数减小数 继续这个操作 直到所得的减数和差相等为止 则这个等数就是所求的最大公约数 11 例2 用更相减损术求98与63的最大公约数 自己按照步骤求解 解 由于63不是偶数 把98和63以大数减小数 并辗转相减 7 所以 98和63的最大公约数等于7 98 63 63 35 98 63 35 63 35 28 35 28 35 28 7 28 7 28 7 21 21 7 21 7 14 14 7 14 7 7 7 7 12 练习 用更相减损术求下列两数的最大公约数 1 225 135 2 98 196 3 72 168 4 153 119 45 98 24 17 思考 更相减损直到何时结束 运用的是哪种算法结构 更相减损是一个反复执行直到减数等于差时停止的步骤 这实际也是一个循环结构 13 2 上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术 一般地 用更相减损术求两个正整数m n的最大公约数 可以用什么逻辑结构来构造算法 其算法步骤如何设计 第一步 给定两个正整数m n m n 第三步 计算m n所得的差d 第四步 判断 d不等于n 是否成立 若是 则将n d中大者用m表示 小者用n表示 返回第三步 否则 2 k d k是约简整数2的个数 为所求的最大公约数 第二步 若m n都是偶数 则不断用2约简 使他们不同时是偶数 约简的两个数仍记为m n 14 讨论 你能根据更相减损术的算法步骤画出其程序框图并写出程序语句吗 15 其算法步骤也可以这样设计 第一步 给定两个正整数m n m n 第二步 计算m n所得的差d 第三步 比较n与d的大小 其中大者用m表示 小者用n表示 第四步 若m n 则m n的最大公约数等于m 否则 返回第二步 16 其程序框图和程序语句如下 INPUT m n m nIFmnIFd nTHENm dELSEm nn dENDIFd m nWENDPRINTdEND m 17 思考 辗转相除法与更相减损术有什么区别和联系 区别 计算上辗转相除法以除法为主 更相减损术以减法为住 在计算次数上 辗转相除法计算次数相对较少 特别当两个数大小差别较大时计算次数的区别较明显 从结果输出的时候看 辗转相除法当余数为0时输出除数 更相减损术当差和减数相等时输出差 联系 都是求最大公约数的方法 因为做一次除法与做若干次减法效果相同 商就是减法的次数 余数就是最后的差 由此可知二者是完全统一的 18 练习 1 下列说法中正确的是 A辗转相除法是中国古代数学中的算法B更相减损术与辗转相除法的算理完全不同C辗转相除法与更相减损术相比较 用辗转相除法求最大公约数最优越D辗转相除法与更相减损术 在设计程序时 都要用到循环结构 D 19 2 4830与3289的最大公约数为 3 用更相减损术求87与27的最大公约数时 反复相减 直至求出最大公约数 需要进行减法运算的次数是 4 用辗转相除法求87与27的最大公约数 需要进行除法运算的次数是 5 46 115 276的最大公约数是 23 8 3 23 20 6 下面是求115与276的最大公约数的程序 把程序补充完整 a 115b 276DOr a bb rLOOPUNTILr PRINTaEND aMODb