第五章 虚功原理和结构的位移计算ppt课件

结构力学 StructuralMechanics 授课人 王新杰环境学院土木工程系 24 04 2020 2 第五章 结构的位移计算 DisplacementCalculationofStructure 24 04 2020 3 目录 contents 5 1结构位移计算概述5 2结构位移计算的一般公式5 3荷载作用下的位移计算5 4荷载作用下的位移计算举例5 5图乘法5 6温度作用时的位移计算5 7互等定理 24 04 2020 4 基本要求 24 04 2020 5 5 1结构位移计算概述 1 结构的位移 结构在外部因素作用下 将产生尺寸形状的改变 这种改变称为变形 由于变形将导致结构各结点位置的移动 于是产生位移 24 04 2020 6 位移产生的原因 1 载荷作用 2 温度作用和材料胀缩 3 支座沉降和制造误差 结构各点产生位移时 结构内部是否也同时产生应变呢 目的 1 验算结构的刚度 2 超静定结构的内力分析打下基础 24 04 2020 7 有位移无应变 刚体位移和变形位移 有位移有应变 b 变形位移 24 04 2020 8 1 线位移 水平线位移 H 铅直线位移 V 2 角位移 3 位移有 相对位移 与 绝对位移 之分 4 上述各种位移统称为 广义位移 与广义位移相对应的力称为广义力 位移的种类 第一种分类方法 第二种分类方法 1 刚体位移 2 变形位移 24 04 2020 9 2 推导位移计算一般公式的基本思路 第一步 讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题 计算刚体位移 第二步 讨论静定结构由于局部变形而引起的位移计算问题 计算变形位移 第三步 讨论静定结构由于整体变形而引起的位移计算问题 计算总位移 基本思路 化整为零和积零为整 24 04 2020 10 3 应用虚力原理求刚体体系的位移 单位荷载法 解 根据平衡条件 可求出支座A的反力 虚功方程 首先要说明一点 在静定结构中 支座移动时并不引起内力也不引起应变 故可用刚体体系虚功原理来求解 虚设单位力 求位移 即 24 04 2020 11 例5 1如图所示支座A有给定的竖向上位移cA 求 C b 解 根据平衡条件 可求出支座A的反力 虚功方程 即 4 支座移动时静定结构的位移计算 24 04 2020 12 归纳起来 当支座有结定位移cK时 任意静定结构的位移可用虚功原理求出 共计算步骤如下 1 沿拟求位移 方向虚设相应的单位荷载 并求出单位荷载作用下的支座反力 2 令虚设力系在实际位移上作虚功 写出虚功方程 3 由虚功方程 解出拟求位移 24 04 2020 13 5 2结构位移计算的一般公式 计算变形体体系的位移 有两种途径 根据刚体体系的虚功原理 导出变形体体系的虚功原理 再导出变形体体系的位移公式 应用刚体体系的虚功原理导出局部变形时的位移公式 然后应用叠加原理 导出整体变形时的位移公式 这里选择第二种 24 04 2020 14 1 局部变形时的位移公式 设悬臂梁在C点附近的微元段CD有局部变形外 结构其他部分没有变形 微元段CD局部变形包括三部 24 04 2020 15 三种相对应的位移 24 04 2020 16 应用刚体体系的虚功原理 取DA段为隔离体 列虚功方程 即 亦有 24 04 2020 17 2 结构位移计算的一般公式 考虑多个杆件 考虑支座位移 dx 24 04 2020 18 式 5 15 是一个普遍性公式 它的普遍性表现在下列几个方面 从变形类型来看 它既可以考虑弯曲变形 也可以考虑拉伸或剪切变形 从变形因素来看 它既可以考虑荷载引起的位移 也可以考虑温度或支座移动引起的位移 从结构类型来看 它可用于梁 刚架 桁架 拱等各类型式的结构 也可用于静定或超静定结构 从材料性质来看 它可用于弹性材料 也可用于非弹性材料 5 15 24 04 2020 19 5 15 5 15 式还有一层物理意义 变形体虚功方程 24 04 2020 20 3 结构位移计算的一般步骤 在某点沿拟求位移的方向虚设相应的单位荷载 在单位荷载作用下 根据平衡条件求出结构内力 和支座反力 最后根据公式 5 15 可求出位移 5 15 24 04 2020 21 4 广义位移的计算 例如 如图所示为一简支梁 在弯曲变形时 截面A产生顺时针转角 A 截面B产生反时针转角 B 以 表示其相对转角 24 04 2020 22 广义位移和广义单位荷载示例 24 04 2020 23 24 04 2020 24 5 15 24 04 2020 25 根据实际载荷 求得截面弯矩 轴力 剪力 5 3荷载作用下的位移计算 1 计算步骤 24 04 2020 26 荷载作用下弹性位移的一般公式 24 04 2020 27 荷载作用下静定结构位移具体计算的步骤 1 在某点沿拟求位移的方向虚设相应的单位荷载 2 在单位荷载作用下 根据平衡条件求出结构内力 和支座反力 3 根据实际载荷 求得截面弯矩 轴力 剪力 4 最后根据如下公式可求出位移 24 04 2020 28 2 各类结构的位移公式 1 梁和刚架 2 桁架 3 桁梁混合结构 4 拱 24 04 2020 29 3 截面平均切应变和系数 24 04 2020 30 而 这样 又 而 故 k为一常数 只与截面形状有关 24 04 2020 31 切应变的截面形状系数k 24 04 2020 32 荷载作用下弹性位移的一般公式为 正负号规定 5 4荷载作用下的位移计算举例 24 04 2020 33 例5 3试求图 a 所示悬臂梁在A端的竖向位移 并比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响 梁的截面为矩形 实际荷载作用下的内力如图 a 虚设单位荷载作用下的内力如图 b 总位移 设 1 3 E G 8 3I A h2 12 1 梁的位移计算 24 04 2020 34 a 实际状态 b 虚设状态 AC段 CB段 1 列出两种状态的内力方程 24 04 2020 35 2 将上面各式代入位移公式分段积分计算 CB段 24 04 2020 36 CB段 设为矩形截面k 1 2 24 04 2020 37 3 讨论 比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响 设材料的泊松比 由材料力学公式 24 04 2020 38 2 静定平面桁架在载荷作用下的位移计算 位移公式 考虑支座位移 24 04 2020 39 例5 5 计算桁架结点C的竖向位移 设各杆EA都相同 分析内力 本问题因为桁架与载荷均对称 所有只需计算一半桁架的内力 解 如图虚设单位力P 1 1 计算结构在外荷载作用下各杆的内力 利用体系整体平衡关系 由A点的Y方向平衡得 24 04 2020 40 利用三角形关系 压力 同理 A点X方向平衡得 拉力 D点X方向平衡 压力 显然DC杆的杆力为零 24 04 2020 41 2 计算结构在单位荷载P 1作用下各杆的内力 24 04 2020 42 为正值表示 C处的位移与虚设单位力的方向相同 由位移公式 3 计算位移 24 04 2020 43 例5 6图 a 所示为一等截面圆弧形曲杆AB 截面为矩形 圆弧AB的圆心角为 半径为R 试求B点的竖向位移 解 虚设荷载如图 b 图 a 中 图 b 中 2 曲杆的位移计算 24 04 2020 44 设h R 1 10 E G 8 3 I A h2 12 k 1 2 如果 h为截面高度 计算结果表明 在给定的条件下 轴力和剪力所引起的位移可以忽略不记 24 04 2020 45 例5 7试求图 a 所示简支梁两端截面A B的相对转角 解 虚设力系如图 b 实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图 c 24 04 2020 46 4 刚架在载荷作用下的位移计算 刚架的位移 主要由弯矩引起 轴力和剪力的影响均较小 可忽略不计 位移公式 例5 8 如图计算刚架C端的水平位移和角位移 已知EI为常数 24 04 2020 47 解 在载荷作用下 刚架的图如图所示 24 04 2020 48 1 求C点的水平位移 可在C点加一单位力 得图 代入位移公式 得 24 04 2020 49 2 求C点的角位移 可在C点加一单位弯矩 得图 代入位移公式 得 24 04 2020 50 5 5图乘法 静定梁和刚架的位移计算 如果杆轴符合下列条件时 1 杆轴为直线时 2 EI 常数 需先计算各段 计算较为复杂 3 与两个弯矩图中至少有一个是直线图形 则可用图乘法代替积分运算 1 图乘法及其应用条件 图乘法是Vereshagin于1925年提出的 他当时为莫斯科铁路运输学院的学生 24 04 2020 51 1 因为是直杆 所以可用dx代替ds 2 因为EI是常数 所以EI可提到积分号外 3 直线变化 故有 24 04 2020 52 所以得到 注意事项 1 应用条件 杆件应是等截面杆 两个图形中应有一个是直线 取自直线图中 2 正负号规则 与在杆的同一侧 乘积取正 反之取负 积分化为 面积 相应形心竖标 24 04 2020 53 2 几种常见图形的面积和形心位置 24 04 2020 54 24 04 2020 55 3 应用图乘法时的几个具体问题 1 yo必须取自直线图形 2 如果一个图形是曲线 另一个图形是折线 则应分段计算 24 04 2020 56 3 图乘时 可将弯矩图分解为简单图形 按叠加法分别图乘 24 04 2020 57 4 当图乘面积中有正有负时 必须分别图乘 图乘面积不能同时包含正负面积 24 04 2020 58 例5 9 图乘法解如图所示简支梁在均布荷载q作用下的B端转角 解 虚设单位力 分别作出和 有直线 可利用图乘法 则 24 04 2020 59 例5 10 如图所示为悬臂梁 在A点作用荷载P 求中点C的挠度 解 24 04 2020 60 例5 11 如图所示为一预应力钢筋混凝上墙板起吊过程中的计算图 已知 板宽1m 厚2 5cm 混凝土容重为25000N m3 A和B为起吊点 求C点的挠度 解 板自重 截面惯性矩 混凝土弹性模量 24 04 2020 61 24 04 2020 62 例5 12 求图示刚架结点B的水平位移 设各杆为矩形截面 截面尺寸为b h 惯性矩I bh3 12 只考虑弯曲变形的影响 解 24 04 2020 63 5 6温度作用时的位移计算 静定结构温度改变并不引起内力 变形和位移是材料自由膨胀 收缩的结果 24 04 2020 64 24 04 2020 65 轴线温度 上下边缘的温差 伸长应变 曲率 线膨胀系数 温度引起的位移计算公式 24 04 2020 66 若沿每一杆件的全长为常数 则 24 04 2020 67 例5 13 试求图a所示刚架C点的水平位移 已知刚架各杆外侧温度无变化 内侧温度上升10 C 刚架各杆的截面相同且与形心轴对称 线膨胀系数为 解 在C点沿水平方向加一单位力P 1 24 04 2020 68 作出相应的 图 并有 轴向上的温度上升值 24 04 2020 69 式中h为截面高度 所得结果为正值 表示C点位移与单位力方向相同 杆件由于温度改变而发生的弯曲变形 该变形与由于所产生的弯曲变形方向相同 如图虚线所示 24 04 2020 70 荷载引起的变形位移 温度引起的变形位移 24 04 2020 71 应用条件 材料处于弹性阶段 应力与应变成正比 结构变形很小 不影响力的作用 状态I的力系在状态 的位移和变形上作虚功 可写出虚功方程为 状态 的力系在状态I的位移和变形上作虚功 可写出虚功方程为 显然 即 5 9互等定理 1 功的互等定理 24 04 2020 72 如图 a b 由功的互等定理 令 或 称为位移影响系数 可得 即 2 位移的互等定理 24 04 2020 73 即 位移互等定理 在任一线性变形体系中 由荷载P1所引起的与荷载P2相应的位移影响系数 等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数 24 04 2020 74 3 反力的互等定理 由功的互等定理 在线性变形体系中 反力与位移的比值是一个常数 记为 即 反力互等定理 在任一线性变形体系中 由位移c1所引起的与位移c2相应的位移影响系数 等于由位移c2所引起的与位移c1相应的位移影响系数 24 04 2020 75 6 7 4位移反力的互等定理 由功的互等定理 反力互等定理 在任一线性变形体系中 由位移c2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数 在绝对值上等于由荷载P1所引起的与位移c2相应的反力影响系数 即 令 24 04 2020 76 1 位移计算的一般公式及灵活应用 要虚设力系 虚力法 以单位荷载为标志 单位荷载法 拟求的广义位移 FP 1 与 共轭的单位广义荷载 2 变形体虚功方程的两类形式 虚设力系 虚力方程 求位移虚设位移和变形形态 虚位移方程 求支座反力或约束反力 3 互等定理及其应用 虚功互等定理 W12 W21位移互等定理 1