高等数学微分中值定理教学ppt课件

第三章导数的应用 第一节微分中值定理 第二节函数的性质 第三节洛必达法则 第一节微分中值定理 本节主要内容 一 罗尔中值定理 定义3 1 1导数等于零的点称为函数的驻点 或稳定点 临界点 引理的直观意义 可导函数极值点处的切线平行于x轴 定理3 1 1 罗尔中值定理 设函数y f x 在区间 a b 上有定义 如果 1 函数f x 在闭区间 a b 上连续 2 函数f x 在开区间 a b 内可导 3 函数f x 在区间两端点处的函数值相等 即f a f b 则在 a b 内至少存在一个点a b 使得f 0 例如 定理的证明 罗尔定理的几何意义 如果连续函数除两个端点外处处有不垂直于x轴的切线 并且两端点处纵坐标相等 那么在曲线上至少存在一点 在该点处的切线平行于x轴 如下图 1 罗尔定理中的 是 a b 内的某一点 定理仅从理论上指出了它的存在性 而没有给出它的具体取值 2 罗尔定理的条件是充分非必要条件 只要三个条件均满足 就充分保证结论成立 但如果三个条件不全满足 则定理的结论可能成立也可能不成立 看如下例子 两点说明 例 例 例1验证罗尔中值定理对函数f x x3 4x2 7x 10在区间 1 2 上的正确性 并求出 解得 令f x 3x2 8x 7 0 1 f x x3 4x2 7x 10在区间 1 2 上连续 2 f x 3x2 8x 7在 1 2 内存在 3 f 1 f 2 0 所以f x 满足定理的三个条件 解 例2证明方程x5 5x 1 0有且仅有一个小于1的正实根 存在性 令f x x5 5x 1 则f x 在 0 1 上连续 f 0 1 f 1 3 由介值定理 至少存在一点x0 0 1 使f x0 0 x0即为方程的小于1的正实根 唯一性 设另有x1 0 1 x1 x0 使f x1 0 因为f x 在x1 x0之间满足罗尔定理的条件 所以至少存在一点 在x1 x0之间 使得f 0 但f x 5x4 5 0 x 0 1 矛盾 所以为唯一实根 证明 例3不求函数f x x 1 x 2 x 3 的导数 说明方程f x 0有几个实根 函数f x 在R上可导 所以在区间 1 2 2 3 上满足罗尔定理的条件 所以在区间 1 2 2 3 内分别至少有一实根 又f x 0是二次方程 至多有二个实根 所以方程f x 0有且仅有两个实根 它们分别落在区间 1 2 2 3 内 解 定理3 1 2 拉格朗日中值定理 设函数y f x 满足 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 那么在 a b 内至少存在一点 a b 使得f b f a f b a 或 二 拉格朗日中值定理 注意到 Rolle定理是Lagrange定理的特殊情况 证明思想 构造辅助函数法 由于证明这个定理 目前只有Rolle定理可用 因此想若能构造一个辅助函数 x 使其满足Rolle定理的条件 同时想办法接近要证明的结论 则函数j x 在区间 a b 上满足罗尔定理的条件 1 2 又 作辅助函数 所以 由罗尔中值定理 在 a b 内至少存在一点 使 即f a f b f b a 定理的证明 拉格朗日中值公式又称有限增量公式 1 拉格朗日中值定理的两个条件是使结论成立的充分不必要条件 2 当f a f b 时 拉格朗日中值定理即为罗尔中值定理 3 设f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 x0 x0 x a b 则有 几点说明 拉格朗日定理的几何意义 当曲线方程满足拉格朗日定理的要求时 在区间内至少存在一点 使得该点的切线平行于曲线两端点 a f a 与 b f b 的连线 其斜率为 推论1设y f x 在 a b 上连续 若在 a b 内的导数恒为零 则在 a b 上f x 为常数 推论2如果函数y f x 与y g x 在区间 a b 内的导数处处相等 即f x g x 则这两个函数在 a b 内只相差一个常数 即f x g x C 设f x arcsinx arccosx 由推论1知f x C 所以 例4证明 又因为 即 证明 则f x 在 0 1 上连续 又 设f x ln 1 x 则f x 在 0 x 上满足拉格朗日中值定理的条件 即 由于 因为0 x 所以 例5证明 当x 0时 所以上式变为 即 证明 定理3 1 3 柯西中值定理 设函数y f x 与y g x 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 且g x 在 a b 内恒不为零 则至少存在一点 a b 使得 注意 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g x x时的一种特例 三 柯西中值定理 分析 问题转化为证 构造辅助函数 证 作辅助函数 且 使 即 由罗尔定理知 至少存在一点 思考 柯西定理的下述证法对吗 两个 不一定相同 错 上面两式相比即得结论 弦的斜率 切线斜率 几何意义 注意 1 微分中值定理的条件 结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 2 微分中值定