矩阵及其初等变换ppt课件

1 第二章矩阵及其初等变换 矩阵将一组有序的数据视为 整体量 进行表述和运算 使得问题变得简洁和易于了解本质 矩阵是解线性方程组的有力工具 是线性代数中的主要研究对象 矩阵理论是线性代数的基本内容 本章重点 矩阵的运算及其运算性质逆矩阵及其运算性质 存在条件 求法矩阵的分块运算法矩阵的初等变换及初等矩阵矩阵的秩及其性质 2 2 1矩阵的概念 二 矩阵的定义与记号 一 关于矩阵 三 特殊矩阵 四 矩阵举例 3 一 关于矩阵 1850年由西尔维斯特 Sylvester 首先提出矩阵的概念 1858年卡莱 A Cayley 建立了矩阵运算规则 矩阵的应用十分广泛 自然科学 工程技术 社会科学等许多领域 如在观测 导航 机器人的位移 化学分子结构的稳定性分析 密码通讯 模糊识别 以及计算机层析X射线照相术等方面 都有广泛的应用 4 二 矩阵的定义与记号 Def2 1由个数排成的m行n列的数表 称为行列矩阵 简称矩阵 为表示这个数表是一个整体 总是加一个括弧 并用大写黑体字母表示它 记作 5 这个数称为矩阵A的元素 简称为元 数位于矩阵的第i行第j列 称为矩阵的 i j 元 以数为 i j 元的矩阵可简记作或 矩阵A也记作 矩阵的记号是在数表外加上括弧 与行列式的记号 在数表外加上双竖线 是不同的 这是两个不同的概念 矩阵的行数和列数不一定相等 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 6 同型矩阵 两个矩阵的行数相等 列数也相等时 就称它们是同型矩阵 矩阵相等 如果与是同型矩阵 并且它们的对应元素相等 即 那么就称矩阵A与矩阵B相等 记作 7 三 特殊矩阵 行矩阵 行向量 列矩阵 列向量 方阵 8 零矩阵 对角矩阵 对角阵 单位矩阵 单位阵 上三角矩阵 下三角矩阵 数量矩阵 纯量矩阵 9 四 矩阵举例 例1 1某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵 其中为工厂向第i店发送第j种产品的数量 这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵 其中为第种产品的单价 为第种产品单件重量 从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信息 10 例1 2四个城市间的单向航线如下图所示 若令 则这个图可以用矩阵表示为 用矩阵表示这个图后 就可以用计算机对这个图进行分析和计算 11 例1 3n个变量与m个变量之间的关系式 称为从变量到变量的线性变换 12 2 2矩阵的基本运算 一 矩阵的加法 二 数与矩阵的乘法 三 矩阵的乘法 四 矩阵的转置 五 方阵的行列式 六 矩阵的共轭 13 一 矩阵的加法 Def2 2两个同为的矩阵相加后得一矩阵 其元素为两矩阵对应元素的和 即 只有两个矩阵是同型矩阵时 这两个矩阵才能进行加法 14 15 矩阵的加法运算规则 交换律 结合律 设矩阵记 称为矩阵的负矩阵 16 二 数与矩阵的乘法 矩阵的数乘 Def2 3阶矩阵A与一个数k相乘后得一矩阵 其元素为原矩阵对应元素乘以这个数 记作 17 18 数与矩阵的乘法运算规则 矩阵的加法 数与矩阵的乘法合起来 统称为矩阵的线性运算 19 三 矩阵的乘法 某家电公司向三个商店发送四种产品的数量如下表 20 这四种产品的售价 单位 百元 及重量 单位 千克 如下 问 该公司向每个商店出售产品的总售价及总重量分别是多少 21 22 Def2 4设 若定义一个新的矩阵其中 则称矩阵C为矩阵A与矩阵B之积 记作 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时 矩阵的乘积才有意义 乘积矩阵的第i行第j列元素等于左矩阵的第i行元素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和 两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵 且乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数 乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数 23 特别注意 乘积不可交换 AB乘积一般不可以交换 1 AB为矩阵 但BA无意义 若则称矩阵乘积可交换 2 AB和BA均有意义 但AB为2阶矩阵 BA为3阶矩阵 3 由于矩阵不可交换 所以矩阵乘法分为左乘和右乘 24 解 A是矩阵 B是矩阵 A的列数等于B的行数 所以矩阵A与B可以相乘 乘积矩阵是矩阵 25 解 此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律 而且还表明矩阵的乘法不满足消去律 即 26 例2 3计算矩阵 的乘积AB 解 上三角矩阵与上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵 下三角矩阵与下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵 27 矩阵的乘法 运算规则 或简写成 第五条规则表明 纯量矩阵与方阵都是可交换的 28 方阵的幂 设A是n阶方阵 定义 此定义表明 就是k个A连乘 并且显然 只有方阵 它的幂才有意义 29 称为方阵的次多项式 由此可知 方阵的多项式可以像数的多项式一样分解因式 如 方阵的多项式 30 当A与B可交换时 有与数类似的乘法公式 31 例2 4计算矩阵乘积 32 例2 5求与矩阵A可交换的所有矩阵 教材P44 Ex 4 解 设与A可交换的矩阵为 33 例2 6求矩阵A的幂 教材P42 例9 解 34 例2 7求矩阵AB的幂 教材P42 例10 解 35 例2 8求矩阵A的幂 教材P44 Ex 5 3 解 解 36 2 2矩阵的基本运算 续 一 矩阵的加法 二 数与矩阵的乘法 三 矩阵的乘法 四 矩阵的转置 五 方阵的行列式 六 矩阵的共轭 37 Def2 5把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵 叫做A的转置矩阵 记作 即 若 则 其中 则它的转置矩阵为 设矩阵 四 矩阵的转置 38 对称矩阵和反对称矩阵 设为n阶方阵 如果满足 即 那么A称为对称矩阵 简称对称阵 对称阵的特点是 它的元素以对角线为对称轴 对应相等 39 设为n阶方阵 如果满足 即 那么A称为反对称矩阵 简称反对称阵 反对称阵的特点是 它的主对角线上的元素全为零 其它的元素以对角线为对称轴 对应互为相反数 40 矩阵的转置 运算规则 41 例2 9已知 求 解法1 解法2 此例验证了矩阵的转置运算规则4 42 注意和的区别 证 所以H是对称阵 例2 10设列矩阵满足 E为E为n阶单位矩阵 证明H是对称阵 且 要证明一个方阵是不是对称阵 就是验证它是否满足对称阵的条件 43 例2 11设A与B是同阶对称矩阵 证明AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B是可交换矩阵 教材P43 例11 证 因为 所以有 当AB是对称矩阵即时 有AB BA 所以此时A与B是可交换矩阵 当A与B是可交换矩阵即AB BA时 有所以此时AB是对称矩阵 故 AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B是可交换矩阵 44 五 方阵的行列式 Def01由n阶方阵A的元素所构成的行列式 各元素的位置不变 称为方阵A的行列式 记作或 特别注意 方阵与行列式是两个不同的概念 方阵是一个数表 而行列式则是一个数 方阵与它的行列式又是紧密相关的 方阵的行列式是方阵按照一定方式确定的一个数 所以方阵的行列式可看作方阵的函数 同时 方阵的行列式是方阵特性的重要标志 45 由A确定 运算规则 注意 但 但 46 一方面 根据公式有 另一方面 47 48 49 50 Def02当为复矩阵时 用表示的共轭复数 记 称为的共轭矩阵 由A确定 运算规则 六 矩阵的共轭 51 2 3逆矩阵 一 逆矩阵的定义 二 逆矩阵的存在条件 四 逆矩阵的运算性质 三 逆矩阵的求法 五 逆矩阵的应用举例 52 一 逆矩阵的定义 Def2 6对于n阶矩阵A 如果有一个n阶矩阵B 使 则称矩阵A是可逆矩阵或者非奇异矩阵 并把矩阵B称为A的逆矩阵 简称逆阵 若不存在满足上式的矩阵B 则称A是不可逆矩阵或者奇异矩阵 此定义表明只有方阵才可能有逆阵 求逆矩阵运算可以看作矩阵乘法的逆运算 但是能进行的条件十分苛刻的 53 二 逆矩阵的存在条件 Thm2 1如果矩阵A是可逆的 那么它的逆矩阵是唯一的 因此 我们把矩阵A的逆矩阵记作 证 假设矩阵A可逆 B C都是它的逆矩阵 则 因此 所以A的逆阵是唯一的 54 为了讨论矩阵可逆的充分必要条件 先定义一个新矩阵 55 Def2 7设是n阶矩阵的行列式中元素的代数余子式 则称矩阵 为矩阵A的伴随矩阵 记作 56 这是定理的充分条件 必要性是显然的 证 根据伴随阵的性质 有 当时 有 根据矩阵可逆的定义知 矩阵A可逆 且 Thm2 2n阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是 且如果A为可逆矩阵 则有 57 定理2给出了计算逆矩阵的一个方法 1 计算 2 计算 3 写出 根据定理2 可以将定义中的条件AB BA E改进一点 58 推论设A B为n阶矩阵 若AB E或者BA E 则矩阵A B都可逆 且 此推论表明 要判断矩阵B是否是A的逆矩阵 不必严格按照定义检验AB BA E 而只要检验AB E或BA E 59 例3 1设n阶方阵A B满足A B AB 证明A E可逆 并给出的表达式 教材P51 Ex 8 解 依据推论 只需寻找到适当矩阵与A B相乘的结果为E 所以A E可逆 且 60 三 逆矩阵的求法 方法一 直接依据定义 将矩阵A的逆阵的每个元素作为未知数 列出线性方程组 参看教材P45 例1 方法二 依据定理2 根据公式 方法三 依据初等矩阵的性质 运用初等变换求逆 第五节将介绍 61 例3 2求二阶矩阵的逆矩阵 解 所以 当时 有 注意比较矩阵A与 此例的结果应作为公式记住 62 例3 3求方阵A的逆阵 解 所以存在 再计算的余子式 63 四 逆矩阵的运算性质 若A可逆 则亦可逆 且 若A可逆 数 则亦可逆 且 若A B为同阶矩阵且均可逆 则AB亦可逆 且 若A可逆 则亦可逆 且 逆矩阵的行列式 方阵的负幂次方 若A可逆 规定 64 五 逆矩阵的应用举例 求解矩阵方程 设A B为可逆矩阵 65 例3 4设矩阵X满足 其中矩阵 解 由得 由于得故可逆 且 66 于是 用左乘 右乘的两边 得 67 例3 5设矩阵 求矩阵X 使之满足AXB C 教材P49 例5 解 由知A B都是可逆矩阵 且 用左乘 以右乘AXB C 得 68 例3 6已知可逆矩阵 求其伴随矩阵的逆矩阵 教材P50 例6 解 若按照常规方法 计算量较大 69 例3 7设n阶方阵A的伴随矩阵为 证明 教材P48 例4 证 1 当时 2 当时 下面用反证法 证明 若 则可逆 又因为 所以 从而得 这与矛盾 故 当时 70 2 4分块矩阵 在处理较高阶数的矩阵时 对于求逆矩阵或者其他需要 常把一个大矩阵看成是由若干个小矩阵组合而成 这些小矩阵可称为大矩阵的子块或者子阵 用子阵来表示矩阵的方法称为矩阵的分块表示 这样不仅使原矩阵显得结构简单又清晰 而且可以简化运算过程 一 分块矩阵 二 分块矩阵的运算 三 常用的分块法 71 一 分块矩阵 Def2 8一个矩阵A被纵线和横线按一定需要分成若干个低阶矩阵 每一个低阶矩阵称为矩阵A的子块 以所生成的子块为元素的矩阵称为矩阵A的分块矩阵 以这些子块为元素 于是 得到A的按照这种分法的分块矩阵 得到4个子块 72 二 分块矩阵的运算 1 分块矩阵的加法 设矩阵A与B为同型矩阵 采用相同的分法 有 那么 分块矩阵的加法 采用相同分法 对应子块相加 73 2 分块矩阵的数乘 设为数 对矩阵A分块后 得分块矩阵为 那么 分块矩阵的数乘 数乘每一个子块 74 3 分块矩阵的乘法 设A为矩阵 B为矩阵 对A的列的分法与对B的行的分法相同 分块成 75 其中 分块矩阵的乘法 对左矩阵的列的分法与对右矩阵的行的分法相同 再按普通矩阵的乘法 76 例4 1设 求AB 解 把A B分块成 77 则 在计算两个分块乘积时 可以把子块看作 数 此例把4阶矩阵的乘积化为了2阶矩阵的乘积 简化了计算 78 79 4 分块矩阵的转置 设对矩阵A分块后 得分块矩阵为 那么 分块矩阵的转置 把行写成同序号的列 并且每个子块转置 80 5 分块矩阵的行列式 只能考虑特殊矩阵 1 设A为n阶矩阵 可分块成为 都是方阵 这样的分块矩阵称为分块对角阵 则有 81 2 设A为n阶矩阵 可分块成为 都是方阵 这样的分块矩阵称为分块上三角阵 则有 82 3 设A为n阶矩阵 可分块成为 都是方阵 这样的分块矩阵称为分块下三角阵 则有 83 特别注意用分块法求方阵的行列式只能针对特殊矩阵 设 则 84 6 分块矩阵的逆阵 也只能考虑特殊矩阵 1 设A为n阶矩阵 可分块成为 都是方阵 若 则有 85 2 设A为n阶矩阵 可分块成为 都是方阵 若则有 3 设A为n阶矩阵 可分块成为 都是方阵 若则有 86 4 设A为n阶矩阵 可分块成为 都是方阵 若 则有 注意中的排列顺序 分块副对角阵 87 解 88 解 因此 89 例4 5求矩阵A的逆矩阵 其中 教材P58 例5 90 三 常用的分块法 1 按列分块 称为A的列向量组 2 按行分块 称为A的行向量组 91 3 最粗 的分块 一个矩阵本身看作一个子块 从形式上看就是矩阵 4 最细 的分块 将矩阵中的每个元素看作一个子块 92 矩阵A与对角阵的乘积 对角阵右 左 乘A的结果是A的每一列 行 乘以对角阵中与该列 行 对应的对角元 93 证 把A按列分块为 则 因为所以 例4 6设为实矩阵 证明A 0 特别地 有 而 94 由和为实数 得 因此 95 2 5矩阵的初等变换和初等矩阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的一元运算 它源于线性方程组消元过程中的同解变换 很多问题的解决都需要运用这种运算 所以才说这是一种重要的运算 一 矩阵的初等变换 二 初等矩阵 1 1矩阵的初等变换的定义和记号 1 3矩阵的等价关系 1 2初等变换的逆变换 1 4阶梯形矩阵 矩阵初等变换的目标 2 1初等矩阵的定义 2 2初等矩阵的类型与记号 2 3初等矩阵的性质 2 4初等矩阵的逆矩阵 2 5初等变换求解矩阵方程 96 一 矩阵的初等变换 1 1矩阵的初等变换的定义和记号 3 2 97 1 交换A的第i行与第j行的位置 记为 把上述的定义中的 行 换成 列 即得到矩阵的初等列变换的定义 记号分别为 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换 2 以数乘以A的某一行各元素 记为 3 将A的第i行各元素的k倍加到第j行对应的元素上 记为 Def2 10设A是矩阵下面三种变换称为矩阵的初等行变换 记号与是有区别的 98 变换的逆变换为 变换的逆变换为 变换的逆变换为 或记为 1 2初等变换的逆变换 99 1 3矩阵的等价关系 100 Thm2 3任意非零矩阵都与形如的矩 阵等价 矩阵称为矩阵A的标准形 101 1 4阶梯形矩阵 矩阵初等变换的目标 行阶梯形矩阵 其特点是 可画出一条阶梯线 线的下方全为0 每个台阶只有一行 台阶数即是非非零行的行数 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元 称为首非零元 行阶梯形矩阵 自上而下 每个非零行的首非零元前面的零的个数依次增加 零行在最下方 102 行最简形矩阵 其特点是 是阶梯形矩阵 非零行的第一个非零元 首非零元 为 首非零元所在的列的其它元素都为 对于任何矩阵A 总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的 一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的 只用初等行变换 103 例5 1下列四个矩阵中 哪些是行最简形 解 矩阵和是行最简形矩阵 104 例5 2设 把化成行最简形 解 将元化为1 105 将元化为1 这已是阶梯形矩阵 再化为行最简形 特别要注意将元素化为零的先后顺序 106 2 5矩阵的初等变换和初等矩阵 续 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的一元运算 它源于线性方程组消元过程中的同解变换 很多问题的解决都需要运用这种运算 所以才说这是一种重要的运算 一 矩阵的初等变换 1 1矩阵的初等变换的定义和记号 1 3矩阵的等价关系 1 2初等变换的逆变换 1 4阶梯形矩阵 矩阵初等变换的目标 107 二 初等矩阵 Def2 12由单位矩阵E经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵 2 1初等矩阵的定义 108 2 2初等矩阵的类型与记号 1 交换两行 或两列 10 01 将E的第i行 列 与第j行 列 交换 109 2 以数乘某行 或列 以数乘E第i行 或第i列 110 3 将某行 列 的k倍加到另一行 列 上 将E的第j行的k倍加到第i行 或是将E的第i列的k倍加到第j列 111 将E的第i行与第j行交换 将E的第i列与第j列交换 以数乘E第i行 以数乘E第i列 将E的第j行的k倍加到第i行 将E的第i列的k倍加到第j列 112 2 3初等矩阵的性质 用左乘矩阵A 相当于对矩阵A施行一次初等行变换 将A的第2 4两行交换 113 用右乘矩阵A 相当于对矩阵A施行一次初等列变换 将A的第2 4两列交换 114 用初等矩阵左乘矩阵 其结果相当于将矩阵A的第i j两行交换 用初等矩阵右乘矩阵 其结果相当于将矩阵A的第i j两列交换 2 用左乘矩阵 其结果相当于以数k乘矩阵A的第i行 用右乘矩阵 其结果相当于以数k乘矩阵A的第i列 3 用左乘矩阵 其结果相当于把A的第j行的k倍加到第i行上 用右乘矩阵 其结果相当于把A的第i列的k倍加到第j列上 左行右列 规则 115 Thm2 4设A是一个矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵 116 都是初等矩阵 Thm2 5设A为任意矩阵 则存在m阶初等矩阵与n阶初等矩阵 使得 推论1n阶可逆矩阵A必等价于单位矩阵E 推论2n阶可逆矩阵A可表示成有限个初等矩阵的乘积 推论3设A和B都是矩阵 则A等价于B的充分必要条件为存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q 使得 117 2 4初等矩阵的逆矩阵 118 2 5初等变换求解矩阵方程 问题 已知矩阵A B 求矩阵X 使得AX B A可逆 答案 设 对A和B施行相同的初等行变换 当A变为E时 B就变成了所需要的乘积 构造矩阵 对施行初等行变换 相对A和B施行了相同的初等行变换 所以 119 初等变换法解矩阵方程AX B 1 写分块矩阵 2 用初等行变换化为行最简形 3 写出结果 如果则 当时 上述的过程就是求可逆矩阵A的逆阵 当时 上述的过程就是求方程组的唯一解 120 解 需要对A 施行相同的初等行变换 所以 121 所以 线性方程组和的解依次为 122 解 在矩阵运算时 要注意左乘与右乘 123 因此可逆 且 124 解 125 思考 1 如何求解矩阵方程XA B A是可逆矩阵 2 如果A不可逆 如何求解矩阵方程AX B和XA B 先求出 再求X 当A不可逆时 方程可能没有解 当方程有解时 方程的解可能不唯一 126 2 6矩阵的秩 矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征 在有些运算 比如初等变换 下 它是一个不变量 一 矩阵的秩的定义 二 矩阵的秩的求法 三 矩阵的秩的性质 127 一 矩阵的秩的定义 标准形是唯一的 也就是说数r由A唯一确定 这个数r是矩阵A的一个重要的量 矩阵的秩 根据行列式的性质 可以用行列式来定义这个量 一般地 矩阵的阶子式共有个 Def2 14设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D 且所有r 1阶子式 如果存在的话 全等于零 数r称为矩阵A的秩 记作或 并规定零矩阵的秩等于0 128 根据行列式的展开法则知 在A中当所有r 1阶子式全为零时 所有高于r 1阶的子式也全为零 因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式 矩阵A的秩就是A中不等于零的子式的最高阶数 这是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征 对于n阶矩阵A 当时 A称为满秩矩阵 否则称为降秩矩阵 满秩矩阵式可逆矩阵 129 二 矩阵的秩的求法 方法一 寻找最高阶不为零的子式 此方法的依据是矩阵的秩为最高阶非零子式的阶数 例6 1求矩阵A和B的秩 教材P69 例1 解 先计算A的4个三阶子式 这4个三阶子式全为零 再计算2阶子式 所以R A 2 在B中 显然所有的4阶子式全为零 又 所以R B 3 行阶