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1 常微分方程常见形式及解法 知行130113275001毕文彬 2 微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 微分方程的解是一个符合方程的函数 而在初等数学的代数方程 其解是常数值 常微分方程 ODE 是指一微分方程的未知数是单一自变数的函数 最简单的常微分方程 未知数是一个实数或是复数的函数 但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数 后者可对应一个由常微分方程组成的系统 微分方程的表达通式是 常微分方程常依其阶数分类 阶数是指自变数导数的最高阶数 最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分方程 例如以下的贝塞尔方程 其中y为应变数 为二阶微分方程 其解为贝塞尔函数 3 常见例子 以下是常微分方程的一些例子 其中u为未知的函数 自变数为x c及 均为常数 非齐次一阶常系数线性微分方程 齐次二阶线性微分方程 描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程 非齐次一阶非线性微分方程 描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程 4 微分方程的解 微分方程的解通常是一个函数表达式 含一个或多个待定常数 由初始条件确定 例如 dy dx sinx 的解是y cosx C 其中C是待定常数 例如 如果知道y f 2 则可推出C 1 而可知y cosx 1 5 01 02 简易微分方程的求解方法 一阶线性常微分方程 二阶常系数齐次常微分方程 6 一阶线性常微分方程 对于一阶线性常微分方程 常用的方法是常数变易法 对于方程 可知其通解 然后将这个通解代回到原式中 即可求出C x 的值 01 7 二阶常系数齐次常微分方程 对于二阶常系数齐次常微分方程 常用方法是求出其特征方程的解对于方程 可知其通解 其特征方程 根据其特征方程 判断根的分布情况 然后得到方程的通解一般的通解形式为 在r1 r2的情况下 在的r1 r2情况下 在共轭复数根的情况下 02 8 01 02 03 04 一般通解 可分离方程 一般一阶微分方程 一般二阶微分方程 线性方程 最高到n阶 9 可分离方程 01 10 一般一阶微分方程 02 11 一般二阶微分方程 03 线性方程 最高到n阶 04 12 谢谢观看 此
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