立体几何证明题

例2 如图 在底面是菱形的四棱锥P ABCD中 点E在PD上 且PE ED 2 1 问在棱PC上是否存在一点F 使BF 平面AEC 证明你的结论 M F O 证明过程分析 a PO PA a AO a a 平面PAO PO 平面PAO PA a 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么 它就和这条斜线垂直 结论汇总1 板书证明过程 结论汇总2 三垂线定理基本图形的特点分析 1 一面 2 四线 3 三垂直 线面垂直 线射垂直 线斜垂直 探究问题4 三垂线定理的图形有哪些特点 构成元素 三垂的解释 例1已知P是平面ABC外一点 PA 平面ABC AC BC 求证 PC BC 证明 P是平面ABC外一点PA 平面ABC AC是斜线PC在平面ABC上的射影 BC 平面ABC且AC BC 由三垂线定理得PC BC 结论应用 线射垂直 线斜垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么 它也和这条斜线的射影垂直 已知 PA PO分别是平面 的垂线和斜线 AO是PO在平面 的射影 a a PO求证 a AO 三垂线定理的逆定理 例1已知 正方体中 AC是面对角线 BD 是与AC异面的体对角线 求证 AC BD 变式练习1 如图 E F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点 沿EF将 AEF折起到 A1EF的位置 连结A1B A1C 求证 1 EF 平面A1EC 2 AA1 平面A1BC 用线面垂直的性质定理证明线线垂直 证明 如图 ACB 90 所以BC AC 又在直三棱柱ABC A1B1C1中 CC1 平面ABC 所以BC CC1 而AC CC1 C 所以BC 平面AA1C1C 所以BC AM 连结A1C 可以证明Rt ACM Rt AA1C 所以AM A1C 而A1C BC C 所以AM 平面A1BC 所以A1B AM 空间角的计算 一找 二证 三求解 例1在正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求直线A1B与直线CD所成角 2 求直线A1B和直线B1C所成角 3 求直线A1O和直线AD1所成的角 4 求直线A1C和直线AD所成的角的余弦值 直线与平面所成的角 线面角相关概念 P 斜线PA与平面 所成的角为 PAB l A 1 斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角 2 平面的垂线与平面所成的角为直角 3 一条直线与平面平行或在平面内 则这条直线与平面所成的角的00角 一条直线与平面所成的角的取值范围是 例1在正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求直线A1B和平面ABCD所成的角 2 求直线A1B和平面A1B1CD所成的角 3 求直线A10和平面ABCD所成的角 例2如图 AB为平面 的一条斜线 B为斜足 AO 平面 垂足为O 直线BC在平面 内 已知 ABC 60 OBC 45 求斜线AB和平面 所成的角 一 二面角的定义及二面角的平面角 平面的一条直线把平面分为两部分 其中的每一部分都叫做一个半平面 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 1 半平面 2 二面角 3 二面角画法 如下图 二面角 AB 二面角 l 二面角C AB D 5 4 二面角的记法 面1 棱 面2 上述变化过程中图形在变化 形成的 角度 的大小如何来确定 5 二面角的平面角 垂直于二面角的棱的任一平面与两个半平面的交线所成的角叫做二面角的平面角 从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 二面角的平面角与点 或垂直平面 的位置无任何关系 只与二面角的张角大小有关 二面角就是用它的平面角来度量的 一个二面角的平面角多大 我们就说个二面角是多少度的二面角 注 注意 二面角的平面角必须满足 6 二面角的范围 0 180 7 直二面角 平面角为直角的二面角叫做直二面角 二面角的平面角 二面角的平面角必须满足 二面角的平面角的范围 0 180 二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 注意 与顶点位置无关 APB A1P1B1 一 几何法 找出平面角 求解三角形 1 定义法 以二面角的棱a上任意一点O为端点 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA OB 则 AOB就是此二面角的平面角 在一个平面内选一点A向另一平面作垂线AB 垂足为B 再过点B向棱a作垂线BO 垂足为O 连结AO 则 AOB就是二面角的平面角 3 垂面法 过二面角内一点A作AB 于B 作AC 于C 面ABC交棱a于点O 则 BOC就是二面角的平面角 2 三垂线法 例1在正方体ABCD A1B1C1D1中 1 找出二面角A1 BD A 2 找出二面角A1 BD B1 3 E是BB1的中点 找出平面A1DE与平面ABCD所成锐角 E P A B C 则 BDE就是此二面角的平面角 ABC为正 BE 在Rt PAC中 E为AC中点 则DE 在Rt DEB中 tan BDE BDE arctan 例1 已知正三角形ABC PA 面ABC 且PA AB a 求二面角A PC B的大小 三垂线法 练习3 三棱锥P ABC中 PA 平面ABC PA 3 AC 4 PB PC BC 1 求二面角P BC A的大小 2 求二面角A PC B的大小 若 ABC是 PBC在平面ABC的投影 则二面角 满足 求二面角的大小 先求出两个半平面的法向量的夹角 然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小 2 平面法向量法 2 平面法向量法 求二面角的大小 先求出两个半平面的法向量的夹角 然后根