初中数学开放题教学

透过中考命题看初中数学开放题的课堂教学 大庆市祥阁学校张琳琳 第一章问题的提出 我国数学教育现状 我国数学教育存在的问题 我国的数学教学与国际上其他国家相比 重视基本知识的教学和基本技能的训练 学生的数学基本功扎实 学习刻苦勤奋 整体数学水平高 但学生在应用数学的意识上和创造能力的发展上却严重滞后 对所学知识的数学背景了解也不多 多年来我们所注重培养的还只是 复制型 的人才 而只有创新才是一个民族发展的灵魂 第二章数学开放题的界定 分类 及研究意义 一 数学开放题的界定 条件多余需选择 条件不足需补充 结论不唯一的习题 称为数学开放题 二 数学开放题的特征 从数学开放题的结构和形式上 它具有以下的特征 1 非完备性2 不确定性3 层次性4 发散性5 探究性6 发展性7 创新性 三 数学开放题的分类 1 按命题的要素来分类 1 条件开放型 例1 如果两个三角形有两条边分别对应相等 请你补充一个条件 使这两个三角形全等 2 结论开放型 例2 百鸡问题 已知每只公鸡值五元钱 每只母鸡值三元钱 每只小鸡值一元钱 现在用一百元钱买一百只小鸡 问 这一百只鸡中 公鸡 母鸡 小鸡各有多少只 3 策略开放型 例3 用尽可能多的方法 四等分圆的面积 4 综合开放型 例4 怎样测量一个建筑物的高度 针对以上情况有几种不同的结论 2 从答案的结构上可分为四类 有限穷举型 如例2 百鸡问题 它的答案共有四组解 4 18 78 8 11 33 12 4 84 0 25 75 2 有限混沌型 给出四个数 用加 减 乘 除算24的游戏 有些问题的解答甚至要借助于电脑 3 无限离散型 这类问题的答案是无穷的 我们常用两种方式来处理这类问题 一种是将答案作适当的分类 给出每类答案的典型解法 还有一种是提供一种构造答案的方法 例5 规定等腰三角形与等边三角形接近的程度为等腰三角形的正度 请你给出一个合理 合情的计算等腰三角形正度的公式 等边三角形的特征是三个角相等 都是60 边相等但边长未知 那么正度就只能用等腰三角形的底与腰的关系或者顶角与底角的关系来表示 设等腰三角形的底长为a 腰长为b 顶角度数为 底角度数为 下面就是一个计算正度的公式 a b 它的值越小 等腰三角形就越接近等边三角形 当取值为0时 就是等边三角形 例6 某校初一年级有两个班 期末数学成绩优秀者共有42人 全年级的优秀率为40 其中一班的优秀率为36 二班的优秀率为42 求一 二班的人数 请参照此题不改变列二元一次方程组的形式和解法 再编一道类似的应用题 4 无限连续型 这类问题的答案分布在一些实数区间内 或者是一些可以连续变化的几何图形 描述这种变化的数学手法通常是引进参数表示 例7 两个全等的三角板 可以拼出各种不同的图形 下面各图已画出其中一个三角形 请你分别补画出另一个与其全等的三角形 使每个图形分别成不同的轴对称图形 所画的三角形可与原三角形有重叠部分 四 数学开放题教学的教育学和心理学理论基础 一 数学开放题教学的教育学理论基础数学教育有三个领域 课程论 教学论和学习论 1 数学开放题教学的课程论理论基础 学科中心课程论 儿童中心课程论和学问中心课程论2 数学开放题教学的课程论理论基础教学的七条基本原则 1 阶段渐进原则 2 启发引导原则 3 过程教学原则 4 归纳演绎原则 5 面向全体原则 6 启动学习原则 7 动机激发原则 数学开放题的教学开放式教学模式由师生关系结构 教学内容结构 教学过程结构构成了教学模式的三个 子结构 数学开放题的教学主要分为下面几步 教师提出问题 学生动脑动手解答问题 讨论研究 师生合作交流 师生提出来变式问题 深化研究 教师总结 或提出更一般化的问题 3 数学开放题教学的学习论基础 国外的学习理论流派主要有 行为派 认知派 社会文化历史学派 人本主义学派和建构主义学习理论 二 数学开放题教学的心理学理论基础 1 教育与学生心理的发展的密切关系 2 数学学习的内部与外部动力因素 五 数学开放题教学的研究意义 1 有利于培养学生的发散思维 创造能力和创新意识 养成良好的思维品质 提高数学能力和问题解决的能力 例1 尽量用多种方法在纸上画出一个直角 解 按照一定的分类方法 1 叠纸法 2 工具画图 如三角板 量角器 3 尺规作图 画一条线段的垂线 4 利用三角形的性质 如等腰三角形三线合一 5 利用四边形的性质 如菱形的两对角线互相垂直 6 利用圆的性质 如直径所对的角为直角 相交两圆公共弦垂直平分两圆连心线等 2 加深学生对数学实质的理解 有利于培养学生数学思想方法 数学应用意识 加强数学交流 例2 已知 PAD中 APD 120度 B C为AD上的点 PBC为等边三角形 试尽可能多地找出图形中各几何量之间的关系 结论 线段相等 角相等 角的互补关系 角的和差倍关系 三角形相似 线段乘积关系 三角形面积 例3 北京市出租车现行收费标准为 3公里以下 含3公里 收起步费10元 3公里以上至10公里 含10公里 部分每公里收费2元 10公里以上部分每公里收费3元 1 如果把张强所乘的公里数为设为x公里 那么他所需付出的出租车费用是多少 2 如果张强从家到公司有18公里 而他有两种乘车方案 方案一 从家乘一辆出租车到公司 方案二 先从家上一辆出租车 行驶到10公里处下车 再换乘另一辆出租车到达公司 分两次付费 请问 张强选择哪一种乘车方案更省钱 3 张强 陈红 杨梅三个人合乘一辆出租车 并并商定车费要合理分担 如果张强在全程三分之一处下车 陈红在全程三分之二处下车 杨梅一人坐到终点 全程共计车费48元 你认为他们如何分摊车费比较合理呢 例4 从北京和上海同时向大庆运计算机 不同的运法就会有不同的运输成本 请尽量按自己的想法去计算 从许多计算结果中找出最低的运输成本和分配方案 3 鼓励学生参与 充分发挥学生主体意识 学生体验自我决定感 有能感和成功感 增强了自信心和对数学的浓厚兴趣 例5 一个圆形花坛种分割成面积相等的四部分 种上四种不同的花 请你试可能多的给出分割方案 4 培养学生合作意识 探索精神 训练和养成良好的心理素质 例6 用尽可能多的方法对勾股定理进行证明 5 数学开放题引起学生学习方式和教师教学方式的改变 例7 从小明家到学校有两条路 其中一条比另一条长63米 已知其中一条道路长129米 现在小明和小红同时从家出发 经过3小时后同时到达学校 那么你能求出几种数量关系 例8 由于大庆市正在搞城市建设 某工地需要一些形状相同 大小相等的三角形 焊接起来做支架 现在请你下料 你会怎么办 6 数学开放题的评价功能例如 两圆外切于点T 为PT为其内公切线 AB为其外公切线 且T A B为切点 PT与AB相交于点P 根据图中所给出的条件及线段 请写出一个正确结论 并加以证明 第三章 国内外数学开放题发展现状 一 数学开放题在日本的发展数学开放题起源于日本在1971年日本文部省岛田茂小组首次提出数学开放题 的概念 他们设计了许多著名的经典题型如 水槽问题 九九乘法表问题 花圃设计问题 等 日本的数学开放题研究经历了从 未完结问题 到 课题学习 的发展过程 日本队的新大纲设置了 课题学习 的教学形式 课题学习中教师列举日常生活中熟悉的事例 形成如 田径场上的数学 交通安全中的数学 高层建筑中的数学 等问题 在课堂上和学生在讨论中学习 一是作为综合的 课题学习 例1 探索线段的黄金分割的比 方法一 在一条线段上用尺规作出黄金分割的作图法 方法二 从特定的等腰三角形中得到黄金分割的比 方法三 从特定的长方形的两边之间的比得出黄金分割 方法四 从正五边形中得到黄金分割比 二是作为问题解决的 课题学习 例2 求2人同生日的概率是多少 20人 30人 40人同生日的概率的结果又会怎么样呢 用计算器计算各种情况下的结果 并调查其他班级的实际情况 检验计算结果 在日本1993年出版的6套初中数学教材中 设置了225个课题 包括数与式的课题29个 图形的课题107个 函数和概率的课题44个 数学史和计算机的课题25个 1998年第一届东亚国际数学教育大会认为 数学开放教学方法 是迄今为止亚洲人提出的唯一让世界普遍接受并关注的一个口号 观点 和思想 2 数学开放题在美国的发展美国在经历了 新数运动 的失败后 总结经验教训 70年代提出了 回到基础 80年代提出了 问题解决 1989年 美国国家研究委员会 NRC 发表了 休戚与共 关于数学教育失败向全国所作的报告 文件提出了数学课程必须作出重大的改革 目前 美国近六分之一的中小学都采用的数学教材 芝加哥大学学校数学设计 中已经编排了一部分数学开放题 在美国6年级的数学课上 学生会在老师的带领下 观看奥运会上100米短跑录像 然后由学生得出决定一个运动员成绩的主要因素的各种结论 美国的中小学数学竞赛中也常常出现数学开放题 3 数学开放题在英国的发展英国是近现代数学教育的发源地 1988年 英国成立了国家课程委员会 对中小学校主要科目提出了改革方案 在英国国家课程中 数学是三大核心课程之一 在英国的课堂教学中 大量选用数学开放题 例1 中学的数学课上 学生们会离开教室 走上街头 通过观察得出结论 这个学校所在地区的自行车牌号的编制规则是什么 英国的高中毕业考试有这样一个数学测试内容 给学生指定一个路段 观察两边的建筑和周围环境 自己发现一个可用数学解决的问题 并把它转化成为数学模式加以解决 可见问题的条件 结论 以至于解题的策略是全面开放的 二 数学开放题在我国的发展 1997年2月 开放题 数学教学的新模式 被立为国家教育科学 九五 规划重点课题 2000年出台的 新课程标准 提出编写数学开放题进入教材的建议 2000年教育部发布的 2000年初中毕业升学考试改革指导意见 中明确指出 数学考试应该设计一定数量的开放性问题 现在 全国各地中 高考的选拔考试和竞赛中已经出现了一些格调清新的开放性试题 并且比重越来越大 三 新课程标准 下数学开放题教学1 数学开放题的教学案例 要求学生统计自己家庭一周内丢弃的塑料袋个数 并依据所收集的数据展开讨论 它的程序是 1 把这个问题作为家庭作业 2 学生自主进行统计活动 3 在课堂上让几位同学发表统计结果 可以列出统计表 也可以采取其它的形式 4 利用小组讨论和班级讨论的方式进行统计分析 老师引导学生根据数据对全班一周丢弃塑料袋情况用不同的算法进行描述和评价 5 结合问题情景深入领会有关概念 例如 平均数 中位数 众数等概念的含义 通过问题的层层深入让学生进一步感受不同统计量的差异 用不同统计量来表示同一问题的必要性 6 问题自然延伸 计算这些塑料袋对土地造成的污染 先估算一个袋的污染 然后通过多种方式计算推及到一周 一年 全班同学的家庭 全校同学的家庭 照这样的速度要多久就会污染整个学校呢 三 新课程标准下的初中数学教学 2 教材在例题的编排上以数学开放题的形式呈现问题七年级下册 数与代数 部分 6 3实践与探索一节 共有4道例题 全部是以数学开放题的形式呈现的试解下列问题 与你的同伴讨论与交流 问题3 用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形 长方形的宽是长的 求这个长方形的长和宽 长方形的宽比长少4厘米 求这个长方形的面积 比较1 2 所得两个长方形面积的大小 你能围出面积更大的长方形吗 讨论 每小题中如何设求知数 在第2小题中 能不能直接设面积为x平方厘米 如不能 怎么办 探索 求题2中的宽比长少4厘米改为3厘米 2厘米 1厘米 0厘米 即长宽相等 长方形的面积有什么变化 读一读 本节问题中 通过探索我们发现 长方形在周长一定的情况下 它的长和宽越接近 面积就越大 当长和宽相等 既成为正方形时 面积最大 通过以后的学习 我们就会知道其中的道理 有趣的是 若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形 包括随意七凹八凸的不规则图形 面积最大的是圆 这里的道理需要很深的学问 将来你有兴趣认识它吗 问题4 小明爸爸前年存了年利率为2 43 的二年期定期储蓄 今年到期后 扣除利息税 所得利息正好为小明买了一只价值48 6元的计算器 问小明爸爸前年存了多少元 讨论 扣除利息的20 那么实际得到利息的多少 你能否列出较简单的方程 问题5 小张和父亲预定搭乘家门口的公共汽车走赶往火车站 去家乡看爷爷 在行驶了三分之一路程之后 估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站 随即下车改乘出租车 车速提高了一倍 结果赶在火车开车前15分钟到达火车站 已知公共汽车的平均速度是40千米 时 问小张家到火车站有多远 吴小红同学给出了如下解法 张勇同学又提出另外一种解法 讨论 试比较以上两种解法 它们各是如何设未知数的 哪一种比较方便 是不是还有其他设未知数的方法 试试看 问题6 课外活动时 李老师来教室布置作业 有一道题只写了 学校校办厂需制作一块广告牌 请来两名工人 已知师傅单独完成需4天 徒弟单独完成需6天 就加校长叫他听一个电话而离开教室 调皮的小刘说 让我试一试 上去添了 两人合作需几天完成 有同学反对 这太简单了 但也引起了大学的兴趣 于是各自试了起来 有添上一人先做几天再让另一人做的 有两人先合作再一人离开的 有考虑两人合作完成后的报酬问题的 李老师加到教室后选了两位同学的问题 合起来在黑板上写出 现由徒弟先做1天 再两人合作 完成后共付给报酬450无 若按各人完成的工作量会给报酬 该如何分配 试解答这一问题 并与同学们一起交流各自的做法 又如七年级上册 统计与概率 部分 5 2数据的表示一节 以问题的形式编排 其策略 和结论全部是开放的 问题1 解放以来 我国的国内生产总值 GDP 一直呈递增趋势 1952年只有679亿元 1962年上升到1149 3亿元 1970年上升到2252 7亿元 1980年上升到45117 8亿元 1990年上升到18547 9亿元 2000年上升到89404亿元 摘自 经济日报 2001年3月4日第7版 设计一张统计表 简明地表示这一段文字信息 再设计一张折线统计图 直观地表明这种递增趋势 从上述两张图表中 你能得出哪些结论 说说你的理由 可设计如表5 2 1和图5 2 1所示的统计图表 问题2 在2000年第27届悉尼奥林匹克运动会上 中国体育代表团取得了很好的成绩 中国体育健儿在该届奥运会上共夺得多少枚奖牌 其获得的金牌数中占多大的比例 从所获奖牌总数情况看 和最近几届奥运会相比 中国体育健儿在本届奥运会上的成绩如何 3 数学开放题在新教材的习题中 所占的数量不断增多 七年级下册6 3实践与探索一节 的习题为例 全节共有19道习题 其中数学开放题占了4道 四个开放题是这样编排的 1 为庆祝九运会开幕 初一班学生接受了制作小旗的任务 开始时只有一半同学参加制作 每天制作40面 完成了三分之一后 全班同学一起参加 结果提前一天半完成任务 假设每人制作效率相同 问共制作小旗多少面 将上题与问题5比较 你发现了什么 2 编一道联系实际的应用题 使所列的方程是 并与同学交流 比较一下 3 试将下题内容改为与我们日常生活 学习有关的问题 使所列的方程相或相似 食堂存煤若干吨 原来每天烧煤3吨 用去15吨后 改进设备 耗煤量改为原来的一半 结果多烧了10天 求原存煤量 4 试对以下情景提出问题 并讨论解答 某班组织去风景区春游 大部分同学先坐公共汽车前往 平均速度为24千米 时 4名负责后勤的同学晚半小时坐校车出发 速度为60千米 时 同时到达山脚下 到达后发现乘坐缆车上山费用较大 且不能浏览沿途风景 于是商定 大部队步行上山 4名后勤改为先遣队 乘缆车上山 做好在山顶举行活动的准备 缆车速度是步行的3倍 步行同学中途在一个景点逗留了10分钟 到达山顶时比先遣队晚了半小时 北师大版课程标准实验教科书数学八年级下册第四章第七节 测量旗杆的高度 开放题教学实例 大庆市祥阁学校张琳琳 情境引入 古埃及金字塔到底有多高 新知探究 塔高AB 塔的影子BC 标杆CD 标杆的影子CE A B E C DCE AC DE ACB DEC DC EB AB EB ABC DCE 90 A B 新知探究 实验活动 怎样测量旗杆的高度 方法 利用阳光下的影子 D E A B C D E 方法 利用阳光下的影子 方法 利用标杆 A B C E F D 方法 利用标杆 HF DGF 人 标杆 旗杆 A B C E F D 方法 利用标杆 人 标杆 旗杆 方法 利用小镜子 方法 利用小镜子 A B C D E BE CDE 1 2 ABE CDE 实验活动 你还有其他的测量方法吗 如图 某同学想测量旗杆的高度 他在某时刻测得1米长的标杆竖直放置时影子长为1 5米 他在同一时刻测量旗杆的影子长时 因旗杆靠近一栋楼房 影子不全落在地面上 一部分落在墙上 他测得落在地上的影子BC长为9m 留在墙上的影子CD高为2m 你能帮他求出旗杆AB的高度吗 A B C D 变式练习 F G H 2 9 1 1 5 2 9 如图 某同学想测量旗杆的高度 他在某时刻测得1米长的标杆竖直放置时影子长为1 5米 他在同一时刻测量旗杆的影子长时 因旗杆靠近一栋楼房 影子不全落在地面上 一部分落在墙上 他测得落在地上的影子长为9m 留在墙上的影子高为2m 你能帮他求出旗杆的高度吗 A B C D 变式练习 F G H 2 9 1 1 5 思维延伸 小明在某一时刻测得1m的杆子在阳光下的影子长为2m 他想测量电线杆AB的高度 但其影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上 量得CD 2m BC 10m CD与地面成45 求电线杆的高度 A B D C E F 这节课你有什么收获 1 知识收获 2 方法收获 小结提升 作业 以小组为单位测量操场上的旗杆的高度 可以用多种方法 并填写活动报告 祥阁学校张琳琳 一元一次不等式 组 在生活中的应用 想和我们一起去旅游吗 假如我们班要去旅游 以小组为单位分别组成4个旅游团利用我们学过的知识分析一下 你们组会选择那个旅游团 为什么 寿山一日游180元 人 A每位游客六五折优惠 解 设我们组人数为x人 选择A团所需费用为yA元 选择B团所需费用为yB元 则 第一组 第二组 第三组 第四组 人数 人数 人数 人数 所以当有14人时两种方式收费一样 故选 故选 故选 故选 A全体六五折 B一人免费 其余七折 由180 65 x 180 70 x 1 得x 14 48x x 1 辆 X 2 辆 64 X 2 人 例 1 祥阁学校组织部分老师和三好学生去寿山旅游两天 若租用48座客车若干辆 刚好坐满 若租用64座客车 则能少租一辆 且有一辆没有坐满 但超过一半 已知租用48座客车每辆250元 租用64座客车每辆300元 问应租用哪种客车较合算 32 第 X 2 辆座的人数 64 32 48X 64 X 2 64 48X 64 X 2 例 1 1 设租用48座的客车X辆 根据题意得 X取正整数 X 5 2 当X 5时 5 250 1250元 4 300 1200元 租用4辆64辆客车合算 32 48X 64 X 2 64 原不等式组的解集为4 X 6 所以当房间有 间时 人数为 人 所以当房间有 间时 人数为 人 解 设有四人间有x间 则x应满足的不等式组 解不等式组得 所以当房间有 间时 人数为 人 0 4X 19 6 X 2 0 59 11 63 12 67 10 x为整数 x 10 11 12 老师们想在农家小园住上一晚 农家小园有4人间和6人间两种房间 且数目相同 若全部住4人间 19人没地方住 若全部住6人间 有一间不满也不空 你来算一算 四人间有几间 来旅游的教师又有多少人 课堂小结 1 在进行某些数的运算时运用平方差公式会简化运算 2 运用平方差公式进行式的运算时 要注意运算的顺序 3 本节课运用了哪些方法 类比法 由特殊到一般 寿山旅游局地产开发公司计划开发A B两种类型的渡假别墅共80套 该公司所筹资金不少于2090万元 但不超过2096万元 两种户型号的建房成本和售价如下表 1 该公司对这两种户型有哪几种建房方案 2 该公司如何建房获得利润最大 研究与探讨 1 设A种户型的别墅建X套 则B种户型的别墅建 80 X 套 2090 X 28 80 X 209648 X 50 X取非负整数 X为48 49 50 有三种建房方案 A型48套 B型32套 A型49套 B型31套 A型50套 B型30套 2 设该公司建房获得利润W 万元 W 5X 6 80 X 480 X 当X 48时 W最大 432 万元 即A型48套 B型32套时获得利润最大 作业 1 动手编一道你身边有关一元一次不等式 组 的应用题 并用你学过的知识解决 2 有学生44人 住若干间宿舍 如果每间住8人 则有一间宿舍不满也不空 问有多少间宿舍 如图 平行四边形ABCD E为CD边延长线上的一点 连结BE交AD于F 找出图中的基本图形 找出图中的基本图形 B 二 练习 1 如图 平行四边形ABCD E为CD边延长线上的一点 连结BE交AD于F 试猜想比例式是否成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 中间比 B 等量BC B 在证明比例式成立时 通常的方法是 方法小结 找基本图形 找中间比 找等量 D E 1 在下列各图中 添加适当的平行线 使结论成立 三 变式训练 辅助线的添加 2 在下列各图中 添加适当的平行线 使结论成立 G A 2 在下列各图中 添加适当的平行线 使结论成立 G 3 在下列各图中 添加适当的平行线 使结论成立 G A 3 在下列各图中 添加适当的平行线 使结论成立 G 总结 1 引平行线时 经常过已知线段的端点引2 尽量使更多的已知线段成比例3 尽量不分割已知线段 已知 如图 AD为 ABC的中线 F为AB上一点 且AF AB 2 3 CF交AD于E 求EF EC的值 四 学以致用 拓展思维 第五章透过中考命题看数学开放题课堂教学开放探究题是近几年中考试题中的常见题型 以填空选择和解答类的客观试题呈现 如08年哈尔滨的28 3 题 大庆20 28题 09年牡丹江的26题 12年大庆的26题等 条件开放 题型一条件开放与探究 同类的题还有1 09日照 如图 在四边形ABCD中 已知AB与CD不平行 ABD ACD 请你添加一个条件 使得加上这个条件后能够推出AD BC且AB CD 2 07大庆 如图 请你添加一个条件 使OC OD 只添加一个即可 3 09龙岩 如图2 点B E F C在同一直线上 已知 A D B C 要使三角形ABF与DCE全等 需要补充的一个条件是 写出一个即可 4 09怀化 如图3 已知AB AD BAE DAC 要使三角形ABC与ADE全等 可补充的条件是 写出一个即可 5 04黑龙江 一组数据5 7 7 x的中位数与平均数相等 则x的值为 例1 08黑龙江 已知 正方形ABCD中 绕点A顺时针旋转 它的两边分别交CB DC 或它们的延长线 于点M N 当绕点A旋转到BM DN时 如图1 易证BM DN MN 当绕点A旋转到如图2时 线段BM DN与MN之间有怎样的数量关系 写出猜想 并加以证明 当绕点A旋转到如图3的位置时 线段BM DN与MN之间又有怎样的数量关系 请直接写出你的猜想 1 猜想型 题型二 结论开放与探索 例2 09杭州 如图 在等腰梯形ABCD中 C 60 AD BC 且AD DC E F分别在AD DC的延长线上 且DE CF AF BE交于点P 求证 AF BE 请你猜测 BPF的度数 并证明你的结论 3 09娄底 如图5 AB AC D是BC的中点 连接AD 在AD的延长线上取一点E 连接BE CE 猜测 当AE与AD满足什么数量关系时 四边形ABEC是菱形 并说明理由 4 09江西 如图7 已知线段AB 2a a 是AB的中点 直线L1垂直于点A 直线L2垂直于点M 点P是L1左侧一点 P到L1的距离为b a b 2a 作出点P关于L1的对称点P1 并在PP1上取一点P2 使点P2 P1关于L2对称 P1P2与AB有何位置关系和数量关系 请说明理由 例3 09河南 如图所示 BAC ABD AC BD 点O是AD BC的交点 点E是AB的中点 试判断OE和AB的位置关系 并给出证明 2 09丽水 已知命题 如图8点A D B E在同一条直线上 AD BE A FDE 则 判断这个命题是真命题还是假命题 如果是真命题 请给出证明 如果是假命题 请添加一个适当条件使它成为真命题 并加以证明 2 判断型 3 09河南 如图9 在Rt三角形ABC中 ACB 90 B 60 BC 2 点O是AC的中点 过点O的直线L与AC重合的位置开始 绕点O作逆时针旋转 交AB边于点D 过点C作CE AB交直线于点E 设直线L的旋转角x 当x 度时 四边形EDBC是等腰梯形 此时AD的长为 当x 度时 四边形EDBC是直角梯形 此时AD的长为 3 当x 90时 判断四边形EDBC是否为菱形 并说明理由 3 存在型 这类问题的特征是在提设条件下判断数学对象的存在性 解法步骤是先假设数学对象成立 以此为前提 进行运算或推理 若推出矛盾可否定假设 否则给出肯定的证明 例4 大庆2012 26题 已知等边三角形ABC的边长为3个单位 若点P由A出发 以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A B C A方向运动 第一次回到点A处停止运动 设AP S 用t表示运动时间 1 当点P由B到C运动的过程中 用t表示S2 当t取何值时 S等于 求出所有的t值 根据 2 中t的取值 直接写出在哪些时段AP 09荆门 一开口向上的抛物线与X轴交于A m 2 0 B m 2 0 两点 记抛物线顶点为C 且AC垂直于BC 若m为常数 求抛物线的解析式 若m为小于0的常数 那么 1 中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点 设抛物线交y轴正半轴于D点 问是否存在实数m 使得为等腰三角形 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 例5 大庆 如图 四边形AEFG和ABCD都是正方形 他们的边长分别为 2a 且点F在AD上 以下问题的结果均可用a b的代数式表示 1 求 2 把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45得图 求图 中3 把正方形AEFG绕点A旋转一周 在旋转的过程中 是否存在最大值 最小值 如果存在 直接写出最大值 最小值 如果不存在 请说明理由 题型三策略开放与探究 例6 07黑龙江 四边形 中 绕 点旋转 它的两边分别交 或它们的 延长线 于 当 绕 点旋转到 时 如图1 易证 当 绕 点旋转 时 在图2和图3这两种情况下 上述 到 结论是否成立 图1 图2 图3 A B C D F E M N M A B C D E F N A B C D E F N M 解题策略开放 例7 09淄博 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 1 过点 3 1 2 在第一象限内y随x的增大而减小 3 当自变量的值为2时 函数值小于2 例8 09威海 如图 在四边形ABCD中 E是BC边的中点 连接DE并延长 交AB的延长线于F点 AB BF 添加一个条件 使四边形ABCD是平行四边形 你认为下面四个条件中可选择的是A AD BCB CD BFC A CD F CDE 例9 09大庆 先化简 再从不等式组 的整数解中选择一个恰当的数带入求值 例10 09十堰 如图 四边形ABCD是正方形 点G是BC上任意一点 DEAG于点E BFAG于点F 1 求证 DE BF EF 2 当点G为BC边中点时 试探究线段EF与GF之间的数量关系 并说明理由 3 若点G为CB延长线上一点 其余条件不变 请你在图 中画出图形 写出此时DE BF EF之间的数量关系 不需要证明 例11 09本溪 在中 AB AC 点D是直线BC上一点 不与B C重合 以AD为一边在AD的右侧作 使AD AE 连接CE 1 如图 当点D在线段BC上 如果 则 2 设 3 如图 当点D在线段BC上移动 则之间有怎样的数量关系 请说明理由 当点D在直线BC上移动 则之间有怎样的数量关系 请直接写出你的结论 12 09咸宁 如图12 将矩形ABCD沿对角线AC剪开 再把ACD沿CA方向平移到 1 证明 2 若 试问当点C在线段AC上的什么位置时 四边形ABCD是菱形 并说明理由 13 09哈尔滨 已知 的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F 如图1若为锐角三角形且 过点F作FG BC 交直线AB与点G 求证 FG DC AD 如图2 若 过点F作FG BC 交直线AB与点G 则FG DC AD之间满足的数量关系是 在 2 的条件下 若AG 5 DC 3 将一个45角的顶点与点B重合并绕点B旋转 这个角的两边分别相交于线段FG于M N两点 如图3 连接CF 线段CF分别与线段BM 线段BN相交于P Q两点 若NG 求线段PQ的长 二 结合中考挖掘教材价值 变式一 2006年大连市第23题 如图13 1 图13 2分别是两个相同正方形 正六边形 其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处 求图13 1中 重叠部分面积与阴影部分面积之比 求图13 2中 重叠部分面积与阴影部分面积之比 直接出答案 根据前面探索和图13 3 你能否将本题推广到一般的正n边形情况 n为大于2