第十二章-群论初步习题

第十二章 群论简介习题12.1群的定义和例子设为一切不等于零的有理数所成的集合，证明对于数的乘法作成一个群【证明】）任意两个非零的有理数的乘积为非零有理数，故对数的乘法封闭；）数的乘法结合律对一切数都成立，自然对也成立；）是非零有理数，且对任何一个非零有理数a，说明是的单位元素；）对任意的非零有理数a，则是非零有理数，且，说明a的逆元是，根据群的定义，即知集合对数的乘法作成一个群是由a，b，c三个元素所作成的集合，它的乘法表是abcabcabcbcacab判别是否成群？【解】由乘法表容易看到，对规定的乘法是封闭的，a是的单位元素，a、b、c的逆元分别是a、c、b以下只要证明结合律成立即可因为(ab)cbca，a(bc)aaa，故(ab)ca(bc)；同法可知a(cb)(ac)ba，(ba)cb(ac)a，(bc)ab(ca)a，(ca)bc(ab)a，(cb)ac(ba)a，以上个式子说明结合律对规定的乘法是成立的，因此对规定的乘法作成一个群证明下列四个方阵，对于矩阵乘法作成一个群，写出的乘法表是否循环群？是否交换群？，【证明】先写出乘法表由乘法表看出，集合，对矩阵乘法封闭，结合律对任何矩阵的乘法满足，自然对中的矩阵也满足，而矩阵是单位元，元素、的逆元素分别是它们自身，故对矩阵的乘法作成群但（），（），（），（），它们都不等于，从而不是循环群由乘法表的对称性，可知群是一个交换群12.2置换群求置换的乘积：【解】把置换表为轮换的乘积：（），【解】；（）【解】证明：（）；（）设，为两个不相交的轮换，则【证明】（）,（恒等变换）同理可证，所以（）设，其中没有相同的数字则 .写出四次对称群的所有置换【解】四次对称群的全体置换（共个）用轮换的形式表示就是：（）；（），（），（），（），（），（）；（），（），（），（），（），（），（），（）；（），（），（），（），（）（）；（）（），（）（），（）（）12.3子群及其陪集求出三次对称群的所有子群【解】，它的平凡子群为单位元群及本身；其阶子群有个，即，；三阶子群只有个，即，由拉格朗日定理，不可能有其它阶数的真子群，因此以上所列就是的所有子群证明：阶为质数的群一定是循环群【证明】设群的阶为质数p，则必含有周期大于的元素，不妨设为a，其周期为m，故由a生成的循环群（a）是群的子群，其阶数为m，由拉格朗日定理知，m整除p，但p是质数，故mp，从而（a），即是循环群证明：阶为质数幂的群中包含一个阶为p的子群【证明】设群的阶为，因p为质数，故群含有非单位元素a设a的周期为n，由拉格朗日定理的推论，知n整除，即，若r，则循环群（a）是的p阶子群；若，那么循环群（）是的p阶子群证完证明：循环群的子群也是循环群【证明】设是循环群，是其子群若是单位元群，则显然，故结论成立下面讨论不是单位元群的情况若（），其中不是单位元，是的子群，但不是单位元群，那么中必含有m的幂不妨就设是中a的最小正幂，显然包含的任何乘幂若是中的任意元素，由stmr，可知也是中的元素，但m是最小正整数，而且，故r，于是，这就是说，中的任意元素都是的幂，即只含有的任意乘幂，所以是由生成的循环群，即（）这样就证明了命题证明：群的一个元素a是恒等元的充分必要条件为a适合关系【证明】必要性是显然的下面只证充分性设群的恒等元为e，由于，在关系式两端同时乘a的逆元，有而，所以，即a是群的单位元12.4共轭类与子群设，求【解】使用教材页的方法，对置换的上下两行分别施行置换，得设四阶群，的乘法表为求出的所有共轭类【解】由的乘法表看出，群是可换群，故群的每一个元素就是一个共轭类即群有四个共轭类：，证明：指数为的子群一定是正规子群【证明】设为群的子群，由于：，则群按子群的左分解为按的右分解为，其中因此，即对任意的，都有若，则，即显然成立依正规子群的定义，是正规子群证明：交换群的每一个子群都是正规子群【证明】设为交换群，为的子群，则对任意的，都有，即，所以是正规子群求四次对称群的所有共轭类【解】由的习题，知的所有置换（共个）为（）；（），（），（），（），（），（）；（），（），（），（），（），（），（），（）；（），（），（），（），（）（）；（）（），（）（），（）（）再由教材页的定理，具有相同的轮换结构的置换必共轭，知共有个共轭类，即上面的每一行的置换组成一个共轭类12.5点群证明：点群含有三个共轭类【证明】点群有一个三重轴（取为z轴）及三条二重轴（与z轴垂直），其元素为，其中,这个群的乘法表为 由教材页例给出的方法，可知：属于一个共轭类这是因为有共同的旋转轴，而变换即保持它不变属于另一个共轭类因为只要作变换或，反映的对称平面即可互相转化而是恒等变换，它单独成一类 所以两面体群共有三个共轭类求出点群的元素和它的乘法表【解】把反映加到旋转群上去，并用分别乘，即得点群它的乘法表为注意上述乘法表使用了可换性设为以原点为对称中心的反演，证明是一个群【证明】写出的乘法表则显然是一个群126同构对应和同态对应证明：三次对称群与点群两面体群同构【证明】三次对称群元素为（），（），（），（），（），（）其乘法表为而的乘法表为（上节习题）：作从对应到的对应：，比较两个群，发现它们有共同的乘法表，故与同构证明：点群与点群同构【证明】点群与点群，它们的乘法表分别为 作两个群之间的对应：则由两个群的乘法表可知，是一个同构对应，从而点群与点群同构证明：点群与下面的矩阵乘群同构，【证明】的乘法表参见教材页作矩阵乘群的乘法表，作与矩阵乘群之间的一一对应：比较它们的乘法表，知与矩阵乘群同构证明：群的子群与每一个左陪集之间存在对应【证明】假如，则下面分两种情况讨论）的情形，此时有，则的元素与自身的对应（即恒等对应）就是一个一一对应；）的情形，作到的对应，则可证是一一对应事实上，对中不同的元素，则它们的象，否则将会有，这说明不同元素的象也不同，即是一个单射；另一方面，如果ah是aH的一个元素，则按aH的定义，即知是的一个原象，这说明是从到上的对应，即是一个满射，从而是一一对应综上所述，与之间存在对应证明：存在一个从点群到点群上的同态对应【证明】点群和点群的乘法表分别是作对应，则，表示中的任意一个变换，注意到两个群都是交换群，故是从点群到点群的一个同态对应证明：除同构对应外，只有两个四阶群【证明】设四阶群，则由拉格朗日定理的推论，即知群的元素的周期只能是或或，但a，b，c的周期不能是，故它们的周期必为或） 若a，b，c之中有一个元素（比如说a）的周期为，则（）