矩阵的运算、变换、与二元一次方程的关系、行列式、逆矩阵(B).doc

矩阵(B)1、 知识点1、矩阵的算法2、常用矩阵变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换3、二阶方阵的乘法与行列式4、逆矩阵及其求法5、特征值与特征向量【常用矩阵变换】恒等变换：单位矩阵或其他（如单位圆的旋转矩阵）。伸压变换：x轴方向为，y轴方向上为。反射变换：关于x轴对称，关于y轴对称，关于原点对称。旋转变换：旋转为，旋转为。投影变换：在x轴上投影为，在y轴上投影为，其他根据条件可求。切变换：在x轴方向拉伸变换，在y轴方向上拉伸变换【行列式为】【逆矩阵】（1）对于矩阵，若，则可逆，其逆矩阵记为。的求法： 设，由可得 解得：【公式运算】 矩阵加法：若矩阵，则 矩阵数乘：若矩阵，实数，则2、 例题B组矩阵的概念1坐标平面上的点（向量）矩阵设O(0, 0)，P(2, 3)，则向量 = (2, 3)，将的坐标排成一列，并简记为yx23OP(2, 3)23232日常生活矩阵（1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛复赛甲8090乙8688（2）某牛仔裤商店经销A、B、C、D、E五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示：A B C D E28英寸 1 3 0 1 230英寸 5 8 6 1 232英寸 2 3 5 6 034英寸 0 1 1 0 33图矩阵0 1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 0A B C DABCD0 1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 0BACD A B CA 0 3 1B 3 0 0C 1 0 2ACB矩阵：记号：A，B，C，或（aij）(其中i,j分别元素aij所在的行和列)要素：行列元素矩阵相等行列数目相等并且对应元素相等。特别：（1）21矩阵，22矩阵（二阶矩阵），23矩阵（2）零矩阵 （3）行矩阵：a11,a12列矩阵：，一般用，等表示。（4）行向量与列向量例1用矩阵表示三角形ABC，A（1，0），B（0，2），C（2，0）BACD例2用矩阵表示下列关系图平面变换恒等变换1恒等变换将图中所示的四边形ABCD保持位置不变，能否用矩阵M来表示？2伸压变换能否用矩阵来表示下列图形的变换？例1已知曲线ysinx经过变换T作用后变为新的曲线ysin2x，画出相关的图象，并求出变换T对应的矩阵M。解：例2 验证圆C：x2y21在矩阵A对应的伸压变换下变为一椭圆，并求出此椭圆的方程。解：由，得，得椭圆的方程3反射变换例3 求直线y4x在矩阵作用下变换所得的图形。一般地：二阶非零矩阵对应的变换将直线变换为直线。在矩阵M作用下，直线ab变成直线MaMb，通常称这种变换为线性变换。4旋转变换例4 已知A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），求矩形ABCD绕原点逆时针旋转90后得到的图形，并求出其顶点的坐标。解：由，得,5投影变换6切变变换例5 已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形ABCD，试求变换对应的矩阵M。例6 已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形ABCD，试求变换对应的矩阵M。解：矩阵的乘法一、问题：已知ABC，A（0，0），B（2，0），C（1，2），对它先作M 对应的变换，再作N 对应的变换，（1）试研究两次变换后的结果。（2）两次变换能否用一个变换矩阵表示。二、二阶矩阵的乘法规则及几何意义三、n次变换的表示方式Mn例1计算： A ，B A= ，B ，C 解： AB= =BA= = = 结论：矩阵乘法不满足交换律。3、计算： X =（ ） X = （ ）解：X =（ ） = = X = （ ）= = 可以验证结论：矩阵乘法满足结合律。4已知ABC，A（0，0），B（2，0），C（1，2），对它先作关于x轴的反射的变换，再将图形绕原点顺时针旋转90。（1）求两次连续的变换对应的变换矩阵M；（2）求A，B，C在变换作用下所得到的结果。5若 3= ，试求x的值。解：3= = 3x=1 x = 6 A ，B ，求AB，A2。解：，4、 初等变换及初等变换矩阵矩阵乘法的简单性质乘法的运算律：（1）交换律例1已知正方形ABCD，A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）变换T1对应矩阵为M ，变换T2对应矩阵为N 对应的变换，计算MN，NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度解释。解：,不相同。（2）结合律（AB）CA（BC）（3）消去律例2 已知：A= ，B ，C ，计算AB，AC。解：,.逆矩阵与逆变换一、引入例1 对于下列给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先TA后TB）的结果与恒等变换的结果相同？（1）以x为反射轴的反射变换；（2）绕原点逆时针旋转60作旋转变换；（3）横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换；（4）沿y轴方向，向x轴作投影变换；（5）纵坐标y不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且满足（x，y）（x2y，y）二、逆变换与逆矩阵若逆矩阵存在，则可以证明其具有唯一性。三、用几何变换的观点求解逆矩阵A= ，B ，C ，D 解：,不存在。四、用代数方法求解逆矩阵A B 解:,五、从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵若二阶矩阵A，B均可逆，则AB也可逆，且(AB)1B1A1 例4 （1）A ，B 解:,（2） A ，B 解:,.二阶矩阵与二元一次方程组一、消元法二求解元一次方程组当adbc0时，方程组的解为二、二阶行列式定义：det(A) adbc记：D，Dx，Dy例1 求下列行列式的值 2 解： =14-23=-2 =14-2（-3）=10 =-14-20=-4 2 =2（ad-bc）例2 若x= （R） 试求f(x)=x2+2x-3 的最值。解：x= =con2-sin2=con2 -1x1f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4 当x=-1时f(x) 取得最小值 -4； 当x=1时f(x)取得最大值0例3 利用行列式求解二元一次方程组解：例4 利用行列式求解A 的逆矩阵解：应用：一、用逆矩阵方法求二元一次方程组的解解：已知方程组可以写为： =令M= 其行列式 =31-3（-2）=90M-1 = = = M-1= =即方程组的解为：二、用几何变换的观点讨论方程的解（1）AXB，其中A ，B解：因为,A所以无解。B组1、 已知矩阵，求矩阵；解:2、 已知矩阵，求矩阵与；解:,3、 已知矩阵，向量，求矩阵，；解：，4、 已知矩阵，向量，求矩阵，；解：，5、 已知矩阵，求向量；解:6、 已知矩阵，点，点P在矩阵A的作用下变成了点，求点的坐标；解：由7、 已知矩阵，点，点P在矩阵A的作用下变成了点，求点的坐标；解：8、 已知矩阵，点P在矩阵A的作用下变成了点，已知点Q坐标为，求P点的坐标；解：9、 已知矩阵，直线L方程为，若直线在矩阵A的作用下变成了L1，求L1的方程；解：在上任取一点，对应的上的点，则，则得代入，得10、 已知矩阵，直线L在矩阵A的作用下变成了L1：，求原直线L的方程；解：在上任取一点，对应的上的点，则，则代入，得11、 矩阵，点在矩阵作用下变换为Q点，求Q点坐标；解;12、 函数在矩阵作用下变成了，求的解析式解：，得，则=。13、设矩阵,求和.解 14、求出以下行列式的值（1）（2）（3） 15、设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换（1）求对应的矩阵；（2）椭圆在的作用下的新曲线的方程。 （1）解：由条件得矩阵（2），椭圆在的作用下的新曲线的方程为。16、（1）二阶矩阵对应的变换将与分别变换成与，求直线：在此变换下所变成的直线的解析式（1）解：设M=，则有=，=，所以且 解得，所以M=17、（1）已知，对依次作矩阵对应的变换，求变换后的图形面积（1） 所以变得的的顶点坐标为，且18、 已知，若所对应的变换把直线变换为自身，求实数，并求M的逆矩阵.解（1）法一：特殊点法在直线上任取两点（2、1）和（3、3）则即得点 即得点将和分别代入上得则矩阵 则 法二：通法设为直线上任意一点其在M的作用下变为则代入得：其与完全一样得则矩阵 则 19、矩阵与变换 已知矩阵M所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A (13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标:依题意得由得,故从而由得故为所求.矩阵与变换曲线在二阶矩阵的作用下变换为曲线，设为曲线上任意一点，为曲线 上与对应的点，则，即 代入的得，及方程，从而，解得， （2）因为，故 如图，矩形在变换的作用下变成了平行四边形，求变换所对应的矩阵。（1）解：设矩阵，则点，故，即解得，。20、曲线在二阶矩阵的作用下变换为曲线