第6章 测量误差的基本知识

第六章测量误差的基本知识 6 1测量误差的来源及分类 6 2衡量精度的指标 6 3误差传播定律 简介 6 4等精度观测的最可靠值与精度评定 6 5加权平均值及中误差 自学 6 1测量误差的来源及分类 一 误差 error 定义及表达式观测值li与其真实值X之间的差异 其表达式为 i li X2 观测误差的来源误差来源 观测者 仪器 工具 外界因素观测条件 观测者 仪器 工具 外界因素 3 等精度观测和不等精度观测以观测条件来评价是否等精度观测 4 对测量误差的准确理解误区 误差越小越好 甚至为零 正确认识 将误差限制在满足测量目的和要求的范围内 5 观测误差的分类 1 粗差 grosserror g 2 系统误差 systemerror s 3 偶然误差 accidenterror a总观测误差 g s a 极高精度的仪器和极为严格的方法 消耗大量的物力和人力 二 误差的特性1 粗差 grosserror 特征 1 一种大数量级的观测误差 2 粗差包括测量过程中各种失误引起的误差 3 含有粗差的观测值都不能使用 该观测值必须舍弃并重测 处理方法 1 进行必要的重复观测 2 增加 多余 的观测约束条件 3 严格遵守相关测量规范 2 系统误差 systemerror 特征 在一定的观测条件下进行一系列观测时 符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差 系统误差对观测成果具有累积的作用 处理方法 1 采取必要的观测措施 2 找出系统误差的原因和规律 对观测值进行系统误差的公式改正 3 偶然误差 accidenterror 1 特征 在一定的观测条件下进行一系列观测 如果观测误差的大小和符号均呈现偶然性 即从表面现象看 误差的大小和符号没有规律性 2 研究偶然误差的重要性 遵守相关测量规范 粗差可以被发现并剔除 系统误差可以被改正 偶然误差却是不可避免的 三 偶然误差的统计规律 1 偶然误差的统计规律 2 标准差 standarddeviation 标准差的大小可以反映观测精度的高低 n 正态分布曲线 6 2衡量精度的指标 一 精度1 定义对某一个量的多次观测中 其误差分布的密集或离散的程度 第1组 1第2组 2 1 2所以 第1组精度高 2 等精度观测和不等精度观测由于精度是表征误差的特征 而观测条件又是造成误差的主要来源 因此 相同观测条件等精度观测精度等级相同 相同 不同观测条件不等精度观测精度等级不同 不同在一组等精度观测中 它们都对应着同一个误差分布 即对应着同一个标准差 反之 两组不等精度观测中 由于分别对应着各自的误差分布 二者的标准差也不相等 标准差愈小 观测精度水平愈高 3 衡量精度的常用指标 1 中误差 meansquareerror 2 相对中误差 relativeerror 3 极限误差 limiterror 或称限差tolerance 二 中误差m1 计算公式例题 1 对某个量进行两组观测 各组均为等精度观测 各组的真误差分别如下所示 请评定哪组的精度高 第一组 3 2 1 0 4 第二组 5 1 0 1 2 第一组 3 2 1 0 4 第二组 5 1 0 1 2 第一组 第二组 因为 m1 m2 所以第一组观测精度等级较高 2 中误差 m 与标准差 的区别 在于观测次数n上 标准差 表征了一组等精度观测在n 时误差分布的扩散特征 即理论上的观测精度指标 而中误差m则是一组等精度观测在n为有限次数时的观测精度指标 3 中误差 m 与真误差 的区别 中误差m反映的是一组观测精度的整体指标 而真误差 i是描述每个观测值误差的个体指标 在一组等精度观测中 各观测值具有相同的中误差m 但各个观测值的真误差往往不等于中误差 且彼此也不一定相等 这是由于真误差具有偶然误差特性的缘故 4 平均误差 平均误差就是在一组等精度观测中 各误差绝对值的平均数 其表达式为 式中 误差绝对值的总和例题 2 计算例题 1 的各组平均误差 并比较其精度高低 我国的有关规范均统一采用中误差作为衡量精度的指标 三 相对误差 K 1 相对误差的意义2 定义误差 的绝对值与相应观测值D的比值 3 实际距离丈量中的相对真误差 相对较差 当 为中误差m时 K为相对中误差 4 为什么只有 距离 需要用相对误差K衡量 而 角度 观测则用中误差 绝对误差 而不用相对误差 距离测量误差与观测长度大小有关 长度越长 需要丈量的次数越多 因此 出现误差的概率也越大 测角误差与角度的大小无关 不管角度大小如何 仪器只是读取两个数值 起始读数 终点读数 四 极限误差 极限 和容许误差 容 1 极限误差的意义绝对值大于3 的真误差出现的概率很小 因此可以认为 3 是真误差实际出现的极限 在等精度观测中 2m概率4 55 3m概率0 27 2 极限误差 容许误差 的设定在实际测量中 常以2 3倍中误差作为偶然误差的容许值 称为容许误差 即 容 2m 容 3m 6 3误差传播定律 一 误差传播定律 lawoferrorpropagation 实际测量中 有些量往往不能直接观测得到 需借助其它的观测量按照一定的函数关系间接计算得到 由于直接观测的量含有误差 因而它的函数亦必然存在误差 各观测量的中误差与其函数的中误差之间的关系 称为误差传播定律 二 主要关系式1 常用关系式 2 非线性关系式 通用公式 Z f x1 x2 xn 按照泰勒级数展开并整理 最终得到函数f x 中误差mZ的表达式 三 应用讲解例题 3 在1 2000比例尺的地形图上 量得A B两点间的距离dAB 87 5mm md 0 3mm 求A B两点间的实地距离DAB及其中误差mD 解 DAB MdAB 2000 87 5 1000 175 0m根据倍数函数的中误差计算公式 得线段AB的中误差为mD Mmd 2000 0 3 1000 0 6m最后的结果可以写成DAB 175 0m 0 6m 例题 4 对一个三角形三个内角进行观测 已观测 两内角 观测值分别为 72 34 12 5 0 56 46 18 4 0 求另一个内角 的角值及其中误差m 解 根据题意 有 180 因此 180 50 39 30 在 的函数式里 180 常数 而m 5 0 m 4 0 所以根据和差函数求中误差的公式 有 所以 另一个内角 50 39 30 6 4 例题 5 坐标增量计算公式 x Dcos 观测值D 152 60m 0 06m 106 30 15 8 求 x的中误差mx 解 根据公式 有 0 02m 6 4等精度观测的最可靠值与精度评定 一 算术平均值 arithmeticaverage 1 定义2 算术平均值是理论值的最或然值 最可靠值 证明在课本pp159 二 观测值改正数 residual 1 定义观测量的最或然值与观测值之差 i x li2 的一个重要特性 0在等精度观测条件下 观测值改正数的总和为零 3 由观测值改正数 计算观测值中误差m 实际观测中 测量的理论值 真值 往往是不知道的 此时 可以用上式计算观测活动的中误差m 4 算术平均值x的中误差M这就是数学上著名的白赛尔公式 BesselFormula 5 算术平均值中误差M的讨论 1 算术平均值精度比观测值高倍 2 增大观测次数 可以提高精度 但次数越多 精度提高幅度越小 例题 6 在等精度观测条件下 对某段距离丈量3次 结果分别为