电势及其计算

8 5静电场的保守性 描述电场状态 一 静电场的保守性 保守力场 1 点电荷电场 设点电荷q固定于某处 另一点电荷在q产生的电场中从点a经任意路径L移动到点b 在L上任取微小位移 该处场强为 则电场力对所作的元功为 b 移动有限路程L时 总功为 式中dr dlcos 在点电荷电场中 电场力对试验电荷所作的功 只取决与试验电荷及其始末位置 与路径无关 点电荷系q1 q2 的电场中 移动q0 有 2 静止的点电荷系 电荷连续分布带电体 可见静电力做功只与检验电荷起点 终点的位置有关 与所通过的路径无关 静电场的这一特性称静电场的保守性 静电场是保守场 二 场强环流定理 单位正试验电荷沿闭合路径acbfa移动回到出发点时 电场力所作的功为 静止电荷的电场 运动电荷的电场 静电场是保守场 为有源无旋场 运动电荷的电场不是保守场 为有源有旋场 8 5电势能 电势和电势差 一 电势能 静电场是保守场 可引进静电势能的概念 用试验电荷在静电场中从a点移止b点电场力作功 作为试验电荷在a b两点处电势能改变的量度 即 当场源电荷为有限带电体时 通常选取无限远处为电势能零点 取b点为无限远处 则 电势能是属于系统的 为场源电荷与试验电荷所共有 是试验电荷与电场之间的相互作用能 电势能的量值与电势能零点的选择有关是相对量 对有限的带电体 通常选无穷远处为静电势能的零点 在实际问题中有时选择地球表面为零势能 当时 电场力作正功 电势能减少 当时 电场力作负功 电势能增加 说明 二 电势 即电场中a点的电势 在量值上等于单位正电荷在该点具有的电势能 或等于单位正电荷从a点沿任意路径移到电势零点处电场力所作的功 电势的性质 10 Ua客观反映了静电场力作功的性质 与q0无关 20 Ua是标量 但有 一 a的 一 决定于场电荷q的 一 而与q0的正 负无关 30 Ua具有相对性 电势零点的选取 8 6电势的计算 已知场源分布 求空间的电势分布 方法有二 电势定义法 线积分法 电势叠加法 一 电势定义法 线积分法 场源分布 选择积分路径 例一求点电荷q电场中电势分布 解 取无限远处作为电势零点 点电荷电场为 1 电势值与电荷正负有关 2 电势值与该点距场源的距离有关 在正电荷场中 离点电荷越远电势越低 在负电荷场中 离点电荷越远电势越高 例二求均匀带电球面电场中任一点P处的电势 设球面半径为R 总带电量为q 解 由高斯定理求得均匀带电球面的场强分布为 沿径向积分 得 与点电荷电势相同 球面内各点电势相等 均等于球面上各点电势 设柱面上电势为零 E内 0 r R 例3 8 23 无限长均匀带电圆柱面 半径为R 单位长度上的电量为 计算此圆柱面内 外任一点的电势 r R 解 若选无限远处为零势点 此时无法描述空间各点电势的差异 对无限长均匀带电直线 通常取何处为电势零点 为等势区 二 电势叠加法 1 对点电荷系 场强满足场强叠加原理 即 所以点电荷系电场中任一点的电势为 点电荷系场中任一点的电势等于各个点电荷电场在同一场点的电势的代数和 电势叠加原理 2 对电荷连续分布的带电体 有 1 积分对场源电荷所在空间进行 2 电势零点在无限远处 3 电势叠加为标量叠加 方法1 叠加法 例2 求一均匀带电圆环轴线上一点的电势 已知 q R X 写出积分元 积分求解 建立坐标系确定零势点 分析电场分布 选择适当模型 解题步骤 方法2 定义法 建立坐标系 求出电场中的电场分布 以无穷远处作为电势零点 分析电场分布 确定零电势点 确定积分路径 积分求解 解题步骤 轴线上的场强为 一 等势面 电场中电势相等的点连成的面称为等势面 2 等势面的性质 1 2 电力线指向电势降的方向 3 等势面的疏密反映了电场强度的大小 等势面 1 等势面画法规定使电场中任何两个相邻等势面的电势差都相等 8 7场强与电势的关系 二 电势与电场强度的关系 取两个相邻的等势面 把点电荷从P移到Q 电场力做功为 电场强度的沿任意方向的投影大小等于沿过该点任意方向等势面上电势的变化率 电场中某点的场强等于沿该点法线方向电势空间变化率 电势函数方向导数 的负值 在直角坐标系中 例 求 2 3 0 点的电场强度 已知 解 例P94页12 18 小结 三 电势的计算 两种基本方法 五 典型带电体的电势分布 1 在边长为a的等边三角形三个顶点上 放置三个正的点电荷 电量分别为q2q3q 若将另一个正的点电荷Q从无穷远处移至三角形的中心O处 外力所做