随机数的生成方法

随机数的产生 对随机系统进行模拟 需要产生服从某种分布的一系列随机数 定义 设随机变量X 总体 服从某种随机分布 对其进行了n次独立观察 得到一组简单随机样本X1 X2 Xn 满足 1 X1 X2 Xn相互独立 2 每一个X1 X2 Xn都与总体X同分布 利用某种方法得到一串数列r1 r2 rn 一 随机数的概念 在一定的统计意义下可作为随机样本X1 X2 Xn的一组样本值 称r1 r2 rn一组具有与X相同分布的随机数 例1 设随机变量X B 1 0 5 模拟该随机变量X的一组样本值 一种简单的方法是 抛一枚均匀硬币 观察出现正反面的情况 出现正面记为数值 1 否则记为 0 得 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 可看成总体X的一系列样本值 或称产生了一系列具有两点分布的随机数 需要寻求一种简便 经济 可靠 并能在计算机上实现的产生随机数的方法 数学软件有产生常用分布随机数的功能 对特殊分布 需要数据量很大时 不太有效 二 均匀分布随机数的产生 最常用 最基础的随机数是在 0 1 区间内均匀分布的随机数 简记为RND 理解为 随机变量X U 0 1 的一组样本值的模拟值 一般采用某种数值计算方法产生随机数序列 在计算机上运算来得到 通常是利用递推公式 给定k个初始值 1 2 k 利用递推公式递推出一系列随机数 1 2 n 乘同余法 混合同余法 常用方法 具有较好的统计性质 1 乘同余法递推公式为 用M除 xn后得到的余数记为xn 1 其中 是乘因子 M为模数 modulus 第一式是以M为模数的同余式 给定初值x0 称为种子 递推计算出 r1 r2 即在 0 1 上均匀分布的随机数序列 例2取x0 1 7 M 103 有 x0 7 1 7 x1 7 r1 7 1000 0 007 x1 7 7 49 x2 49 r2 49 1000 0 049 x2 7 49 343 x3 343 r3 343 1000 0 343 x3 7 343 2401 x4 401 r4 401 1000 0 401 x4 7 401 2807 x5 807 r5 807 1000 0 807 其余类推 2 混合同余法递推公式为 用模M去除 xn C的余数 其中 C是非负整数 例3 选 97 C 3 M 1000 得递推公式 取定种子x0 71 得 97x0 3 6890 x1 890 r1 0 890 97x1 3 86333 x2 333 r2 0 333 97x2 3 32304 x3 304 r3 0 304 97x3 3 29491 x4 491 r4 0 491 97x4 3 47830 x5 630 r5 0 630 余类推 接下来的随机数是 0 113 0 964 0 511 0 570 0 293 0 424 0 131 0 710 0 873 0 684 0 351 0 050 0 853 有下述问题 1 数列 rn 是有周期的 周期L M 模数 因0 xn M 数列 xn 最多有M个相异值 从而 rn 也同样如此 2 数列 rn 本质上是实数列 给定初始值由递推公式计算出的一串确定的数列 不能简单等同于真正意义的随机数 解决方法与思路 1 选择模拟参数 2 对数列进行统计检验 从计算机中直接调用某种分布的随机数同样存在类似问题 x 1 513 M 236 L 234 2 1010 1 周期的长度取决于参数x0 入 M的选择 2 通过适当选取参数可以改善随机数的统计性质 几组供参考的参数值 x 1 7 M 1010 L 5 107 1 选择模拟参数 在计算机上编程产生随机数还应注意浮点运算对周期的影响 x 1 517 M 212 L 240 1012 2 对数列进行统计检验 无论用哪一种方法产生的随机数序列 实数列 RND 都存在问题 能否将其看着是在 0 1 上均匀分布的连续型随机变量X的独立样本值 对应的样本是否可以看成X的简单随机样本 1 X1 X2 Xn相互独立 2 Xi U 0 1 i 1 2 n 需判断是否具有较好的统计性质 独立性均匀性 进行统计检验 三 任意分布随机数的模拟 l 离散型随机数的模拟 设随机变量X的分布律为 将 P n 作为区间 0 1 的分点 P 0 P 1 P 2 P 3 0 1 若随机变量R U 0 1 有 产生X的随机数的算法步骤 1 产生一个 0 1 区间上均匀分布随机数r RND 2 若P n 1 r P n 则令X取值为xn 例3离散型随机变量X的分布律如下 设r1 r2 rN是RND随机数 令 x1 x2 xN即具有X的分布律的随机数 从理论上讲 已解决了产生具有任何离散型分布的随机数的问题 具体执行仍有困难 如X的取值是无穷多个的情况 可利用分布的自身特点 采用其他的模拟方法 例4随机变量X B n p 其分布律为 随机变量X是n次独立贝努里试验中 事件A发生的总次数 其中p P A 在计算机上模拟n重贝努里试验来产生二项分布的随机数 当p较大而计算精度要求较高时 2 统计ri i 1 2 n 中使得 重复循环得到 n1 n2 nk即所求随机数列 练习题 1 生成100个服从B 20 0 3 的随机数 2 如何模拟参数为 的泊松分布随机数 ri p的个数ni 算法步骤 1 产生n个RNDr1 r2 rn 2 连续型随机数的模拟 利用在 0 1 区间上均匀分布的随机数来模拟具有给定分布的连续型随机数 两种方法 反函数法 舍选法 1 反函数法 设连续型随机变量Y的概率函数为f x 需产生给定分布的随机数 算法 1 产生n个RND随机数r1 r2 rn 所得yi i 1 2 n即所求 基本原理 设随机变量Y的分布函数F y 是连续函数 而且随机变量X U 0 1 令Z F 1 X 则Z与Y有相同分布 证明FZ z P F 1 X z P X F z G F z F z 因G x 是随机变量X的分布函数 若Y的概率密度为f y 由Y F 1 X 可得 对给出定的 0 1 上均匀分布随机数ri 则具有给定分布的随机数yi可由方程 解出 例5模拟服从参数为 的指数分布的随机数 其概率密度函数为 若随机变量 X U 0 1 1 X U 0 1 1 ri 与ri均为RND随机数 模拟公式可改写为 问题 请考虑如何利用此公式模拟泊松流 优点 一种普通而适用的方法 缺点 当反函数不存在或难以求出时 不宜于使用 练习 生成100服从参数为10的指数分布的随机数 2 舍选法 基本思想 实质上是从许多RND随机数中选出一部分 使之成为具有给定分布的随机数 算法步骤 1 选取常数 使 f x 1 x a b 2 产生两个RND随机数r1 r2 令y a b a r1 3 若r2 f y 则令x y 设随机变量X的概率密度函数为f x 存在实数a b 使P a X b 1 否则剔除r1和r2 重返步骤 2 重复循环 产生的随机数x1 x2 xN的分布由概率函数f x 确定 舍选法算法原理分析 设P a Z b 1 Z的概率密度为f z 选常数 使 f z 1 z a b 随机变量X1 X2相互独立Xi U 0 1 令Y1 a b a X1 U a b 若X2 f Y1 则令X Y1 否则剔除X1 X2重复到 2 则随机变量X的分布与Z相同 注 可选取有限区间 a1 b1 使得 是很小的正数 例如取a1 3 b1 3 有 在区间 a1 b1 上应用舍选法 不会出现较大的系统误差 3 正态随机数的模拟 产生正态分布随机数的方法 反函数法 舍选法 坐标变换法 中心极限定理 1 坐标变换法 设r1 r2是RND随机数 令 则x1 x2是相互独立的标准正态分布的随机数 练习 用舍选取法生成100个服从以期望 20 标准差 10的正态分布的随