3章 网孔分析法和结点分析法

1 第3章网孔分析法和节点分析法 介绍利用独立电流或独立电压作变量来建立电路方程的分析方法 可以减少联立求解方程的数目 适合于求解稍微复杂一点的线性电阻电路 是 笔 算求解线性电阻电路最常用的分析方法 主要内容 2 熟练掌握电路方程的列写方法 网孔电流法节点电压法 重点 3 3 1网孔分析法 基本思想 为减少未知量 方程 的个数 假想每个网孔中有一个网孔电流 各支路电流可用网孔电流的线性组合表示 来求得电路的解 当以网孔电流为未知量时 列写电路方程分析电路的方法 称网孔法 独立回路为2 选图示的两个独立网孔 支路电流可表示为 1 网孔分析法 4 网孔1 R1il1 R2 il2 il1 uS1 uS2 0 网孔2 R2 il2 il1 R3il2 uS2 0 整理得 R1 R2 il1 R2il2 uS1 uS2 R2il1 R2 R3 il2 uS2 2 KVL方程列写 5 R1 R2 il1 R2il2 uS1 uS2 R2il1 R2 R3 il2 uS2 R11 R1 R2网孔1的自电阻 等于网孔1中所有电阻之和 R22 R2 R3网孔2的自电阻 等于网孔2中所有电阻之和 R12 R21 R2网孔1 网孔2之间的互电阻 1 自电阻总为正 当两个网孔电流流过相关支路方向相同时 互电阻取正号 否则为负号 6 ul1 uS1 uS2网孔1中所有电压源电压的代数和 2 当电压源电压升方向与该网孔方向一致时 取正号 反之取负号 ul2 uS2网孔2中所有电压源电压的代数和 R1 R2 il1 R2il2 uS1 uS2 R2il1 R2 R3 il2 uS2 7 由此得标准形式的方程 对于具有个m个独立网孔的电路 其网孔方程为 Rjk 互电阻 网孔i k公共电阻之和 流过互阻的两个网孔电流方向相同 流过互阻的两个网孔电流方向相反 0 无关 Rkk 自电阻 网孔k中所有电阻之和 恒正 uSlu 网孔lu中所有电压源电压的代数和 当电压源电压升方向与该网孔方向一致时 取正号 反之取负号 网孔方程 8 列写的方程数目 独立KVL方程个数 是对网孔列写KVL方程 方程数不变 网孔分析法 本质 9 3 举例说明 三个方程求解得到三个未知量il1il2il3 根据电路中i1 il1 i2 il2 i3 il3 i4 il1 il3 i5 il1 il2 i6 il2 il3计算得到所有电流值 并能根据欧姆定律求的电压值 10 Rjk 网孔i k互电阻 流过互阻的两个网孔电流方向相同 流过互阻的两个网孔电流方向相反 0 无关 Rkk 网孔k的自电阻 网孔k中所有电阻之和 恒正 uSlk 网孔lk中所有电压源电压的代数和 当电压源电压升方向与该网孔方向一致时 取正号 反之取负号 例如R11 R1 R4 R5 R22 R2 R5 R6 R33 R3 R4 R6 例如R12 R21 R5 R13 R31 R4 例如R23 R32 R6 例如uS11 uS1 uS22 uS2 uS33 uS3 11 从以上分析可见 由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔方程规律 各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降的代数和 等于该网孔全部电压源电压升的代数和 即电阻上的电压降之和等于电压源电压升之和 根据以上总结的规律和对电路图的观察 就能直接列出网孔方程 12 网孔分析法的计算步骤 1 在电路图上标明网孔电流及其参考方向 若全部网孔电流均选为顺时针 或逆时针 方向 则网孔方程的全部互电阻项均取负号 且不含受控源的线性网络Rjk Rkj 系数矩阵为对称阵 2 用观察电路图的方法直接列出各网孔KVL方程 3 求解网孔方程 得到各网孔电流 4 假设支路电流的参考方向 根据支路电流与网孔电流的线性组合关系 求得各支路电流 5 用VCR方程 求得各支路电压 13 例3 1用网孔分析法求电路各支路电流 解 选定两个网孔电流il1和il2的参考方向 如图所示 用观察电路的方法直接列出网孔方程 i1 1A i2 3A i3 i1 i2 4A 14 例3 2网孔分析法求各支路电流 解 选定各网孔电流的参考方向 如图所示 用观察法列出网孔方程 15 把电流源当做电压源处理 并增加网孔电流和电流源电流的关系方程 电流源看作未知电压源列方程 增补方程 4 含独立电流源支路的网孔方程 16 代入i3 2A 整理后得到 解得i1 4A i2 3A和i3 2A i3 2A 只需计入1A电流源电压u 列出两个网孔方程和一个补充方程 从此例可见 若能选择电流源电流作为某一网孔电流 就能减少联立方程数目 当电流源出现在电路外围边界上时 该网孔电流等于电流源电流 成为已知量 此时不必列出此网孔的网孔方程 例 17 与电阻并联的电流源 可做电源等效变换 18 电流源出现在电路外围边界上时 该网孔电流等于电流源电流 成为已知量 不必列出此网孔的网孔方程 若有电阻与电流源并联 可先等效变换为电压源和电阻串联 将电路变为仅由电压源和电阻构成的电路 再建立网孔方程 不满足以上两种情况时 应增加电流源电压作变量来建立网孔方程 此时 由于增加了电压变量 需补充电流源电流与网孔电流关系的方程 结论 含电流源的电路的网孔方程的列写方法 19 例3 3用网孔分析法求电路的支路电流 解 设电流源电压为u 考虑了电压u的网孔方程为 补充方程 求解以上方程得到 图3 4 20 5 网孔方程推广到回路方程 网孔分析法本质是对b n 1 个独立网孔列写KVL方程 由于KVL方程也可以是b n 1 个独立回路 因此网孔法可以推广为回路法 为什么要回路法 电流源出现在电路外围边界上时 或者只有一个回路电流与此电流源相关联 则该网孔电流等于电流源电流 成为已知量 不必列出此网孔的网孔方程 减少方程 降低计算量 如何判断方程独立 每个方程对应回路都至少含有一个特有支路 是否可行 21 选取独立回路 使理想电流源支路仅仅属于一个回路 该回路电流即IS 例 i1 i3 i2 独立KVL方程数目为6 4 1 3 即为独立回路数目 22 解得 例 求U和I 独立回路为3 23 回路法的一般步骤 1 计算独立回路数 l b n 1 3 对l个独立回路 以回路电流为未知量 列写其KVL方程 4 求解上述方程 得到l个回路电流 6 其它分析 如功率等 5 求各支路电流 用回路电流表示 回路法 网孔法 特点 1 减少计算量 2 互有电阻的识别难度加大 易遗漏互有电阻 2 选定电流源所在回路 选定其它回路 使得它们不经过电流源支路 24 练习题1 选择i3 i4和i5作为三个回路电流 只用一个回路方程求出电流i5 练习题2 i3 i4和i6作为回路电流 只用一个回路方程求出电流i6 25 3 2节点分析法 nodevoltagemethod 求各支路电压电流 如果先求解出3个节点电压 则各支路电压可以用节点电压线性表示 然后根据欧姆定律求得电流 26 3 2节点分析法 nodevoltagemethod 选节点电压为未知量列写KCL方程 基本思想 以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法 适用于节点较少的电路 列写的方程 节点电压法列写的是节点上的KCL方程 独立方程数为 1 概述 由于各支路电压可视为节点电压的线性组合 求出节点电压后 便可求得支路电压并根据欧姆定律得到各支路电流 27 1 选定参考节点 标明其余n 1个独立节点的电压 2 方程列写 2 列KCL方程 i1 i2 iS1 iS2 i2 i3 i4 0 把支路电流用节点电压表示 i3 i5 iS2 28 整理 得 令Gk 1 Rk k 1 2 3 4 5 上式简记为 G11un1 G12un2 G13un3 iSn1 G21un1 G22un2 G23un3 iSn2 G31un1 G32un2 G33un3 iSn3 标准形式的节点电压方程 等效电流源 29 其中 G11 G1 G2节点1的自电导 等于接在节点1上所有支路的电导之和 G22 G2 G3 G4节点2的自电导 等于接在节点2上所有支路的电导之和 G12 G21 G2节点1与节点2之间的互电导 等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和 始终为负值 自电导总为正 互电导总为负 G33 G3 G5节点3的自电导 等于接在节点3上所有支路的电导之和 G23 G32 G3节点2与节点3之间的互电导 等于接在结点2与节点3之间的所有支路的电导之和 始终为负值 30 iSn3 iS3 uS R5流入节点2的电流代数和 iSn1 iS1 iS2流入节点1的电流源电流的代数和 流入节点取正 流出取负 由节点电压方程求得各节点电压后即可求得各支路电压 各支路电流可用节点电压表示 31 一般情况 其中 Gii 自电导 等于接在节点i上所有支路的电导之和 包括电压源与电阻串联支路 总为正 当电路不含受控源时 系数矩阵为对称阵 iSni 流入节点i的所有电流源电流的代数和 包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源 Gij Gji 互电导 等于接在节点i与节点j之间的所有支路的电导之和 总为负 32 节点法的一般步骤 1 选定参考节点 标定n 1个独立节点 2 对n 1个独立节点 以节点电压为未知量 列写其KCL方程 3 求解上述方程 得到n 1个节点电压 5 其它分析 4 求各支路电流 用节点电压表示 33 例用节点电压分析法求电路中各电阻支路电流 解 用接地符号标出参考节点 标出节点电压 u1 u2 1 1 u1 1u2 5A 1u1 1 2 u2 10A 34 选定各电阻支路电流参考方向如图所示 可求得 35 例 解 参考节点和节点电压如图所示 用观察法列出三个节点方程 用节点分析法求电路各支路电压 2 2 1 u1 2u2 6 18 2u1 2 3 6 u2 18 12 1u3 6u3 1u1 6u2 25 6 1 6 3 u3 36 整理得到 求得另外三个支路电压为 37 方法一 电压源当做电流源 并增补节点电压与电压源间的关系方程 G1 G2 U1 G1U2 I G1U1 G1 G3 G4 U2 G4U3 0 G4U2 G4 G5 U3 I 看成电流源 增补方程 U1 U3 US 3 含独立电压源支路的节点方程 38 方法二 选择合适的参考点 U1 US G1U1 G1 G3 G4 U2 G3U3 0 G2U1 G3U2 G2 G3 G5 U3 0 使得电压源电压成为节点电压 39 例 求U和I 90V 2 1 2 1 100V 20A 110V U I 3 1 2 解得 40 3 有电阻与电压源串联 G1 G2 GS U1 G1U2 GsU3 USGS G1U1 G1 G3 G4 U2 G4U3 0 GSU1 G4U2 G4 G5 GS U3 USGS 电阻与电压源串联单口 等效为电流源与电阻并联单口 USGS 41 思考 有电阻与电流源串联时如何列写节点方程 2 1 2 1 20A U I 3 1 2 节点3 忽略与电流源串联的电阻 42 3 若不满足以上情况 则把电压源当做电流源处理 以电流变量来建立节点方程 再补充电压源电压与节点电压关系的方程 结论 含独立电压源电路的节点方程列写方法 1 尽量使电压源电压成为节点电压 可不列该节点KCL方程 2 若有电阻与电压源串联支路 可等效为电流源与电阻并联单口 再建立节点方程 43 3 3含受控电源 非独立源 的电路分析 电压或电流的大小和方向不是给定的时间函数 而是受电路中某个地方的电压 或电流 控制的电源 称受控源 电路符号 受控电压源 受控电流源 1 定义 44 1 电流控制的电流源 CCCS 转移电流比 i1 i2 输出 受控部分 输入 控制部分 2 分类 电流控制电流源 电压控制电流源 电流控制电压源 电压控制电压源 45 2 电流控制的电压源 CCVS r 转移电阻 46 g 转移电导 3 电压控制的电流源 VCCS u1 gu1 i2 4 电压控制的电压源 VCVS 电压放大倍数 47 1 独立源电压 或电流 由电源本身决定 与电路中其它电压 电流无关 而受控源电压 或电流 由控制量决定 2 独立源在电路中起 激励 作用 在电路中产生电压 电流 而受控源只是反映输出端与输入端的受控关系 在电路中不能作为 激励 求 电压u2 解 3 受控源与独立电源的比较 48 例求图 a 所示单口网络的等效电阻 解 外加电流源i 写出端口电压u的表达式 4 含受控源单口网络的等效 49 由于受控电压源的存在 使端口电压增加了 u1 Ri 导致单口等效电阻增大到 1 倍 若控制系数 2 则单口等效电阻Ro R 这表明该电路可将正电阻变换为一个负电阻 50 例求图 a 所示单口网络的等效电阻 解 外加电压源u 写出端口电流i的表达式为 51 该电路将电导G增大到原值的 1 倍或将电阻R 1 G变小到原值的1 1 倍 若 2 则Go G或Ro R 这表明该电路也可将一个正电阻变换为负电阻 52 由线性电阻和线性受控源构成的电阻单口网络 就端口特性而言 也等效为一个线性二端电阻 电阻 受控源 等效电阻由线性受控源 线性电阻和独立电源构成的单口网络 就端口特性而言 可以等效为一个线性电阻和电压源的串联单口 或等效为一个线性电阻和电流源的并联单口 电阻 受控源 独立电源 等效电阻 等效独立电源等效电阻求法 外加电源计算端口VCR方程 结论 53 例求图 a 所示单口网络的等效电路 解 用外加电源法 求得单口VCR方程为 其中 得到 54 或 表示10 电阻和2A电流源的并联 如图 c 所示 求得单口VCR方程为 等效电路为10 电阻和20V电压源的串联 如图 b 所示 55 例1 注 受控源和独立源一样可以进行电源转换 转换过程中注意不要丢失控制量 如i1 求电流i1 56 例 求电流i1 57 例2 把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连 58 对含有受控电源支路的电路 可先把受控源看作独立电源按前文所述网孔或回路分析方法列方程 再将控制量用回路电流表示 5 含受控源电路的网孔方程 59 例 受控电压源看作独立电压源列方程 增补方程 60 例 列网孔电流方程 解1 选网孔为独立回路 U2 U3 增补方程 61 解2 合理选择回路 增补方程 62 对含有受控电源支路的电路 可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程 再将控制量用节点电压表示 先把受控源当作独立源列方程 2 用节点