高三数学一轮复习不等式选讲第二节不等式的证明课件文.ppt

文数课标版 第二节不等式的证明 1 比较法 1 作差法 a b R a b 0 a b a b0 b 0 1 a b 1 a b 1 a b 教材研读 2 综合法与分析法 1 综合法 从已知条件出发 利用定义 公理 定理 性质等 经过一系列的 推理 论证而得出命题成立 综合法又叫顺推证法或由因导果法 2 分析法 证明命题时 从待证不等式出发 逐步寻求使它成立的 充分条件 直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 定义 公理 定理等 这是一种 执果索因的思考和证明方法 3 反证法先假设要证明的命题 不成立 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的 推理 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设 不正确 从而证明原命题成立 我们把它称为反证法 4 放缩法证明不等式时 通过把所证不等式的一边适当地 放大或缩小 以利于化简 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显 从而得出原不等式成立 这种方法称为放缩法 5 平均值不等式如果a1 a2 an为n个正数 则 当且仅当a1 a2 an时 等号成立 附 不等式证明的常用方法有 1 比较法 2 综合法 3 分析法 4 反证法 5 放缩法 6 换元法 7 构造法 1 已知a b R a b 2 则 的最小值为 A 1B 2C 4D 8答案B a b R 且a b 2 a b 2 2 2 4 2 即 的最小值为2 当且仅当a b 1时 成立 故选B 2 若a b m R 且a b 则下列不等式一定成立的是 A B C D b 0 即 故选B 3 若02 a2 b2 2ab 故只需比较a b与a2 b2的大小即可 a2 b2 a b a a 1 b b 1 0 a 1 0 b 1 a a 1 b b 1 0 a2 b2 a b 故选A 4 设a 0 b 0 若是3a与3b的等比中项 求证 4 证明由是3a与3b的等比中项得3a 3b 3 即a b 1 要证原不等式成立 只需证 4 即证 2 因为a 0 b 0 所以 2 2当且仅当 即a b 时 取等号 所以 4 考点一比较法证明不等式典例1设a b是非负实数 求证 a3 b3 a2 b2 证明 a b是非负实数 a3 b3 a2 b2 a2 b2 5 5 当a b时 从而 5 5 得 5 5 0 当a0 所以a3 b3 a2 b2 考点突破 方法技巧作差比较法证明不等式的步骤 1 作差 2 变形 3 判断差的符号 4 下结论 其中 变形 是关键 通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式 再结合不等式的性质判断出差的正负 注 作商比较法也有类似的步骤 但注意其比较的是两个正数的大小 且第 3 步要判断商与1的大小 考点二综合法与分析法证明不等式典例2 2015课标 24 10分 设a b c d均为正数 且a b c d 证明 1 若ab cd 则 2 是 a b cd 所以 2 2 因此 2 i 若 a b c d 则 a b 2 c d 2 1 利用综合法证明不等式时 应注意对已证不等式的使用 常用的不等式有 1 a2 0 2 a 0 3 a2 b2 2ab 它的变形形式有 a b 2 4ab 等 4 a 0 b 0 它的变形形式有a 2 a 0 2 ab 0 2 ab 0 等 规律总结 2 分析法证明不等式的注意事项 用分析法证明不等式时 不要把 逆求 错误地作为 逆推 分析法的过程仅需要寻求充分条件即可 而不是充要条件 也就是说 分析法的思维是逆向思维 因此在证题时 应正确使用 要证 只需证 这样的连接 关键词 2 1 2016辽宁沈阳模拟 设a b c 0 且ab bc ca 1 求证 1 a b c 2 证明 1 要证a b c 由于a b c 0 因此只需证明 a b c 2 3 即证a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 而ab bc ca 1 故只需证明a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 ab bc ca 即证a2 b2 c2 ab bc ca 考点三放缩法证明不等式典例3求证 k2 k k 1 k N 且k 2 即 分别令k 2 3 n得 1 将这些不等式相加得 1 即 1 1 1 1 1 即 1 2 n N 且n 2 成立 方法技巧 1 利用放缩法证明不等式 要根据不等式两边的特点进行恰当放缩 任何不适宜的放缩都会导致推证的失败 2 利用放缩法证明不等式就是舍掉式中一些正项或负项 或者在分式中放大或缩小分子 分母 或