初等函数与经济函数

四 初等函数 1 基本初等函数 以上六类函数称为基本初等函数 A 常函数 B 幂函数 B 幂函数 C 指数函数 D 对数函数 E 三角函数 E 三角函数 E 三角函数 F 反三角函数 F 反三角函数 2 初等函数 例如 是初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数 称为初等函数 注意 分段函数 有些函数 对于其定义域内自变量不同的值 不能用一个统一的解析式表示 而要用两个或两个以上的式子表示 这类函数称为分段函数 分段函数是一个函数 而不是两个或几个函数 分段函数是初等函数吗 问题 1 5常用经济函数及其应用 单利与复利利息是只指借贷者向贷款者支付的报酬 它是根据本金的数额按一定比例计算出来的 利息又有存款利息 债券利息等几种形式 1 单利计算公式2 复利计算公式 需求函数 供给函数与市场均衡需求函数是指在某一特定时期内 市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系 假定其他因素不变 则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的价格 Qd f P Qd是需求量 P是价格 需求函数的反函数称为价格函数 习惯上将价格函数也称为需求函数 供给函数供给函数是指在某一特定时期内 市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系 Qs f P Qs表示供给量 P表示价格 当商品的价格提高时 商品的供给量将会增加 供给量是关于价格的单调增加函数 市场均衡如果需求量等于供给量 则这种商品就达到了市场均衡 Qs Qd P0 这个价格P0称为该商品的市场均衡价格 当市场价格高于均衡价格时 将出现供过于求的现象 当市场价格低于均衡价格时 将出现供不应求的现象 Qs Qd Q0 称为市场均衡数量 成本函数 收入函数与利润函数成本函数表示费用总额与产量之间的依赖关系 产品成本分为固定成本和变动成本 变动成本是指随产量变化而变化的那部分成本 成本函数C C x x为产量 当产量为0时 对应的成本函数值就是产品的固定成本值 收入函数与利润函数销售某种产品的收入R 等于产品的单位价格P乘以销售x 即R Px 称为收入函数 而销售利润L等于收入R减去成本C L R C 称其为利润函数 生产者盈利 生产者亏损 生产者盈亏平衡 左右极限 极限存在的充要条件 无穷大 两者的关系 无穷小的性质 极限的性质 求极限的常用方法 判定极限存在的准则 两个重要极限 无穷小的比较 等价无穷小及其性质 唯一性 极限 数列极限 一 概念的引入 1 割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 播放 正六边形的面积 正十二边形的面积 正形的面积 2 截丈问题 一尺之棰 日截其半 万世不竭 二 数列的定义 例如 注意 1 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 2 数列是整标函数 播放 三 数列的极限 观察数列 问题 当无限增大时 是否无限接近于某一确定的数值 如果是 如何确定 通过上面演示实验的观察 对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的 显然不能 问题 无限接近 意味着什么 如何用数学语言刻划它 这就是 当n无限增大时 xn无限地接近于1 的实质和精确的数学描述 如果数列没有极限 就说数列是发散的 注 定义1习惯上称为极限的 N定义 它用两个动态指标 和N刻画了极限的实质 用 xn a 定量地刻画了xn与a之间的距离任意小 即任给 0标志着 要多小 的要求 用n N表示n充分大 这个定义有三个要素 10 正数 20 正数N 30 不等式 xn a n N 定义中的 具有二重性 一是 的任意性 二是 的相对固定性 的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程 这个无限过程通过 的任意性来实现 但这个无限过程又要一步步地实现 而且每一步的变化都是有限的 这个有限的变化通过 的相对固定性来实现 定义中的N是一个特定的项数 与给定的 有关 重要的是它的存在性 它是在 相对固定后才能确定的 且由 xn a 来选定 一般说来 越小 N越大 但须注意 对于一个固定的 合乎定义要求的N不是唯一的 用定义验证xn以a为极限时 关键在于设法由给定的 求出一个相应的N 使当n N时 不等式 xn a 成立 在证明极限时 n N之间的逻辑关系如下图所示 xn a n N 定义中的不等式 xn a n N 是指下面一串不等式 都成立 而对 则不要求它们一定成立 数列极限的几何意义 使得N项以后的所有项 都落在a点的 邻域 因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点 这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内 同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小 呈现出一种稳定的状态 这种稳定的状态就是人们所称谓的 收敛 注意 数列极限的定义未给出求极限的方法 例1 证明 因此 则当n N时 有 利用定义验证数列极限 有时遇到的不等式 xn a 不易考虑 往往采用把 xn a 放大的方法 若能放大到较简单的式子 就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N 放大的原则 放大后的式子较简单 放大后的式子以0为极限 例2证明 证明 则当n N时 有 例3 证 若q 0则上式显然成立 下证q 0的情形 不妨设 1 注 在论证极限问题时 都可以假设 1 因为若对小于1的 已经得到项数指标N 则对于大于1的 上述项数指标N仍合乎定义要求 例4 证 四 数列极限的性质 1 有界性 例如 有界 无界 定理1收敛的数列必定有界 证 由定义 注意 有界性是数列收敛的必要条件 推论无界数列必定发散 2 唯一性 定理2每个收敛的数列只有一个极限 分析 直接证明较困难 采用反证法 由数列极限的几何意义 在a的任一 邻域内聚集着xn中的无穷多个点 而在该邻域之外至多有xn中的有限个点 证 用反证法 a b不妨设a b 矛盾 这说明结论成立 例5 证 由定义 区间长度为1 不可能同时位于长度为1的区间内 在数列 xn 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序 得到的数列称为子数列 定理3 若数列xn收敛于a 则它的任一子数列也收敛 且极限也是a 这一