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文档简介

3平面曲线的弧长与曲率 本节定义光滑曲线的弧长 并用定积分给出弧长计 算公式 一 平面曲线的弧长 返回 定义2设平面曲线C由参数方程 曲线 则C是可求长的 且弧长为 若C为一光滑 于是 证 因此 由第一章 1习题6可知 于是 即 从而 因此当f在 a b 上连续可微时 示 则C又可看作 注1若曲线C由直角坐标方程 表示 则C亦可看作 注2若曲线C由极坐标方程 由于 解 例1 例2 解 解 段弧长 例3 在光滑曲线上 弧段与的长度相差不 二 平面曲线的曲率 曲率是刻画曲线的弯曲程度的一个概念 如图所示 多而弯曲程度却很不一样 转过的角度要大得多 比动点从Q移到R时切线 到Q时 切线转过的角度 这反映动点沿曲线从P移 设表示曲线在点处切线的倾角 表示动点由P沿曲线移至 时切线倾角的增量 若 为弧段的平均曲率 如果存在有限极限 则称此极限K为曲线C在点P的曲率 由于曲线光滑 故总有 可得 即 若曲线由表示 则 例1求椭圆上曲率 解由于 最大和最小的点 因此椭圆在各点的曲率为 当时 在处曲率最大 在 由例1可得 若则各点处曲率相等 为 处曲率最小 显然 直线上各点处的曲率为0 设曲线上一点P处曲率若过P作一个半径为 的圆 使它在点P处与曲线有相同的切线 并在P近旁与曲线位于切线的同侧 见图 在P处的曲率圆 曲率圆 率圆的圆心称为曲率中心 的半径称为曲率半径 曲 我们把这个圆称为曲线 火车轨道从直道进入半径为R的 使火车的向心加速度 以保证火车行驶安全 道 用虚线表示 使得曲率由零连续地变到 圆形弯道时 为了行车安全 必须经过一段缓冲轨 例2如图所示 对此曲线用曲率公式求得 缓冲曲线常
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