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1 5 向量函数的积分 1 体积分设D是R3中的一个体积元V 在V中定义的函数 定义 体积分 设是V的一个分割 任取点 作和式 当时 若和式的极限存在 且与V的划分与的选取无关 则称这个极限为在V上的积分 记做 在R3空间 可以表示为 则 体积分的计算规则 1 设为常向量 为数量函数 则 2 设为常向量 为向量函数 则 3 设为常向量 为向量函数 则 例1 设V是平面和三个坐标平面x 0 y 0z 0所围的区域 求在V上的体积分 解 如图表示 则 分别计算三个分量的积分 首先 同理 最后得 2 曲面积分设D是R3中的一块简单 分块光滑的空间有向曲面 我们可以定义沿一侧的积分 定义 曲面积分 设在空间曲面上有定义 为的任意一个分割 记 任取点 作和式 当时 若和式的极限存在 且与的划分与的选取无关 则称这个极限为在上的积分 记做 在R3空间 可以表示为 若的法向量的单位向量为 则 所以 例2 设是平面和三个坐标平面所围的闭曲面 求沿的外侧的曲面积分 解 如图表示 是分别表示三角形OAB OBC OCA所围平面 代表ABC的所围三角形 则 对于 z 0 dz 0 则 同理 对于 则 而 所以 同理 最后得 例3 设是球面 求沿球面外侧的积分 解 对于球面来说 其任意点的法向分量为所以 沿球面外侧的积分为 3 曲线积分设l是R3中的一条简单 分段光滑的空间有向曲线 我们可以定义在曲线上的积分 定义 曲线积分 设为空间内由点A到点B的一条有向光滑曲线 任取分段点 把分成n个有向线段 定义 记 任取点 作和当 和式的极限存在且和曲线的划分与的选取无关 则称这个极限为沿曲线的曲线积分 记作 在R3空间 可以表示为 若的法向量的单位向量为 则 所以 例4 设为平面与三个坐标平面的交线所围的闭曲线 曲线方向如图所示 求函数沿曲线正向的积分 解 由围成 同理 最后得 对于 z 0 dz 0 则 4 Gauss公式和Stokes公式 Gauss公式 设空间曲面是分片光滑的双侧闭曲面 其内部区域记为 设函数在和上连续 在内具有一阶偏导数 则 Stokes公式 设空间曲面是光滑的有界曲面 其边界l是一条分段光滑的闭曲线 设函数在和l上连续 在上具有一阶偏导数 则 总结 1 体积分体积分的定义体积分公式 2 面积分 3 线积分4 Gauss公式和Stokes公式 作业 1 设l为正
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