材料力学-第五章-弯曲应力ppt课件

第五章弯曲应力 回顾与比较 内力 应力公式及分布规律 均匀分布 线形分布 5 2纯弯曲时的正应力 5 3横力弯曲时的正应力强度条件 5 4弯曲切应力 5 6提高梁强度的措施 5 1纯弯曲 一 纯弯曲 梁段CD上 只有弯矩 没有剪力 梁段AC和BD上 既有弯矩 又有剪力 5 1纯弯曲 纯弯曲 横力弯曲 5 2纯弯曲时的正应力 1 变形几何关系 2 物理关系 3 静力学关系 纯弯曲的内力 剪力Fs 0 横截面上没有切应力 只有正应力 弯曲正应力的分布规律和计算公式 1 变形几何关系 一 实验观察现象 施加一对正弯矩 观察变形 观察到纵向线与横向线有何变化 纵向线 由直线 曲线 横向线 由直线 直线 相对旋转一个角度后 仍然与纵向弧线垂直 变化的是 1 纵向线的长度 2 两横截面的夹角 各纵向线的长度还相等吗 各横向线之间依然平行吗 3 横截面的宽度 横截面绕某一轴线发生了偏转 二 提出假设 1 平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面 于1695年提出梁弯曲的平面假设 瑞士科学家Jacob 贝努力 纵向纤维之间没有相互挤压 2 假设 观察纵向纤维之间有无相互作用力 各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩 凹入一侧纤维 凸出一侧纤维 观察纵向纤维的变化 在正弯矩的作用下 偏上的纤维 缩短 偏下的纤维 伸长 缩短 伸长 纤维长度不变 中性层 中性层 L 0 L 0 L 0 既不伸长也不缩短 中性轴 中性轴上各点 0 各横截面绕 中性轴发生偏转 中性轴的位置 过截面形心 你能解释一下托架开孔合理吗 托架会不会破坏 三 理论分析 y的物理意义 纵向纤维到中性层的距离 点到中性轴的距离 两直线间的距离 公式推导 线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比 从横截面上看 点离开中性轴越远 该点的线应变越大 2 物理关系 虎克定律 弯曲正应力的分布规律 a 与点到中性轴的距离成正比 c 正弯矩作用下 上压下拉 当 P时 沿截面高度 线性分布 b 沿截面宽度 均匀分布 d 危险点的位置 离开中性轴最远处 弯曲正应力的分布规律 可别忘记啦 沿高度 沿宽度 3 静力学关系 中性轴过截面形心 坐标轴是主轴 中性层的曲率计算公式 EIz 抗弯刚度 4 弯曲正应力计算公式 变形几何关系 物理关系 静力学关系 正应力公式 1826年纳维在 材料力学 讲义中给出正确计算公式 弯曲正应力分布规律 弯曲正应力计算公式 5 横截面上最大弯曲正应力 截面的抗弯截面系数 反映了截面的几何形状 尺寸对强度的影响 最大弯曲正应力计算公式 适用条件 截面关于中性轴对称 6 常见图形的惯性矩及抗弯截面系数 一 横力弯曲 5 3横力弯曲时的正应力 横截面上内力 剪力 弯矩 横截面上的应力 既有正应力 又有切应力 横力弯曲时的横截面 横截面 不再保持为平面 且由于切应力的存在 也不能保证纵向纤维之间没有正应力 纯弯曲正应力公式 弹性力学精确分析表明 横力弯曲最大正应力 二横力弯曲正应力 对于跨度L与横截面高度h之比L h 5的细长梁 用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力 误差 2 满足工程中所需要的精度 推导弯曲正应力计算公式的方法总结 1 理想模型法 纯弯曲 剪力为零 弯矩为常数 2 实验 观察 假设 梁弯曲假设 3 外力 内力 变形几何关系物理关系静力学关系 4 三关系法 积分 应力合成内力 横力弯曲 应力法 5 数学方法 注意 1 计算正应力时 必须清楚所求的是哪个截面上的应力 3 特别注意正应力沿高度呈线性分布 从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩 2 必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力 4 中性轴上正应力为零 并确定该点到中性轴的距离 而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力 以及该点处应力的符号 4 必须熟记矩形截面 圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式 6 熟记矩形 圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式 5 梁在中性轴的两侧分别受拉或受压 注意 正应力的正负号 拉或压 可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来确定 作弯矩图 寻找最大弯矩的截面 分析 非对称截面 例1T型截面铸铁梁 截面尺寸如图 求最大拉应力 最大压应力 计算最大拉应力 最大压应力 要寻找中性轴位置 2 计算应力 1 求支反力 作弯矩图 B截面应力分布 9KN 1m 1m 4KN 1m A C B FA 2 5KN 应用公式 3 结论 C截面应力计算 C截面应力分布 应用公式 1 C截面上K点正应力 2 C截面上最大正应力 3 全梁上最大正应力 4 已知E 200GPa C截面的曲率半径 例2 矩形截面简支梁承受均布载荷作用 如图所示 1 截面几何性质计算 确定形心主轴的位置 确定中性轴的位置 确定形心的位置 2 求支反力 压应力 3 C截面上K点正应力 4 C截面上最大正应力 弯矩 公式 作内力图 5 全梁上最大正应力 危险截面 公式 6 已知E 200GPa C截面的曲率半径 练习1 计算下图中1 1截面上 两点的正应力 并求梁内的最大正应力 画危险面上正应力的分布规律 已知矩形截面的宽为 75毫米 高 150毫米 练习2 圆型截面梁的横截面直径为D 50毫米 受力如图 计算最大正应力并画危险面上的正应力分布规律 练习3 求下图中1 1截面上 点的正应力 此截面上的最大正应力 此梁上的最大正应力 已知矩形截面的宽为 120毫米 高 180毫米 三 弯曲正应力强度条件 弯曲正应力的分布规律 危险点 距离中性轴最远处 分别发生最大拉应力与最大压应力 1 塑性材料 抗拉压强度相等 无论内力图如何 梁内最大应力 其强度条件为 通常将梁做成矩形 圆形 工字形等 对称于中性轴的截面 此类截面的最大拉应力与最大压应力相等 因此 强度条件可以表示为 2 离中性轴最远处 要综合考虑弯矩M与截面形状Iz 1 弯矩的绝对值最大的截面上 塑性材料 c 塑性材料制成的 变截面梁 总之 梁内最大应力发生在 3 强度条件为 2 脆性材料 抗拉压强度不等 内力图形状有关 梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在 最大应力通常与截面形状 通常将梁做成T形 倒T形等 关于中性轴不对称的截面 离中性轴最远的最上边缘与最下边缘 由于脆性材料抗压不抗拉 或者 脆性材料梁的危险截面与危险点 上压下拉 上拉下压 危险截面只有一个 危险截面处分别校核 二个强度条件表达式 危险截面有二个 每一个截面的最上 最下边缘均是危险点 脆性材料梁的危险截面与危险点 各危险截面处分别校核 四个强度条件表达式 弯曲正应力强度计算的三个方面 1 强度校核 2 设计截面 3 确定许可载荷 例1 图示为机车轮轴的简图 试校核轮轴的强度 材料的许用应力 分析 2 危险截面 3 危险点 截面关于中性轴对称 弯矩最大的截面 抗弯截面系数最小的截面 危险截面的最上 下边缘处 1 轮轴为塑性材料 公式 1 计算简图 2 绘弯矩图 B截面 C截面 3 危险截面 4 强度校核 B截面 C截面 5 结论 轮轴满足强度条件 例2 某车间欲安装简易吊车 大梁选用工字钢 已知电葫芦 材料的许用应力 起重量 跨度 试选择工字钢的型号 自重 分析 2 确定危险截面 5 计算 6 计算 选择工字钢型号 3 截面为关于中性轴对称 1 简化为力学模型 4 应力计算公式 1 计算简图 2 绘弯矩图 3 危险截面 4 强度计算 5 选择工字钢型号 36c工字钢 F F1 F2 例3 T型截面铸铁梁 截面尺寸如图示 试校核梁的强度 5 作弯矩图 确定危险截面 6 确定危险点 进行强度校核 分析 非对称截面 确定形心主轴位置 1 脆性材料 2 寻找形心 3 确定中性轴位置 4 计算图形对中性轴的主惯性矩 危险截面与内力图有关 2 求截面对中性轴z的惯性矩 1 求截面形心 4 确定危险截面 3 求支反力 作弯矩图 B截面应力强度计算 9KN 1m 1m 4KN 1m A C B FA 2 5KN 应用公式 5 结论 C截面强度计算 应用公式 满足强度条件 例4 一简支梁受力如图所示 已知 空心圆截面的内外径之比 试选择截面直径D 若外径D增加一倍 比值 不变 则载荷q可增加到多大 3 作弯矩图 确定危险截面 分析 对称截面 1 塑性材料 2 已知图形对中性轴的主惯性矩 5 公式 4 确定危险点 进行强度校核 1 求支座反力 并作弯矩图 FA FB ql 2 2 确定危险截面 强度计算 若外径D增加一倍 不变 例5 已知材料的 由M图知 试校核其强度 5 确定危险点 进行强度校核 分析 非对称截面 确定形心主轴位置 1 塑性材料 2 寻找形心 3 确定中性轴位置 4 计算图形对中性轴的主惯性矩 6 公式 1 确定中性轴的位置 2 计算截面对形心主轴的惯性矩 4 正应力校核 所以结构安全 问题 若材料为铸铁 截面这样放置是否合理 1 已知T型截面的惯性矩为IZC 10 6m4 材料的许用拉应力为 t 30MP 许用压应力 c 60MP 校核梁的强度 2 AB梁为10号工字钢 在B点用圆杆支撑 BC杆的直径为D 20毫米 梁与杆采用同种材料 许用应力为 160MP 求许用载荷 3 图示中的梁由二根槽钢组成 许用应力为 120MP 选择槽钢的型号 4 矩形截面悬臂梁的跨度为L 4米 截面的高 宽比为3 2 均布载荷的集度为 10KN 许用应力为 10MP 确定矩形截面的尺寸 5 已知T型截面的惯性矩为IZC 21 76 10 6m4 材料的许用拉应力 t 30MP 许用压应力 c 60MP 设计载荷 如果截面倒置 6 20 工字钢 许用应力为 160MP 求载荷P 7 已知T型截面的惯性矩为IZC 10000cm4 材料的许用拉应力为 t 40MP 许用压应力 c 160MP h1 96 4 求力P 8 许用应力为 60MP 校核强度 10KNm 30KNm 1m 1m 1m 60 120 9 25号槽钢 许用应力为 120MP 求M 画危险面的正应力的分布规律 10 球墨铸铁材料 采用T型截面 惯性矩为IZC 30000cm4 画危险面上的正应力的分布规律 并求梁内的最大拉应力 最大压应力 11 已知T型截面的惯性矩为IZC 20 10 6m4 材料的许用拉应力为 t 32MP 许用压应力 c 75MP 校核强度 12 AB梁的跨度为L 6米 当力P直接作用在梁的中点时 梁的最大正应力超过许用应力的30 为消除过载的影响 增加一辅助梁CD 求辅助梁的跨度 13 在200 200的矩形截面上左右对称地挖去直径为160的半圆 作梁的内力图 并求梁内的最大正应力 14 已知工字型截面梁的惯性矩为IZC 104cm4 材料的许用拉应力为 t 40MP 许用压应力 c 100MP y1 100mm y2 220mm L 1m 求载荷集度 15 槽形截面梁受力如图 材料为铸铁 对本身截面形心轴的惯性矩为IZC 1 729 109mm4 许用拉应力为 t 40Mpa 许用压应力为 C 80MPa 求梁的许可载荷P P 16 铸铁制成的槽形截面梁 材料的 t 40MPa C 150MPa 对截面形心轴的惯性矩为IZ 40 10 6m4 y1 0 14m y2 0 06m 校核梁的强度 17 图示结构 AB为T形铸铁梁 y1 140mm y2 60mm 惯性矩为IZ 4 107毫米4 CD为直径为d 30毫米的圆截面钢杆 载荷P可在梁上自由移动 已知AC 2米 CB 1米 铸铁的许用拉应力为 t 35MPa 许用压应力为 c 140MPa 钢材的许用应力为 160MPa 确定系统的许可载荷 P 不考虑CD杆的稳定性 5 4弯曲切应力 横力弯曲 横截面上内力 既有弯矩又有剪力 横截面上应力 既有正应力又有切应力 切应力分布规律和计算公式 FA FB P 观察AC段内力 Fs P 常量 M线性规律上升 横截面上的切应力合成剪力 横截面上的剪力产生切应力 关于切应力的两点假设 目标 距离中性轴为y的直线上各点切应力计算公式 距中性轴等远的各点处切应力大小相等 1 在AC段取长为dx的微段 2 分析微段上的应力 3 切开微段分析 4 分析微段的平衡条件 5 计算右侧截面正应力形成的合力 同理 6 微元体的平衡方程 距离中性轴为y的直线上点的切应力计算公式 7 切应力计算公式 各项的物理意义 1 Fs 欲求切应力的点所在截面的剪力 2 Iz 欲求切应力的点所在截面对中性轴的惯性矩 3 b 欲求切应力的点处截面的宽度 4 Sz 横截面上距离中性轴为y的横线以外部分的面积A1对中性轴的静矩 8 切应力分布规律 切应力沿截面高度按抛物线规律变化 中性轴处 最大正应力所在的点 工字形截面梁切应力沿高度的分布规律 计算公式 切应力危险点 中性轴处 最大切应力 腹板上的切应力呈抛物线变化 腹板部分的切应力合力占总剪力的95 97 工字形截面的翼缘 翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化 翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑 并与腹板部分的竖向剪力形成 剪应力流 T形截面梁切应力沿高度的分布规律 计算公式 切应力危险点 中性轴处 圆形截面梁切应力沿高度的分布规律 计算公式 切应力危险点 中性轴处 最大切应力 2 横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点 3 竖直分量沿截面宽度相等 沿高度呈抛物线规律变化 1 在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切 圆环截面的最大切应力 切应力的危险点 能否说 切应力的最大值一定发生在中性轴上 当中性轴附近有尺寸突变时 最大切应力不发生在中性轴上 当中性轴附近有没有尺寸突变时 最大切应力发生在中性轴上 切应力强度条件 对于等宽度截面 发生在中性轴上 在进行梁的强度计算时 需注意以下问题 1 对于细长梁的弯曲变形 正应力的强度条件是主要的 剪应力的强度条件是次要的 对于宽度变化的截面 不一定发生在中性轴上 一般情况下 以正应力设计为主 切应力校核为辅 2 对于较粗短的梁 当集中力较大时 注意 4 薄壁截面梁时 也需要校核切应力 截面上的剪力较大 需要校核切应力强度条件 3 载荷离支座较近时 截面上的剪力较大 5 木梁顺纹方向 抗剪能力较差 6 工字形截面梁 要进行切应力校核 7 正应力的最大值发生在横截面的上下边缘 该处的切应力为零 切应力的最大值发生在中性轴上 该处的正应力为零 对于横截面上其余各点 同时存在正应力 切应力 这些点的强度计算 应按强度理论进行计算 注意 例题1 悬臂梁由三块木板粘接而成 跨度为1m 胶合面的许可切应力为0 34MPa 木材的 10MPa 1MPa 求许可载荷F 1 画梁的剪力图和弯矩图 2 按正应力强度条件计算许可载荷 3 按切应力强度条件计算许可载荷 4 按胶合面强度条件计算许可载荷 5 梁的许可载荷为 例2铸铁梁的截面为T字形 受力如图 已知材料许用拉应力为 许用压应力为 试校核梁的正应力强度和剪应力强度 若将梁的截面倒置 情况又如何 a 确定中性轴的位置 c 最大静矩 b 计算图形对形心主轴的惯性矩 1 平面图形几何性质计算 2 绘剪力图 弯矩图 计算约束反力 作内力图 3 正应力强度计算 对于A截面 3 正应力强度计算 对于D截面 正应力强度足够 结论 4 切应力强度校核 在A截面左侧 切应力强度足够 危险截面 计算公式 5 若将梁的截面倒置 此时强度不足会导致破坏 1 求图示梁上1 1截面上 二点的切应力 及梁内最大的切应力 2 求图示梁内最大正应力 最大切应力 并画出正应力与切应力的分布规律 3 矩形截面简支梁由三根宽为150 高为60的矩形板胶合而成 已知胶合面上的许用剪应力为 胶合 0 5MP 梁的许用应力为 10MP 2MP 校核梁的强度 4 矩形截面简支梁 24 100 许用剪应力为 60MP 校核梁的剪切强度 5 P 200KN 均布载荷的集度为q 10KN m 梁的跨度为L 2米 集中力到支座的距离a 0 2米 梁的许用应力为 160MP 100MP 选择工字钢型号 6 矩形截面简支梁 24 100 梁的许用应力为 120MP 许用剪应力为 100MP 校核梁的强度 7 矩形截面简支梁 高 宽 3 2 梁的许用应力为 8MP 0 7MP 设计矩形截面的尺寸 8 矩形截面简支梁 宽 50 高 160 梁的许用应力为 MP 1MP 求梁的许可载荷 5 6提高弯曲强度的措施 1 合理布置支座 一 降低Mmax 2 合理布置载荷 降低Mmax 安装齿轮 靠近轴承一侧 3 集中力分散 降低Mmax 二 梁的合理截面 增大抗弯截面系数 截面面积几乎不变的情况下 截面的大部分分布在远离中性轴的区域 1 合理设计截面 抗弯截面系数WZ越大 横截面面积A越小 截面越合理 来衡量截面的经济性与合理性 合理截面 合理截面 伽利略1638年 关于两种新科学的对话和证明 空心梁能大大提高强度 而无须增加重量 所以在技术上得到广泛应用 在自然界就更为普遍了 这样的例子在鸟类的骨骼和各种芦苇中可以看到 它们既轻巧而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力 矩形截面中性轴附近的材料未充分利用 工字形截面更合理 根据应力分布的规律 解释 合理截面 合理截面要求上下危险点同时达到各自的许用应力 对于塑性材料 宜设计成关于中性轴对称的截面 对于脆性材料 宜设计成关于中性轴不对称的截面 且使中性轴靠近受拉一侧 2 合理放置截面 竖放比横放更合理 为降低重量 可在中性轴附近开孔 三 等强度梁 工程中的等强度梁