理论力学01小结ppt课件

1 运动的描述方法 参照系 描述物体运动时被选作参考的另一物体 运动与静止 相对于参照坐标系而言 运动质点的坐标是时间的函数 如质点坐标为常数 则为静止 运动学方程 矢量形式 分量形式 直角坐标 平面极坐标 质点力学小结 2 轨道 运动质点在空间一连串所占据的点形成的连续曲线 其方程可由上述运动学方程消去而得 速度与加速度 矢量形式 分量形式 平面 3 平动参照系 匀速直线运动参照系 加速直线运动参照系 质点运动微分方程 自由质点 矢量形式 4 分量形式 直角坐标 平面极坐标 非自由质点 取消约束 代以约束反作用力 就可以把非自由质点视为自由质点 再和约束方程联立求解 理想线约束 用下列内禀方程 并用约束方程求 5 非惯性参照系 牛顿运动定律成立的参照系叫做惯性参照系 牛顿运动定律不能成立的参照系叫做非惯性参照系 对于非惯性参照系 只要加上适当的惯性力 则牛顿运动定律就 仍然 可以成立 相对于惯性参照系作加速平动的参照系所要加的惯性力为 是质点的质量 牵连加速度 6 功与能 功是一个线积分 一般随路径而异其值 能 物体作功的本领 功是能量变化的量度 动能 是质点的质量 是质点运动的速度 势能 若 则力所作的功与路径无关 只与两端点的位置有关 这种力叫做保守力 在保守力场中 函数就是质点在点上相对于某一规定零点的势能 7 质点动力学的几个基本定理与基本守恒律 动量定理与动量守恒律 动量 动量定理 动量守恒律 动量矩定理与动量矩守恒 动量矩 对一点的动量矩 对一直线的动量矩 先求对线上任一点的动量矩 再将其投影到该线上即可 如 8 力矩 动量矩守恒律 或 9 动能定理与机械能守恒律 动能定理 机械能守恒律 对保守力成立 各守恒律都是运动微分方程的第一积分 至于诸常数则由初始条件决定 有心力 力心 作用力恒通过的某一定点叫力心 10 轨道微分方程 比耐公式 平方反比引力 行星的运动 轨道方程 圆锥曲线 且原点在力心上 其偏心率 以此与圆锥曲线的标准式相比较 可知 轨道为椭圆 轨道为抛物线 轨道为双曲线 11 开普勒定律 万有引力定律 可由牛顿定律和开普勒定律推出 宇宙速度 第一宇宙速度 绕地球转 第二宇宙速度 脱离地球最小速度 第三宇宙速度 脱离太阳系最小速度 12 圆形轨道稳定性的判据 轨道为双曲线的一支 力心在轨道凸的一边 与引力的情况不同 平方反比斥力 质点的散射 瞄准距离和偏转角之间的关系 卢瑟福公式 用散射截面代 13 1 1一根杆子穿过可绕定点转动的套管 杆的端以匀速沿固定直线滑动 求杆上点的轨道方程 速度及加速度 以角的函数表示 设 解 点坐标 即 消去即得轨道方程 补充例题 14 求速度 即 15 求速度 16 其中 为点的速度 为轨迹的曲率半径 证 得证 17 1 3一质点用一轻的弹性绳系于固定点 绳固有的长度为 当悬挂质点平衡后 绳的长度为 今令质点从处自静止状态开始下降 试讨论质点在间的运动规律 并求质点从落至最低点 开始返回 的位置及所需的时间 由功能关系 可得 解 点位置 为弹性绳的劲度系数 由胡克定律 得 所以 即在下方处 18 质点在间的运动规律 质点从到的过程为自由落体 故有 以为原点 为轴 则质点在间的运动微分方程为 即 令 则 其通解为 其中 及为积分常数 19 确定积分常数 设 故 即 由此可得质点在间的运动规律为 20 质点从到需要的时间 质点从到为自由落体 需要的时间为 质点从到为谐振动 且至返回 而 所以 即 故质点从到需要的总时间为 21 1 4一质点穿在一光滑抛物线轴线上方处 并从此处无初速地滑下 抛物线方程为 式中为一常数 问滑至何处曲线对质点的反作用力将改变符号 解 质点的运动微分方程为 由 式可得 即 在处 反作用力改变符号 由 得 22 在处 反作用力改变符号 由 可知 即 将 及代入 得 所以改变符号处的为方程 的根 23 1 5质量为的质点 在光滑的水平桌面上运动 在此质点上系着一根轻绳 绳子穿过桌面上一小孔 另一端挂一相同的质点 若质点在桌面上距离点为的的地方 沿垂直于的方向以速度射出 证明此质点在之后运动中离点的距离必在及之间 解 采用极坐标 质点和的运动微分方程分别为 点 点 24 由 及 可得 由已知条件知 即 利用 将 中的消去 得 25 令 得 即 舍 所以质点在之后的运动中离点的距离在及之间 26 1 3 1 6 1 7 1 81 9 1 11 1 15 1 181 22 1 29 1 36 1 371 39 1 40 1 41 1 46 质点力学习题 27 1 三个完全一样的匀质球放在光滑水平面上 彼此相切 用一根绳子在球心的高度缠绕三球 将它们捆扎起来 又将第四个相同的球放在三球之上 求绳中的张力 已知每个球的重量为 28 2 质点作平面运动 其加速度矢量始终通过某个定点 试证 是质点与的距离 证明 采用极坐标系 以点为极点 则 即 质点作平面运动时 其速度为 由此可得 得证 29 1 3曲柄 以匀角速绕定点转动 如图所示 此曲柄借连杆使滑块沿直线运动 求连杆上点的轨道方程及速度 设 解 1 由题分析可知 点坐标为 中 由正弦定理可得 30 又因 所以 即 化简整理可得 这就是点的轨道方程 31 2 求点的速度 32 1 6一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为及 式中及是常数 试证其沿位矢及垂直于位矢的加速度为 证 由题意可知 质点径向速度和横向速度分别为 质点径向加速度和横向加速度分别为 33 得证 34 解 由图可知 35 由图可知 36 1 8直线在一给定的椭圆平面内以匀角速绕其焦点转动 求此直线与椭圆的交点的速度 已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为 式中为椭圆的半长轴 为偏心率 都是常数 解 点的坐标为 37 38 1 9质点作平面运动 其速率保持为常数 试证其速度矢量与加速度矢量正交 证 质点作平面运动 设其速度表达式为 令为位矢与轴正向的夹角 则 即速度矢量与加速度矢量正交 39 1 11质点沿着半径为的圆周运动 其加速度矢量与速度矢量间的夹角保持不变 求质点的速度随时间变化的规律 已知初速度为 解 由题可知加速度和速度之间的关系为 40 1 15当一轮船在雨中航行时 它的雨篷遮着篷的垂直投影后2米的甲板 篷高4米 但当船停航时 甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3米 如果雨点速度为8米 秒 求船的速率 解 根据题意画出示意图 故 因 所以 41 由图可知 42 1 18一质点自倾角为的斜面上方的点 沿一光滑斜槽下降 欲使此质点到达斜面上的时间最短 问斜槽与竖直线所成的夹角应为何值 解 根据题意画出示意图 对质点进行受力分析 可知 设 由正弦定理可得 43 又因质点沿光滑面下滑 所以质点作匀加速直线运动 即 欲使取极小值 只需取极大值即可 令 44 即 此时 取极大值 故取极小值 即时质点到达时间最短 45 1 22如向互相垂直的匀强电磁场 中发射一电子 并设电子初速度与及垂直 试求电子的运动规律 已知此电子所受的力为 式中为电场强度 为磁感应强度 为电子所带的电荷 为任一瞬时电子运动的速度 解 设题中各量的方向如图 则电子所受的力为 电子的运动方程为 46 由 知 代入 并整理可得 即 47 齐次方程的通解为 非齐次方程 的特解为 故非齐次方程 的通解为 48 代入初始条件 得 代入 可得 49 代入初始条件 可得 所以 50 1 29一质量为的质点自光滑圆滚线的尖端无初速度地下滑 试证明在任何一点的压力为 式中为水平线和质点运动方向之间的夹角 已知圆滚线方程为 解 由曲线运动质点的受力分析可知 求曲线上任一点的曲率半径 51 由 式得 即 所以 由 得 得证 52 1 36检验下列的力是否是保守力 如果是 求出其势能 a 解 保守力应满足条件 a 此力是保守力 53 其势能为 b 同 a 可以证明 其势能为 为势能零点 为势能零点 54 1 37根据汤川核力理论 中子与质子之间的引力具有如下形式的势能 试求 a 中子与质子间的引力表达式 并与平方反比定律相比较 b 求质量为的粒子作半径为的圆周运动的动量矩及能量 解 中子与质子之间的引力为 55 动量矩 b 质量为的粒子作半径为的圆周运动 选极坐标系 故 粒子速度 提供粒子作圆周运动的向心力 故 两边同乘以 得 56 动能 势能 所以 粒子作半径为的圆周运动时 总能量为 57 1 39一质点受一与距离次方成反比的引力作用在一直线上运动 试证此质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达时的速率相同 证 设此力为 当质点从无穷远处到达时 对 式两边积分得 由牛顿第二定律可得 即 58 当质点从处静止出发到达时 对 式两边积分得 所以此质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达时的速率相同 59 1 40一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动 质点的质量为 比例系数为 如此质点从距离原点为的地方由静止开始运动 求其到达点所需要的时间 解 设此力为 对上式积分可得质点在任一位置的速率 由牛顿第二定律可得 即 60 令 变量代换可得 61 证 得证 62 1 46质