求函数的值域ppt课件

1 2 6函数值域的求法 2020年4月24日星期五 知识回顾 函数y f x 自变量x的取值集合为 因变量y的取值集合为 函数的定义域 函数的值域 函数的值域 1 在初中我们学习了哪几种函数 函数表达式是什么 它们的定义域各是什么 一次函数 反比例函数 二次函数 y ax b a 0 定义域为R 定义域为 x x 0 f x ax2 bx c a 0 定义域为R 值域呢 值域为 y y 0 当a 0时 值域为 当a 0时 值域为 值域为R 常用的求函数的值域的方法有以下几种 1 直接法2 配方法3 换元法4 判别式法5 分离系数法6图像法 1 直接法 有的函数的结构并不复杂 可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察求出函数的值域 例1 求函数的值域 1 求下列函数的值域 1 y 1 2x 2 y x 1x 2 1 0 1 2 3 y 4 y 值域为 值域为 值域为 值域为 R 1 0 1 0 0 0 直接法 由常见函数的值域或不等式的性质求出 二 配方法 形如y ax2 bx c a 0 的函数常用配方法求函数的值域 要注意f x 的取值范围 例2 1 求函数y x2 2x 3在下面给定闭区间上的值域 4 3 4 1 2 1 分析 本题是求二次函数在闭区间上的值域问题 可用配方法或图像法求解 三 换元法 通过代数换元法或者三角函数换元法 把无理函数化为代数函数来求函数值域的方法 关注新元的取值范围 例3求函数的值域 注 换元法是一种非常重工的数学解题方法 它可以使复杂问题简单化 但是在解题的过程中一定要注意换元后新元的取值范围 分析 带有根式的函数 本身求值域较难 可考虑用换元法将其变形 换元适当 事半功倍 四 判别式法 能转化为A y x2 B y x C y 0的函数常用判别式法求函数的值域 例5 求下列函数的值域 1 y 解 由 故函数的值域为 五分离常数法 y y R且y 六 图像法 对于分段函数求值域常用此法 如例6 例6 求下列函数的值域 1 y x 1 1 x 解 由y x 1 x 1 当x 1时 y x 1 x 1 2 当 1 x 1时 y x 1 x 1 2x 当x 1时 y x 1 x 1 2 由图知 2 y 2 故函数的值域为 2 3 1 求下列函数的值域 值域课堂练习题 1 3 3 2 4 4 3 练习2求下列函数的最大值 最小值与值域 y x2 4x 1 y x2 4x 1x 3 4 y x2 4x 1 x 0 1 y x2 4x 1x 0 5 解 y x2 4x 1 x 2 2 3 顶点为 2 3 顶点横坐标为2 对称轴x 2 抛物线的开口向上 函数的定义域R x 2时 ymin 3 无最大值 函数的值域是 y y 3 当x 3时 y 2 x 4时 y 1 在 3 4 上 ymin 2 ymax 1 值域为 2 1 顶点横坐标2 3 4 解 略 解 顶点横坐标2 0 5 当x 0时 y 1 x 2时 y 3 x 5时 y 6 在 0 1 上 ymin 3 ymax 6 值域为 3 6 注 对于二次函数 y ax2 bx c a 0 若定义域为R时 当a 0时 则当x 时 其最小值 当a 0时 则当时 其最大值 若定义域为x a b 则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间 a b 若x0 a b 则f x0 a 0时 是函数的最小值 a 0时 是函数的最大值 再比较f a f b 的大小决定函数的最大 小 值 若x a b 则 a b 是在f x 的单调区间内 只需比较f a f b 的大小即可决定函数的最大 小 值 分析 带有根式的函数 本身求值域较难 可考虑用换元法将其变形 换元适当 事半功倍 解 设t 则x 1 t2且t 0 y 1 t2 t 由图知 故函数的值域为 3 练习y 2x 3 解 设t 由图知 故函数的值域为 4 求函数y 的值域 解 由题知x R 则有 2yx2 2yx y x2 2