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1 5定积分的概念 1 曲边梯形 在直角坐标系中 由连续曲线y f x 直线x a x b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形 O x y y f x 一 求曲边梯形的面积 x a x b 因此 我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线 也就是说 在点P附近 曲线可以看作直线 即在很小范围内以直代曲 放大 再放大 y f x 用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A 得 用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A 得 A A1 A2 A3 A4 用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A 得 A A1 A2 An 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积 于是曲边梯形的面积A近似为 以直代曲 无限逼近 1 分割 把区间 0 1 等分成n个小区间 过各区间端点作x轴的垂线 从而得到n个小曲边梯形 他们的面积分别记作 例1 求抛物线y x2 直线x 1和x轴所围成的曲边梯形的面积 2 以直代曲 3 作和 4 逼近 小结 求由连续曲线y f x 对应的曲边梯形面积的方法 1 分割 2 求面积的和 3 取极限 引入 二 汽车行驶的路程 思考 结论 练习 C 1 当n很大时 函数在区间上的值 可以用 近似代替A B C D 2 在 近似代替 中 函数f x 在区间上的近似值等于 A 只能是左端点的函数值B 只能是右端点的函数值C 可以是该区间内任一点的函数值D 以上答案均不正确 C 定积分的定义 一般地 设函数f x 在区间 a b 上有定义 将区间 a b 等分成n个小区间 每个小区的长度为 在每个小区间上取一点 依次为x1 x2 xi xn 作和如果无限趋近于0时 Sn无限趋近于常数S 那么称常数S为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 积分下限 积分上限 注 定积分数值只与被积函数及积分区间 a b 有关 与积分变量记号无关 曲线y f x 0 直线x a x b y 0所围成的曲边梯形面积可用定积分表示为 变力作功问题可表示为 1 由曲线y x2 1与直线x 1 x 3及x轴所围成的曲边梯形的面积 用定积分表示为 2 中 积分上限是 积分下限是 积分区间是 举例 2 2 2 2 3 定积分 8 思考 函数在区间 a b 上的定积分能否为负的 定积分 定积分 三 定积分的几何意义 曲线y f x 直线x a x b y 0所围成的曲边梯形的面积 当函数f x 0 x a b 时定积分几何意义 就是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数 当函数f x 在x a b 有正有负时 定积分几何意义 就是图中几个曲边图形面积的代数和 x轴上方面积取正号 x轴下方面积取负号 1求下列定积分 1 例题分析 2 求定积分 只要理解被积函数和定积分的意义 并作出图形 即可解决 用定积分表示下列阴影部分面积 S S S 四
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