线性代数讲义(第一章).ppt

第一章行列式 二阶 三阶行列式n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行 列 展开Cramer法则 用消元法解二元线性方程组 1 二阶行列式 1 二阶与三阶行列式 方程组的解为 由方程组的四个系数确定 为便于记忆 引入记号 其中 数 称为行列式的元素 该记号为一个数表 横排称为行 竖排称为列 共有两行两列 故称之为二阶行列式 每一元素有两个下标 第一个下标i称为行标 表明该元素位于行列式的第i行 第二个下标j称为列标 表明该元素位于行列式的第j列 主对角线 辅对角线 若记 对于二元线性方程组 则二元线性方程组的解为 三阶行列式的计算 对角线法则 2n阶行列式的定义 1 全排列与逆序数 定义1 如 1234和4312都是4阶排列 而53142为一个5阶排列 显然 n阶全排列的个数为n 个 定义2 例1求下列排列的逆序数 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 2 n阶行列式的定义 考察三阶行列式的定义 2 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积 其中 行标均按自然顺序排列 列标为3阶排列 当列标取遍所有的3阶排列后 就得到三阶行列式代数和中的所有项 3 每项的正负号都取决于三个元素的列标排列的奇偶性 1 三阶行列式共有6项 即3阶排列的个数 故 定义3 例2计算下三角形行列式 解 展开式的一般项为 不为零的项只有 定义4将一个排列中的两个数位置对调称为对换 将相邻两个数位置对调称为相邻对换 定理1一次对换改变排列的奇偶性 定理2 定理3 3行列式的性质 称之为D的转置行列式 记 性质1行列式与它的转置行列式相等 性质2交换行列式的两行 列 行列式变号 说明行列式中行与列具有同等的地位 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 例如 推论1如果行列式有两行 列 完全相同 则此行列式为零 证明 性质3行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式 推论2行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 推论3行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 证明 性质4若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和 则D等于下列两个行列式之和 例如 例3 解 性质5把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数然后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式不变 例如 1 行列式与其转置行列式的值相等 2 交换行列式的两行或两列 行列式的值变号 3 用数k乘行列式的某一行 列 等于以数k乘此行列式 5 将行列式某一行 列 的所有元素同乘以数k后加到另一行的对应元素上 行列式的值不变 行列式的性质 4 如果行列式的某一列 行 的每一个元素都可写成两个数的和 则此行列式可以写成两个行列式的和 计算行列式常用方法 利用运算把行列式化为上三角形行列式 从而算得行列式的值 例4 解 将第列都加到第一列得 例5计算n阶行列式 4行列式按行 列 展开 余子式与代数余子式行列式按行 列 展开法则 叫做元素的代数余子式 例如 1 余子式与代数余子式 2 行列式按行 列 展开法则 例6 定理4行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 推论行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 证 考察下述行列式 同理 关于代数余子式的重要性质 证 用数学归纳法 n 1阶范德蒙德行列式 例8计算n 1阶行列式 练习 计算n阶行列式 5Cramer法则 非齐次与齐次线性方程组的概念Cramer法则齐次线性方程组的相关定理 设线性方程组 则称此方程组为n元非 齐次线性方程组 则称方程组为n元齐次线性方程组 1 非齐次与齐次线性方程组的概念 2 Cramer法则 定理5如果n元线性方程组