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文档简介

定积分的计算 N L公式 微积分基本定理 设f x 在 a b 上连续 且F x 是f x 的一个原函数 则说明 此公式不仅揭示了微分与积分的联系 同时指出了求定积分的方法 1 求f x 的原函数 2 求原函数值差 定积分的性质 例1 求下列定积分解 一 直接积分法 例2 求下列定积分解 一 凑微分法 二 定积分的换元积分法 定理 例3 求下列定积分解 说明 换积分上下限 通过u 2x 1来计算 当x 0时 u 1 当x 2时 u 5 所以注意 定积分的换元法一定要换积分的上下限 解 解 说明 因换元积分法比较麻烦 建议尽可能使用 凑微分 例4 证1 n 0时 显然成立 练一练求下列定积分 练一练 解答 三 定积分的分部积分法 定理 例5 求下列定积分解 两个重要结论设f x 在 a a 上连续 1 若f x 为奇函数 则 2 若f x 为偶函数 则证明 1 例6 移项 得递推公式 如n 8 有公式 如n 7 利用上面结论 求下列定积分提高题 1 用定积分求椭圆的面积 2 求证 广义积分一 无穷限函数的广义积分 定义假设对f x 在 a b 有定义且可积 1 对于无 a 上的穷积分如果存在 我们称收敛 且定义 否则 称发散 2 对于 b 的无穷积分如果存在 我们称收敛 且定义 否则 称发散 例1求 解首先我们考察求 例2讨论广义积分的敛散性 例3求广义积分 二 无界函数的广义积分 定义中c为瑕点 以上积分称为瑕积分 例5计算广义积分 解 证 例7计算广义积分 解 故原广义积分发散 瑕点 解 例8计算广义积分 注意 广义积分与定积分不同 尤其是瑕积分 它与定积分采用同一种表达方式 但其含义却不同 遇到有限区间上的积分时 要仔细检查是否有瑕点 广义积分中 N L公式 换元积分公式 分部积分公式仍然成立 不过代入上 下限时代入的是极限值 如无穷限积分 再如瑕积分 例9 证明 证 无穷限的广义积分 无界函数的广义积分 瑕积分 注意 不能忽略内部的瑕点 思考题 积分的瑕点是哪几点 三 小结 积分可能的瑕点是 不是瑕点 的瑕点是 思考题解答 练习题 练习题答案 此课
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