大数定律与中心极限定理PPT课件

1 3 5大数定律与中心极限定理 一 依概率收敛 二 大数定律 三 中心极限定理 2 一 依概率收敛 设X X1 X2 Xn 是一列随机变量 如果对任意 0 恒有 定义3 12 依概率收敛 3 二 大数定律 定理3 8 伯努利大数定律 设 n是n重伯努利试验中事件A发生的次数 已知在每次试验中A发生的概率为p 0 p 1 则对任意 0 有 如果记 则 3 87 可改写为 提示 4 定理3 9 切比雪夫大数定律 设 1 2 n 是一列两两不相关的随机变量 它们的数学期望E i和方差D i均存在 且方差有界 即存在常数C 使得D i C i 1 2 则对任意 0有 推论设 1 2 n 是一列独立同分布的随机变量 其数学期望和方差均存在 记E i 则对任意 0 有 5 定理3 10 辛钦大数定律 设 1 2 n 是一列相互独立同分布的随机变量 且数学期望存在 记E i 则有 说明 6 要解决的问题 1 为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位 2 大样本统计推断的理论基础是什么 三 中心极限定理 7 记 8 9 注 1 中心极限定理表明大量独立同分布的随机变量之和都近似服从正态分布 2 作用 由此可近似求出由 生成的任何事件的概率 10 11 例3 30一盒同型号螺丝钉共有100个 已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量 期望值是100g 标准差是10g 求一盒螺丝钉的重量超过10 2kg的概率 设 i为第i个螺丝钉的重量 i 1 2 100 且它们之间独立同分布 于是一盒螺丝钉的重量为 1 2 100 且 解 由中心极限定理有 1 0 2 1 0 97725 0 02275 12 13 定理3 12 棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理 设Xn b n p 0 p 1 则 定理表明 当n充分大时 二项分布可用正态分布来近似 14 下面的图形表明 正态分布是二项分布的极限分布 15 例3 31设某电站供电网有10000盏电灯 夜晚每盏灯开灯的概率为0 7 而假定开关时间彼此独立 估计夜晚同时开着的灯的盏数在6800与7200之间的概率 表示在夜晚同时开着的灯的盏数 则 b 10000 0 7 于是E 10000 0 7 7000 D 10000 0 7 0 3 2100 由中心极限定理 有 解 2 0 4 36 1 0 99999 16 例3 32某仪器由n个电子元件组成 每个电子元件的寿命服从 0 1000 上的均匀分布 单位 h 当有20 的元件烧坏时 仪器便报废 求为使该仪器的寿命超过100h的概率不低于0 95 n至少为多大 设X表示仪器的寿命 Xi表示第i个电子元件的寿命 记Ai Xi 100 表示n个事件Ai i 1 2 n 中发生的个数 解 17 例3 32某仪器由n个电子元件组成 每个电子元件的寿命服从 0 1000 上的均匀分布 单位 h 当有20 的元件烧坏时 仪器便报废 求为使该仪器的寿命超过100h的概率不低于0 95 n至少为多大 设X表示仪器的寿命 Xi表示第i个电子元件的寿命 记Ai Xi 100 表示n个事件Ai i 1 2 n 中发生的个数 解 18 记X为200台机器中工作着的机器台数 则X是随机变量 服从参数为200 0 6的二项分布 并且np 120 npq 48 解 补充例2某车间有200台机床独立地工作着 设每台机床开工率为0 6 开工时耗电1千瓦 问供电所至少要供多少电才能以不小于99 9 的概率保证车间不会因供电不足而影响生产 按题意 求最小的r 使P 0 X r 0 999 因为 19 解 补充例2某车间有200台机床独立地工作着 设每台机床开工率为0 6 开工时耗电1千瓦 问供电所至少要供多少电才能以不小于99 9 的概率保证车间不会因供电不足而影响生产 记X为200台机器中工作着的机器台数 则X是随机变量 服从参数为200 0 6的二项分布 并且np 120 npq 48 按题意 求最小的r 使P 0 X r 0 999 因为 解得r 141 因此供电所至少供电141千瓦 才能以不小于99 9 的概率保证车间不会因供电不足而影响生产 20 解 补充例3设某单位为了解人们对某一决议的态度进行抽样调查 设该单位每个人赞成该决议的概率为p 且人与人之间赞成与否相互独立 p未知 0 p 1 试问要调查多少人 才能使赞成该决议的人数的频率与p相差不超过0 01概率达0 95以上 设Yn为所调查的n个人中赞成该决议的人数 则Yn B n p 问题是求最小的n 使 21 根据极限定理 在n充分大时有 解 设Yn为所调查的n个人中赞成该决议的人数 则Yn B n p 问题是求最小的n 使 于是n应满足不等式n 196 2pq 注意到当0 p 1时 必有 故n只需满足如下不等式