2.2 函数的求导法则ppt课件.ppt

2 2函数的求导法则 DifferentiationRules 1 一 导数的四则运算 设函数u x 和v x 在点x处可导 则 也在点x处可导 且有以下求导公式 2 3 证 设 4 5 证 设 6 7 先证 8 9 10 推广 11 导数运算的线性性 线性组合的导数 导数的线性组合 12 13 例4 14 例5 15 16 课内练习 17 with plots plot signum x x 5 5 y 1 5 1 5 color red thickness 2 style line 18 二 反函数的求导法则 设单调函数y f x 在点x a处可导 则曲线y f x 在点P a b 处有切线PT 且切线的斜率为 19 由于反函数x y 的图形与函数y f x 的图形重合 因此曲线x y 在点P a b 处有切线PT 且切线的斜率为 因此反函数x y 在点y b处可导 且导数为 20 21 定理2 反函数的求导法则 设单调函数y f x 在点x a处可导 且f x 0 则其反函数反函数x y 在点y b b f a 处可导 且导数为 22 证明 由单调性 由连续性 23 或简记为 24 交换了字母而已 25 with plots A plot ln x x 0 01 3 y 2 3 color red thickness 3 B plot exp x x 2 3 y 0 01 3 color blue thickness 3 C plot x x 1 2 5 y 1 2 5 color black thickness 2 linestyle 2 display A B C scaling constrained tickmarks 0 0 26 例6 27 with plots f x arcsin x A plot f x x 1 1 color red thickness 3 B plot D f x x 0 9 0 9 color blue thickness 3 display A B scaling constrained tickmarks 4 6 28 with plots f x arccos x A plot f x x 1 1 color red thickness 3 B plot D f x x 0 9 0 9 color blue thickness 3 display A B scaling constrained tickmarks 4 6 用类似的方法可证 29 例7 30 with plots f x arctan x A plot f x x 5 5 color red thickness 3 B plot D f x x 5 5 color blue thickness 3 display A B scaling constrained tickmarks 4 6 31 with plots f x arccot x A plot f x x 5 5 color red thickness 3 B plot D f x x 5 5 color blue thickness 3 display A B scaling constrained tickmarks 4 6 用类似的方法可证 32 另外可证 不要求 33 例8 对数函数的导数也可以由对函数的导数求得 自学 34 例 设 求 解 当x 0时 y f 0 1 所以 FromSteward 4th p 349 35 with plots f x 2 x cos x A plot f x x 2 3 color red thickness 3 display A scaling constrained tickmarks 4 6 36 with plots f x 2 x cos x A plot x f x x 5 5 color red thickness 3 B plot f x x x 5 5 color blue thickness 3 display A B scaling constrained tickmarks 12 6 Maple可以轻易作出反函数的图形 37 三 复合函数的求导法则 先看一个例子 求 法一 法一 哪一个正确 错在哪里 38 令 则 39 定理3 复合函数的求导法则 设函数u g x 在点x可导 而函数y f u 在点u g x 可导 则复合函数y f g x 在点x可导 且有导数 或 链式法则 TheChainRule 40 链式法则 直观解释 41 证明 令 严格证明 自学 42 TheChainRule 43 Thetheoremcanbeextendedtocompositionsofthreeormorefunctions Forexample if Thenthechainrulebecomes 44 例 解 分解 45 例 解 分解 46 熟练以后 一般不引入中间变量 47 再解 48 复合函数求导的方法 1 弄清函数的复合结构 复合顺序 2 从外层向内层逐层求导 每一次只求一个导数 3 不漏掉任何一层 一直求到对自变量x的导数为止 49 例13 解 复合结构 分解不一定要写出 但一定要把它们默默地记在心里 50 例13 解 复合结构 51 例14 解 复合结构 52 解 课内练习6 2 53 课内