数学归纳法及其应用举例幻灯片

第二章数学归纳法及其应用举例 1 教学目标 重点难点 教学内容 随堂练习 课堂总结 课后作业 2 教学目标 1 掌握数学归纳法的思想 2 数学归纳法学习是数列知识的深入与拓展 也是一种重要的数学方法可以使学生学会一种研究数学的科学方法 3 重点难点 重点 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析难点 数学归纳法中递推思想的理解 4 演绎推理 推理方法 归纳推理 一般到特殊 特殊到一般 完全归纳 不完全归纳 三段论 教学内容 5 1 不完全归纳法引例 明朝刘元卿编的 应谐录 中有一个笑话 财主的儿子学写字 这则笑话中财主的儿子得出 四就是四横 五就是五横 的结论 用的就是 归纳法 不过 这个归纳推出的结论显然是错误的 有一位师傅想考考他的两个徒弟 看谁更聪明一些 他给每人筐花生去剥皮 看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着 看谁先给出答案 大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了 二徒弟只拣了几个饱满的 几个干瘪的 几个熟好的 几个没熟的 几个三仁的 几个一仁 两仁的 总共不过一把花生 显然 二徒弟比大徒弟聪明 2 完全归纳法对比引例 教学内容 例题引入 6 问题情境一 问题1 大球中有5个小球 如何证明它们都是绿色的 问题2 如果 an 是一个等差数列 怎样得到an a1 n 1 d 完全归纳法 不完全归纳法 模拟演示 在等差数列 an 中 已知首项为a1 公差为d 那么a1 a1 a1 0 d a2 a1 d a1 1 d a3 a2 d a1 2 d a4 a3 d a1 3 d an 7 数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例 费马 1601 1665 法国伟大的业余数学家 欧拉 1707 1783 瑞士数学家及自然科学家 问题情境二 不完全归纳法 8 归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 归纳法 1 完全归纳法 考察全体对象 得到一般结论的推理方法 2 不完全归纳法 考察部分对象 得到一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法 优点 考查全面 结论正确 缺点 工作量大 有些对象无法全面考查 优点 考查对象少 得出结论快 缺点 观察片面化 结论不一定正确 9 如何解决不完全归纳法存在的问题呢 多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下 需要几个步骤才能做到 1 处理第一个问题 2 验证前一问题与后一问题有递推关系 相当于能推倒第一块骨牌 相当于第K块骨牌能推倒第K 1块骨牌 问题情境三 10 数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法 其格式主要有两个步骤 一个结论 1 验证当n取第一个值n0 如n0 1或2等 时结论正确 验证初始条件 2 假设n k时结论正确 在假设之下 证明n k 1时结论也正确 假设推理 3 由 1 2 得出结论 点题 找准起点奠基要稳 用上假设递推才真 写明结论才算完整 一 数学归纳法定义 11 例1 是否存在常数a b 使得等式 对一切正整数n都成立 并证明你的结论 解 令n 1 2 并整理得 以下用数学归纳法证明 1 当n 1时 由上面解法知结论正确 1 数学归纳法证明等式问题 二 数学归纳法应用举例 12 2 假设当n k时结论正确 即 则当n k 1时 故当n k 1时 结论也正确 根据 1 2 知 对一切正整数n 结论正确 13 例2 已知正数数列 an 中 前n项和为sn 且用数学归纳法证明 证 1 当n 1时 1 结论成立 2 假设当n k时 结论成立 即 则当n k 1时 故当n k 1时 结论也成立 根据 1 2 知 对一切正整数n 结论都成立 14 2 数学归纳法证明整除问题 例1 用数学归纳法证明 当n为正偶数时 xn yn能被x y整除 证 1 当n 2时 x2 y2 x y x y 即能被x y整除 故命题成立 2 假设当n 2k时 命题成立 即x2k y2k能被x y整除 则当n 2k 2时 有 都能被x y整除 故x2k 2 y2k 2能被x y整除 即当n 2k 2时命题成立 由 1 2 知原命题对一切正偶数均成立 15 例 平面内有n n 2 条直线 任何两条都不平行 任何三条不过同一点 问交点的个数为多少 并证明 当n k 1时 第k 1条直线分别与前k条直线各交于一点 共增加k个点 由1 2 可知 对一切n N 原命题均成立 证明 1 n 2时 两条直线交点个数为1 而f 2 2 2 1 1 命题成立 k 1条直线交点个数 f k k k k 1 k k k 1 2 k k 1 k 1 k 1 1 f k 1 即当n k 1时命题仍成立 2 假设n k k N k 2 时 k条直线交点个数为f k k k 1 3 数学归纳法证明几何问题 16 例1 用数学归纳法证明 如果 an 是一个等差数列 则an a1 n 1 d对于一切n N 都成立 例题讲解 证明 1 当n 1时 左边 a1 右边 a1 1 1 d a1 当n 1时 等式成立 2 假设当n k时等式成立 即ak a1 k 1 d 则当n k 1时 ak 1 ak d a1 k 1 d d a1 k 1 1 d 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 知 等式对于任何n N 都成立 凑假设 结论 从n k到n k 1有什么变化 17 证明 1 当n 1时左 1 右 12 1 n 1时 等式成立 2 假设n k时 等式成立 即1 3 5 2k 1 k2那么 当n k 1时左 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 k2 2k 1 k 1 2 右即n k 1时等式成立由 1 2 可知等式对任何n N 都成立 递推基础 递推依据 例2 用数学归纳法证明1 3 5 2n 1 n2 18 练 习 用数学归纳法证明 1 2 1 2 22 2n 1 2n 1 3 首项是a1 公比是q的等比数列的通项公式是an a1qn 1 19 感悟与收获 1 本节的中心内容是归纳法和数学归纳法 2 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法 分为完全归纳法和不完全归纳法二种 3 由于不完全归纳法