函数的极限ppt课件

第三节函数的极限 本节内容提要 一 当时 函数的极限 二 当时函数的极限 三 再讨论函数的极限 四 当时 f x 的左极限与右极限 五 函数极限的性质 本节重点 函数极限的概念 函数的极限的计算 本节难点 函数极限的概念 教学方法 启发式 教学手段 多媒体与面授 教学时数 2学时 返回 一 当时 函数的极限 考察时 函数的变化趋势 由图1 17可以看出 当x的绝对值无限增大时 的值无限接近于零 即当时 f x 0 1 函数极限的一般定义 定义 如果当x绝对值无限增大即时 对应的函数值无限趋近于一个确定的常数 则称函数当 时以A为极限 记作 或 根据上述定义 函数极限的定义 定义 设函数f x 在 x M处有定义 如果对于任意给定的正数 无论它多么小 总存在正数 使得适合不等式 x Z的所有X对应的函数值f x 都满足 或 注 的几何意义是 做直线y A 和y A 则总有一个正数 存在 使当XZ时 函数y f x 的图形位于这两条平等直线之间 图1 18 定义中 自变量x的绝对值无限增大指的是x取正值而无限增大 记为x 同时也取负值而绝对值无限增大 记作X 但有时x的变化趋向只能或只需取这两种变化中的一种情形 定义 如果当x 或X 时 函数无限接近于一个确定的常数A 那么A就叫做函数当x 或X 时的极限 记作 或 例如 及 两个极限值相等 因此 如图 又如 及 所以不存在 图1 19 由此得出 如果和都存在并且相等 那么 也存在并且与它们相等 如果和 都存在但不相等 那么不存在 例例1求和 解 如图1 20所示 例2讨论当时 函数的极限 解 因为 和 都存在 但不相等 所以 不存在 返回 二 当时函数的极限 例 考察当时函数的变化 解函数在有定义 设 从 的左侧无限接近于 即 取值及对应的函数如下表 可以看出 当x越来越接近于3时 的值无限接近于3 例3考察当时 函数 的变化趋势 解函数在内有定义 设x从1的左 右两侧无限接近于1时 对应的函数 如表1 3 可以看出 当 越来越接近于1时的值无限接近于2 图1 22 定义设函数 x 在点的某一空心邻域内有定义 如果当X无限接近于 但不等于 时 x 无限趋近于某个确定的常数A 称当X趋近于时函数以A为极限 记作 或 由此可知 返 三 再讨论函数的极限 1 定义 设函数在X的某一邻域内有定义 在可以没有定义 若对任一存在使得当时 有 则称函数当时以A为极限 例5证明 证明对任意给定的存在则当时 所以 例6证明 C为常数 证对任意给定的存在当时有 所以 例7证明 证对任意给定的存在当时有 所以 2 函数当 时极限为A的极限的几何解释 由二直线与为边界所构成的宽为的带形区域 不论怎样狭窄 总存在以为中心 以为半径邻域 当x落在此邻域内时相应的函数图形都落这个带形区域内如图1 23 返回 四 当时 的左极限与右极限 定义如果当时 函数无限趋近于一个确定的常数A 那么A就叫做函数当时的左极限 记作 或 定义如果当时 函数无限趋近于一个确定的常数A 那么A就叫做函数当时的左极限 记作 或 由图 1 21 函数 当左极限为 右极限为 即 注 函数当时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在且相等 即 当都存在 但不相等 或者 至少一个不存在时在X0处极限不存在 例 设函数 证明 当X 0时 F 的极限不存在 证明由图 24可知 因为F F 所以不存在 例 设函数 求 并由此判断极限是否存在 解 即f 1 0 f 1 0 2由函数f x 在 处极限存在的充要条件知 返回 五 函数极限的性质 性质1如果 或 存在 那么极限是惟一的 性质2如果 或 那么存在一个 正数M 使得函数 在点X0 可以不包括X0 的某一领域 内 或存在一个正数N 当 X N时总有 f x M 性质3如果且A 0 或A 0 则在点X0的某一邻 域内 可以不包括X0 总有f X 0 或f X 0 若在X0的某邻域内有f x 0 或f x 0 且有f x 0 或 f x 0 且 则A 0