离散型随机变量及其分布

1 为了描述随机变量X 我们不仅需要知道随机变量X的所有可能取值 而且还应知道X取每个值的概率 为此我们有以下定义 如果随机变量的取值是有限个或可数个 即能与自然数的集合一一对应 则称该变量为离散型随机变量 2 2离散型随机变量及其分布律 2 定义设X是一个离散型随机变量 它可能取值为并且取各个值的对应概率为即 则称上式为离散型随机变量X的概率分布 又称分布律 分布律也可以通过列表表示 其中第一行表示随机变量所有可能的取值 第二行表示这些取值所对应的概率 3 且 则该数列可以定义为某离散型随机变量的分布律 分布律的性质 反过来 假如有一列数满足 4 例1如右图所示 从中任取3个球 取到的白球数X是一个随机变量 X可能取的值是0 1 2 取每个值的概率为 其分布律为 5 例2某射手连续向一目标射击 直到命中为止 已知他每发命中的概率是p 求所需射击发数X的概率函数分布列 解 显然 X可能取的值是1 2 于是 设 第发命中 6 类似地 有 这就是求所需射击发数X的分布列 对于离散型随机变量 如果知道了它的概率函数 也就知道了该随机变量取值的概率规律 下一节 我们将介绍连续型随机变量 称服从参数为的几何分布 7 例3进行独立重复试验 每次成功的概率为p 令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数 求X的分布律 解 m 1时 m 1时 X的全部取值为 m m 1 m 2 P X m 1 P 第m 1次试验时成功并且在前m次试验中成功了m 1次 8 1 0 1分布 注其分布律可写成 0 1分布描述 如产品是否合格 人口性别统 计 系统是否正常 电力消耗是否超标等等 9 2 二项分布 n重Bernoulli试验中 X是事件A在n次试验中发生的次数 P A p 若 则称X服从参数为n p的二项分布 记作 0 1分布是n 1的二项分布 10 二项分布的取值情况 设 由图表可见 当时 分布取得最大值 此时的称为最可能成功次数 11 12 设 由图表可见 当时 分布取得最大值 13 14 二项分布中最可能出现次数的定义与推导 则称为最可能出现的次数 15 当 n 1 p 整数时 在k n 1 p 处的概率取得最大值 16 例4独立射击5000次 每次命中率为0 001 例4 解 1 k n 1 p 5000 1 0 001 5 求 1 最可能命中次数及相应的概率 2 命中次数不少于1次的概率 17 2 令X表示命中次数 则X B 5000 0 001 18 分析 这是不放回抽样 但由于这批元件的总数很大 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小 因而此抽样可近似当作放回抽样来处理 例5 19 解 20 图示概率分布 21 3 Poisson分布 22 例6设某国每对夫妇的子女数X服从参数为 的泊松分布 且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e 2 求任选一对夫妇 至少有3个孩子的概率 解 由题意 23 在某个时段内 大卖场的顾客数 某地区拨错号的电话呼唤次数 市级医院急诊病人数 某地区发生的交通事故的次数 一个容器中的细菌数 一本书一页中的印刷错误数 一匹布上的疵点个数 放射性物质发出的粒子数 24 都可以看作是源源不断出现的随机质点流 若它们满足一定的条件 则称为Poisson流 在长为t的时间内出现的质点数Xt P t 可见泊松分布的应用是相当广泛的 而且由下面定理可以看到二项分布与泊松分布有着密切的联系 泊松定理在二项分布中 如果 是常数 则成立 25 例7某种药品的过敏反应率为 今有20000人使用此药品 求20000人中发生过敏反应的人数不超过3的概率 解以表示20000人中发生过敏反应的人数 则服从二项分布 所求的概率为 26 如果利用近似公式 计算 可以得到 且 比较两个结果可以看到 近似程度是很高的 27 例8设一只昆虫所生虫卵数为随机变量X 例7 设各个虫卵是否能发育成幼