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线性方程与伯努利方程 机动目录上页下页返回结束 第四节 一 一般一阶线性微分方程 二 伯努利方程 一 一般一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式 若Q x 0 称为非齐次方程 1 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 机动目录上页下页返回结束 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 2 解非齐次方程 用常数变易法 则 故原方程的通解 即 即 令 两端积分得 机动目录上页下页返回结束 例1 解方程 解 先解 即 积分得 即 再用常数变易法 令 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 机动目录上页下页返回结束 例2 求方程 的通解 解 注意 所求通解为 机动目录上页下页返回结束 二 伯努利 Bernoulli 方程 伯努利方程的标准形式 令 求出此方程通解后 除方程两边 得 换回原变量即得伯努利方程的通解 解法 线性方程 伯努利目录上页下页返回结束 例4 求方程 的通解 解 令 则方程变形为 其通解为 将 代入 得原方程通解 机动目录上页下页返回结束 例5 求方程 的通解 解 方程变形为 通解为 机动目录上页下页返回结束 5 里卡蒂 Riccati 方程 Riccati方程的标准形式 求出此方程通解后 设方程的特解为y0 令 换回原变量即得里卡蒂方程的通解 解法 伯努利方程 例2 9 求方程 的通解 解 通过观擦 为特解 作变换 代入后得 伯努利 再令 得 解得 方程通解为 定理2 1 里卡蒂方程 当且仅当 时才可以初等求解 判别下列方程类型 提示 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 机动目录上页下页返回结束 利卡提方程 备用题 1 求一连续可导函数 使其满足下列方程 提示 令 则有 利用公式可求出 机动目录上页下页返回结束 2 设有微分方程 其中 试求此方程满足初始条件 的连续解 解 1 先解定解问题 利用通解公式 得 利用 得 故有 机动目录上页下页返回结束 2 再解定解问题 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3 原问题的解为 机动目录上页下页返回结束 雅各布第一 伯努利 书中给出的伯努利数在很多地方有用 伯努利 1654 1705 瑞士数学家 位数学家 标和极坐标下的曲率半径公式 1695年 版了他的巨著 猜度术 上的一件大事 而伯努利定理则是大数定律的最早形式 年提出了著名的伯努利方程 他家祖孙三代出过十多 1694年他
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