二重积分的计算

6 2二重积分的计算 一 二重积分的几何意义 前面我们已经知道 面密度为f x y 的平面簿片 的质量可以用二重积分表示为 因为被积函数z f x y 在几何上表示一空间曲面 假定 z f x y 0且在D上连续 下面我们将说明二重 D为底 以过D的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面为侧面 以曲面 的体积 这样的空间立体 z f x y 为顶的一空间立体 称为曲顶柱体 分割 求曲顶柱体的体积 的 通过分割 作乘积 求和 取极限 可得曲顶柱体的体积 就是曲顶柱体的体积 在xoy平面的下方 二重积分的绝对值 是负的 这些部分区域上曲顶柱体体积的代数和 当f x y 为负时 柱体就 如果f x y 在D内的某些部分区域是正的 二 直角坐标系中二重积分的计算 D的表示法 1 如果积分区域D可以表示为 X 型 X 型 X型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点 2 如果积分区域D为 Y 型 Y 型 Y型区域的特点 穿过区域且平行于x轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点 下面我们通过曲顶柱体体积的计算来说明二重积分 化为二次积分的方法 在讨论中 假定f x y 0 D为X 型 y1 x0 y2 x0 为底边 以曲线 的曲边梯形 此截面面积为 x且平行yoz面的平 面截曲顶柱体所得 截面面积为 任取x a b 过点 在 a b 上任取一点 x0作平行于yoz面 截曲顶柱体所得截 面是一个以区间 z f x0 y 为曲边 应用定积分中计算 已知平行截面面积的立体 体积 的方法 得到 因此 二重积分 上式右端的积分称为先对y后对x的二次积分 把f x y 看作变量y的函数 其积分结果是x的函数 再对x计算在区间 a b 上的定积分 先对y后对x的二次积分通常又记为 确定积分顺序时 应注意积分区域D为X 型的特点 X 型 类似地 当积分区域D为Y 型时 可得公式 确定积分顺序时 应注意积分区域D为Y 型的特点 Y 型 注 上面的公式当f x y 0不满足时 公式亦成立 注1当积分区域D既是X 型又是Y 型区域时 上述两个不同顺序的二次积分的值相等 即 注2如果积分区域D既不是X 型又不是Y 型 则可 将D分成几部分 使得每个部分是X 型或Y 型 解 例1求 其中是由抛物线 和所围平面闭区域 两曲线的交点 解先画出积分区域D 1 先对y后对x的二次积分 D应表示为 它既是X 型 又是Y 型 2 将D作为Y 型区域 D可表示为 解 1 首先画出积分区域D 作先对x后对y的二次积分 2 作先对y后对x的二次积分 因为在 2 1 和 1 2 上边界曲线y x 表达式不同 必须有直线x 1将D分成D1和D2两部分 其中 注1在二重积分中适当选择积分秩序 积分可以简化 所以该积分不能采用先对x后对y的积分顺序 现改为先对y后对x的积分 首先 根据所给积分确定 积分区域 改变积分顺序时 将D 表示为 所以 注2在二重积分中适当选择积分先后顺序 对某些 积分可以解决 积得出来 与 积不出来 的问题 解 积分区域如图 例5改变积分的次序 原式 解 积分区域如图 原式 例8求由柱面x2 y2 R2及x2 z2 R2所围成的立体体积 解由对称性知 其体积为 第一卦限部分的8倍 解 例9求由下列曲面所围成的立体体积 所围立体在面上的投影是 所求体积 例10 解 先去掉绝对值符号 如图 三 在极坐标系中的计算 由二重积分的定义可知 现在用一族同心圆r 常数以及从极点出发的一族 设f x y 在D上连续 所以二重积分存在 上式两端令 这就是直角坐标系的二重积分变换到极坐标系的 二重积分的公式 下面研究在极坐标系中 二重积分化为二次积分 1极点在积分区域D的外部时 2极点在积分区域D的内部时 3极点在积分区域D的边界时 极坐标系下区域的面积 解 注 极坐标系下能解决直角坐标系下 某些 积不出来 的二重积分 例1计算 其中D是由中心在原点 半径为a的圆周所围成的闭区域 例2求圆柱体 解由于所求立体关于 xoy面 zox面对称 其体积 为第一卦限部分体积的4倍