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8 6桥式吊车工作过程自动调节在状态空间分析中的设计与计算 调节 通过适当的控制作用将系统由初始状态x0驱动到平衡状态xe 0 跟踪 使系统输出y t 跟踪已知的或未知的参考信号y0 t 跟踪问题可以看成为调节问题的一种推广 1 1现代调节技术 基础理论与分析方法 龚乐年 东南大学出版社 20032现代控制理论题解分析与指导 龚乐年 东南大学出版社 2005 参考书 2 主要内容 8 6 2小车驱动装置的数学描述 8 6 3行车系统的状态空间方程 8 6 4行车系统对应的方框图 8 6 5行车系统对应的 开环 特征值 8 6 6调节对象 行车系统 自身动态特性分析 8 6 7行车系统可控性分析 8 6 8利用极点配置法设计全状态反馈调节器 8 6 9实际系统全状态观测器设计 8 6 10行车系统设计调节器以及全状态观测器后闭环调节特性分析 8 6 1小车 吊钩 机械 系统动力学方程 3 4 5 sA O y轴 s轴 z轴 zB B 吊钩 含负载 mAg mBg l p p mA A 小车 sB FA 桥架 轨道 墙体 墙体 下图为大型工厂中使用的桥式吊车 又称行车 天车 示意图 后续分析全部在由s轴与z轴构成的平面中进行 y 0 图中 点A表示运行在桥架上的吊车 其中sA为小车在s轴上的坐标 sA 0 zA 0 mA为小车质量 FA为作用在小车上由驱动马达产生的水平驱动力 p为由吊钩与负载 后面简称吊钩 产生并作用在小车上的绳索拉力 点B表示吊钩 sB zB分别为吊钩在s轴和z轴上的坐标 mB为吊钩质量 l 分别为绳索长度 绳索同垂直方向之间的夹角 摆角 6 一般情况下 吊车的工作任务在于 首先将负载从地面上吊至一个预先规定的位置 改变zB 然后再送至某个对象的上方 改变sA 最后将负载在一个确定的位置上卸下 再次改变zB 1 由于小车在s轴方向上的启动与制动 会使吊钩出现不希望的摆动 通过 角的变化与大小来反映 由于系统阻尼通常很小又将使这种摆动的衰减变得十分缓慢 从而增加负载上吊与下卸时的困难与时间 吊车的上述动作在利用闭环调节 控制 装置实现过程控制自动化时 常常会遇到这样一些问题 因此 如何借助于调节手段来避免或减弱 角的这种不希望的摆动 或者至少将其限制在允许的范围内 这就是自动控制应解决的问题 2 吊车的传送能力 即工作效率在很大程度上是同上吊与下卸速度有关的 并且吊车工作过程的自动化又将同此速度构成一个有机的整体 7 为简化分析又不失一般性 下面将吊车工作过程自动调节 控制 的设计任务仅限于 1 对用来驱动并与系统瞬时状态有关的小车之马达这样加以控制 使小车在s轴上 y 0 能从一个起始位置变化至另一个事先规定的位置 并最后在那里停下来 这个过程中负载的重量与绳索长度均保持不变 即系统参数可视为常数 2 要求工作过程有个较好的动态特性 8 6 1小车 吊钩 机械 系统动力学方程 在不计小车与桥架 轨道 之间摩擦力的情况下 小车在水平 s轴 方向上有如下作用力平衡方程 对于吊钩 则在水平与垂直 z轴 方向上可分别得到如下作用力平衡方程 8 与上述3个力平衡方程相对应 在假定绳索长度l不变条件下 还可得如下两个运动学方程 为消去式 1 3 中的中间变量 绳索拉力p 可将式 1 2 两边相加得 将 2 3 两边分别乘以cos 和 sin 后再相加得 式 6 7 中不再含参数p 进一步由 4 5 又可分别得 9 最后 把式 8 9 代入式 6 7 后可分别得 至此 小车 吊钩 机械 系统可用式 10 11 两个二阶非线性微分方程进行描述 显然这是一个四阶动力学系统 解析求解式 10 11 是困难的 也没有必要 可以从工程角度 或通过非线性方程线性化 进行化简 10 从调节 控制 技术角度讲 常可采用某种调节 控制 手段 如全状态反馈闭环调节 控制 使 角的变化 相对于稳态值的偏差量 控制在一个很小的范围内 例如 在此前提下 就可以进行如下近似处理 即令 由此 式 10 11 可分别写为 上述近似处理 亦可理解为此系统在稳态工作点附近进行线性化处理 由此得到的式 12 13 即为与此相对应的二阶线性微分 偏差量 方程 其中sA可理解为相对于稳态工作点的位置偏差量 而 则为相对于垂直方向的摆角偏差量 FA亦应理解为偏差量 11 8 6 2小车驱动装置的数学描述 该驱动装置可用如下所示放大倍数为KA kN s 时间常数为TA s 的一阶惯性环节 即一阶线性定常微分方程加以描述 14 式中uA 伏 为驱动用直流电动机的控制电压 8 6 3行车系统的状态空间方程 至此我们得到了描述整个行车系统的三个线性定常动力学方程 12 13 14 联立 12 13 可得 12 16 15 17 如下选择状态变量 18a b c d e 控制量与输出量 19a b c 则由式 15 17 和式 18 19a 可得 13 20b 20a 20c 20d 以及由式 18 19b c 可得 21a b 可写成如下标准形式 20e 14 22a b 式中 小车 吊钩 驱动装置 其中 23b 23a 24a 小车 吊钩 驱动装置 b5 KA TA 24b 15 25a 25b 显然 这是一个单输入 多输出量系统 另外 在A b中 小车 吊钩和驱动装置对应的由各有关参数构成的子系统可由虚线加以区分 16 8 6 4行车系统对应的方框图 b5 1 s a25 1 s 1 s a55 a45 1 s 1 s a23 Kd a43 u x5 x2 x1 y1 x3 y2 x3 x4 小车 吊钩系统 驱动装置 图8 6 1桥式吊车系统结构图 阻尼系数 a25与a45 驱动装置对小车与吊钩的作用 a43 吊钩自身的负反馈作用 a23 吊钩对小车的反作用 17 KA TAs 1 1 mA 1 s2 mBg mA u y1 y2 x3 小车 吊钩系统 驱动装置 1 mAl 图8 6 2桥式吊车系统简化后的结构图 假定系统参数如下 KA 0 1 kN V TA 1 s mA 1000 kg mB 4000 kg l 10 m 则有 a23 39 2 m s2 a25 10 3 1 kg a43 4 9 1 m2 a45 10 4 1 kg m a55 1 1 s b5 0 1 kV V s 18 利用上述参数 在初始条件x 0 0 相当于小车静止地位于s z平面的坐标原点 且在直流电动机电压由0V阶跃地变化至10V时 经仿真计算可得如下响应曲线 051015202530 0 20 40 60 80 100 sA m 051015202530 0 2 4 6 0 0 02 rad 2 84 0 01 051015202530 051015202530 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 FA kN 图8 6 3桥式吊车开环系统响应曲线 19 8 6 5行车系统对应的 开环 特征值 由式 23a 可知此调节对象对应的开环特征方程为 26 27a b c 28a b c 20 8 6 6调节对象 行车系统 自身动态特性分析 描述的是驱动装置的特性 由于该装置是串联接入的一阶惯性环节 所以其对应的特征值将为负实数并可单独给予分析 描述的是小车之动力学特性 因为在系统结构图中x1与之间 也就是在sA与之间相当于存在两个相互串联的积分环节 且无反馈支路存在 这一对共轭虚数特征值描述的是吊钩的无阻尼 Kd 0 振荡 摆动 之动力学特性 因为在系统结构图中下方闭环负反馈子系统对应的传递函数为 21 对系统响应曲线的分析 此时尚未采用闭环反馈调节 1 在FA作用下 由于 将导致 也就是小车位置与速度两条曲线随时间的变化而不断增加 2 导致在不计空气阻力和绳索悬吊点铰链处摩擦力矩的情况下 Kd 0 吊钩摆角 的无阻尼震荡 3 角的这种无阻尼振荡又将通过a23 mBg mA对小车的运动 即加速度 产生反作用 且mB越大 这种反作用也越强 行车的工作实践也可以充分证明这一点 22 4 在t 0以及小车被加速后 由于吊钩出现一个平均值为 0 02rad 负号表示摆动方向与小车前行方向相反 周期为T 2 84s的无阻尼振荡 摆动 这种摆动 也就是 角的变化 又将通过a23的作用 使小车速度不断上升的速度减弱 这就是为什么曲线会出现小波动的原因 5 由于在与之间存在一个能起平波作用的积分环节 因此吊钩的这种无阻尼摆动虽然会对产生影响 但对却影响不大 这就是为什么sA曲线中几乎不出现小波动的原因 由上述分析知 行车系统 开环 本身是不稳定的 因此需采用全状态 负 反馈 并通过调节器参数的合理设计使闭环 调节 系统获得一个良好的动态运行特性 23 8 6 7行车系统可控性分析 能控性矩阵Wc bAbA2bA3bA4bA5b 其中 则det Wc b55a452 a232a452 a252a432 2a23a25a43a45 即 det Wc 24 由此可见 只要KA 0以及mA l和TA等参数为有限值 就能确保det Wc 0 即行车系统完全可控 显然对于一个实际的行车系统来说这个条件总是满足的 8 6 8利用极点配置法设计全状态反馈调节器 方案 在五个闭环极点中 考虑一对主导极点 并由其来基本确定闭环系统的动态运行特性 而剩下的三个闭环极点则可配置在这对主导极点左侧较远的地方 由此 这三个闭环极点的影响就可略去不计 采用一对主导极点后 五阶闭环系统就可以近似地用两阶系统进行分析 主导极点的具体数值可由其特征参数来确定 25 由二阶系统时域分析知 对于阶跃输入 为获得一条上升速度快 阻尼特性好且超调量小的输出响应曲线 可选择 至于wn则可如下确定 二阶系统之输出在单位阶跃输入下为 式中K为二阶系统放大倍数 为简化分析又不致产生很大误差 可利用y t 之包络线进行分析 即在式 29 中令 29 后可得 30 26 误差带取2 则有 式中ts即为调节时间 若取ts 25s 则可求得wn 0 243 1 s 故对应的二阶系统传递函数为 另外3个闭环极点 特征值 均取为 1 由此可求得 27 实际五阶系统的闭环期望特征多项式为 调节器参数的确定 利用Ackerman公式 可解得 28 前置装置参数的确定 M B 1 s C wq 1 R A p q uwp 1 up 1 uRp 1 p n调节器 xn 1 q n yq 1 调节对象 图8 6 4计及前置装置的系统方框图 单输入单输出系统 m 1 c br A 1b 31 见参考书1 29 在此示题中 若只重点分析sA 即x1的调节特性 则有y x1 sA 以及C c 10000 因此可利用式 31 确定前置装置m之参数 由式 31 可求得m 0 6V m m 调节对象 c r1 0 6 r2 5 29 r5 0 0234 r4 135 r3 1430 w y x1 uw u x1 sA m 0 6 x3 rad x5 FA kN uR 图8 6 5加入用具体参数表示的调节器与前置装置后的系统方框图 30 仿真结果分析 051015202530 0 2 4 6 8 10 sA m 051015202530 0 0 25 0 50 1 0 0 02 rad 0 01 051015202530 051015202530 0 1 0 0 5 t s 0 5 1 0 FA kN 0 25 0 75 0 0 01 0 02 w从2以阶跃形式变化到10 x1 0 2m x2 0 x3 0 x4 0 x5 0 0 图8 6 6闭环调节系统响应曲线 31 从仿真图可以看出 1 经过25s左右的时间 小车从起始位置2m变化至由给定值所决定的位置sA 10m 且变化过程不仅具有一个较好的阻尼特性 而且还可认为是无超调的 2 其它状态变量的变化也表明有一个较好的动态特性 3 由1 2 知 上述利用极点配置法设计所得到的结果是比较满意的 32 8 6 9实际系统全状态观测器设计 1 仅利用可测输出量y1 x1 sA时能观测性分析 此时因y1 cx x1c 10000 故 33 2 仅利用可测输出量y2 x3 时能观测性分析 此时因y2 cx x3c 00100 故 34 3 利用小车位置sA之测量设置全状态观测器 此时小车位置sA可视为系统中唯一可测的输出量 观测器极点设为 2 2 2 2 2 可求得观测器增益 L 926 10 124 2 45505 T 图8 6 7给出了行车控制电压uA以10伏的幅度阶跃变化 且系统尚未采用调节器构成闭环运行时 调节对象的四个状态变量与重构状态响应曲线的比较 二者初始条件分别假设为 由图可知 大约在3s左右 重构误差消失 此后全状态观测器就能精确地重构系统的状态变量 35 051015202530 0 20 40 60 80 100 sA m 051015202530 0 1 4 0 0 04 rad 0 02 051015202530 051015202530 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 FA kN 3 2 0 02 0 04 图8 6 7未加调节器时状态变量及其重构量变化曲线 36 8 6 10行车系统设计调节器以及全状态观测器后闭环调节特性分析 桥式吊车在采用全状态观测器和按极点配置法设计的调节器构成闭环系统运行后对应的总方框图如图8 6 8所示 在w以10m幅值阶跃变化 且 时 经仿真计算 可得整个闭环系统中状态变量及其重构量之响应曲线如图8 6 9所示 37 m 调节对象 r1 0 6 r2 5 29 r5 0 0234 r4 135 r3 1430 w x1 y1 sA uw 0 6 x3 y2