横截面上的最大正应力

圆环 复习 第六章 Z b h Z Z dD d 当中性轴是横截面的对称轴时 横截面上的最大正应力 Wz 抗弯截面模量 例1 图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用 试求当最大正应力为最小时的支座位置 a l a q 解 作弯矩图 支座位置a直接影响支座截面和跨中截面上的弯矩值 当中性轴为截面的对称轴 最大拉 压应力相等时 只有支座处截面与跨中截面之弯矩的绝对值相等 才能使该梁的最大弯矩的绝对值为最小 从而使其最大正应力为最小 取有效值 例2 两矩形截面梁 尺寸和材料的许用应力均相等 但放置如图 a b 按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比P1 P2 解 例3 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍 宽度减小一半时 从正应力强度条件考虑 该梁的承载能力将是原来的多少倍 解 由公式 可以看出 该梁的承载能力将是原来的2倍 例4 主梁AB 跨度为l 采用加副梁CD的方法提高承载能力 若主梁和副梁材料相同 截面尺寸相同 则副梁的最佳长度a为多少 A B P a C D 主梁AB 副梁CD M M 解 主梁AB的最大弯矩 副梁CD的最大弯矩 由 得 例5 图示梁的截面为T形 材料的许用拉应力和许用压应力分别为 和 则y1和y2的最佳比值为多少 为截面形心 解 例6 图示外伸梁 受均布载荷作用 材料的许用应力 160MPa 校核该梁的强度 解 由弯矩图可见 该梁满足强度条件 安全 例7 图示铸铁梁 许用拉应力 30MPa 许用压应力 60MPa z 7 63 10 6m4 试校核此梁的强度 C截面 B截面 满足强度要求 本题 可不必计算 为什么 例8 简支梁AB 在 截面下边缘贴一应变片 测得其应变 6 10 4 材料的弹性模量E 200GPa 求载荷P的大小 解 C点的应力 C截面的弯矩 由 得 例9 简支梁受均布荷载 在其 截面的下边缘贴一应变片 已知材料的E 200GPa 试问该应变片所测得的应变值应为多大 解 C截面下边缘的应力 C截面的弯矩 应变值 75 例10 图示木梁 已知下边缘纵向总伸长为10mm E 10GPa 求载荷P的大小 解 例11 我国营造法中 对矩形截面梁给出的尺寸比例是h b 3 2 试用弯曲正应力强度证明 从圆木锯出的矩形截面梁 上述尺寸比例接近最佳比值 使Wz最大 解 由此得 3 2 例12 跨长l 2m的铸铁梁受力如图示 已知材料许用拉 压应力分别为 和 试根据截面最为合理的要求 确定T形梁横截面的一个参数 并校核此梁的强度 解 设z轴过形心 最为合理时 24mm 梁满足强度要求 还需校核最大工作压应力吗 例13 图示悬臂梁在自由端受集中力作用 P 20kN 试在下列三种截面形状下 比较所耗材料 1 高宽比h b 2的矩形 2 圆形 3 工字钢 P 20kN 解 作弯矩图 由强度条件 1 矩形 b 6cmh 12cm 2 圆形 d 11 3cm 3 工字形 查型钢表 取16号工字钢 例14 一槽形截面铸铁梁 试求梁的许可荷载 已知b 2m 解 求出中性轴位置作弯矩图 Fb 2 Fb 4 分析可知 不论截面B或截面C 梁的强度均由最大拉应力控制 腹板 翼缘 在腹板上 2 工字形截面梁的剪应力 最大剪应力 3 圆截面梁的剪应力 例15 圆形截面梁受力如图所示 已知材料的许用应力 160MPa 100MPa 试求最小直径dmin 解 跨中截面弯矩最大 支座附近截面剪力最大 由正应力强度条件 由剪应力强度条件 例16 两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图所示 若材料许用应力为 其许可载荷 P 为多少 如将两个梁用一根螺栓联成一体 则其许可荷载为多少 若螺栓许用剪应力为 求螺栓的最小直径 P l 解 一 两梁叠放承载时 每梁将各自弯曲两梁都有自己的中性层 每梁的最大正应力 其中 二 当两梁用螺栓联为一体时 中性轴只有一个 P 由正应力强度条件 可见 两梁结为一体后 承载能力提高一倍 三 求螺栓最小直径 螺栓主要是受剪 设梁达到了许用载荷 P 中性轴处 全梁中性层上的剪力 由螺栓剪切强度条件 可得 讨论 与何力平衡 例17 简易起重设备 起重量P 30kN 跨长l 5m 吊车大梁AB由20a号工字钢制成 试校核梁的强度 解 査表 当荷载移至跨中时 当荷载移至支座附件时 梁的强度符合要求 例18 上例吊车大梁 起重量增至P 50kN 跨长l 5m 梁AB中段用横截面为120mm 10mm而长度为2 2m的钢板加强 校核梁的强度 解 査表 20a工字钢 组合截面惯性矩 当荷载移至跨中时 剪应力请自行校核 还需校核变截面处 当荷载移至变截面处时 对变截面最不利 为什么 梁的强度不符合要求 怎么办 加强板加长 加长多少 例19 矩形截面木梁跨长l 3 6m 截面尺寸h b 3 2 分布荷载集度q 0 96kN m 试设计该梁的截面尺寸 许用应力 q h b z y 解 跨中为危险截面 h b 3 2 b 0 0876m h 0 131m 可选b 90mm h 135mm 请注意计算单位 您知道危险点在何处吗 0 31h 例20 矩形截面梁 跨中C处受集中力P 设截面高h为常数 宽度b可变化 b b x 求b x l P A B 解 由对称性 研究一半梁AC C x 由等强度条件 b x 考虑到剪切强度条件 对于矩形截面 b x min 即 同理 若b为常量 高度h h x l P A B C x 按抛物线变化 考虑到剪切强度条件 P N N 鱼腹梁 例1 图示传动轴 主动轮A输入功率PA 50马力 从动轮B C D输出功率分别为PB PC 15马力 PD 20马力 轴的转速为n 300转 分钟 作轴的扭矩图 第五章 解 T2 T3 四轮有无更好的排列方式 例2 内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴 受扭矩T 1kN m作用 计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力 解 例3 在强度相同的条件下 用d D 0 5的空心圆轴取代实心圆轴 可节省材料的百分比为多少 解 设实心轴的直径为d1 由 得 0 8 0 8 1 192 0 8 0 512 越薄越好吗 例4 一空心圆轴 内外径之为 两端受扭转力偶矩作用 最大许可扭矩为 若将轴的横截面面积增加一倍 内外径之比仍保持不变 则其最大许可扭矩为 的多少倍 按强度计算 解 设空心圆轴的内 外径原分别为d D 面积增大一倍后内 外径分别变为d1 D1 最大许可扭矩为 1 例5 一空心轴 d D 0 8 转速n 250rpm 功率P 60kW 40MPa 求轴的外直径D和内直径d 解 例6 汽车传递轴用45号无缝钢管制成 外径D 90mm 壁厚t 2 5mm 工作时最大扭矩T 1 5kN m 材料的许用剪应力 1 校核轴的强度 2 改为实心轴时 在强度相同条件下 确定轴的直径 3 比较实心轴和空心轴的重量 解 1 校核轴的强度 轴的强度符合要求 例7 已知一直径d 50mm的钢制圆轴在扭转角为6 时 轴内最大剪应力等于90MPa G 80GPa 求该轴长度 解 例8 圆截面橡胶棒的直径d 40mm 受扭后 原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由90 变为88 如杆长l 300mm 试求两端截面间的相对扭转角 如果材料的剪变模量G 2 7MPa 试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩m 解 由 例9 有两根圆轴 一为实心轴 一为空心轴 它们的长度 横截面面积和承受的外力偶矩均相同 外力偶矩m 10kN m 轴长l 1m 剪切模量G 80GPa 实心轴直径为104mm 空心轴外径为120mm 内径为60mm 试比较它们的最大扭转角 解 实心轴 空心轴 例10 图示钢制实心圆截面轴 d 70mm G 80GPa 试求截面C相对截面B的扭转角 解 假设A截面不动 方向同 第一种解法 第二种解法叠加法 在线弹性范围和小变形条件下 可采用叠加法 负号表明 例11 传动轴传递外力偶矩 5kN m 材料的 30MPa G 80GPa 试选择轴的直径 解 可选d 95mm 三 扭转超静定问题解法 例12 两端固定的圆截面等直杆AB 在截面C受外力偶矩m作用 试求杆两端的支座反力偶矩 解 静力平衡方程为 变形协调条件为 即 例13 横截面为h 100mm b 45mm的矩形截面杆 受扭矩T 3kN m作用 试求横截面上长边中点处和短边中点处的扭转剪应力 如采用横截面面积相等的圆截面杆 试比较两者的最大剪应力 解 1 矩形截面 h b 2 0时 0 246 0 796h b 2 5时 0 258 0