有理数知识总结及经典例题

有理数知识总结及经典例题有理数知识总结及经典例题有理数知识总结及经典例题 本文简介：有理数一、学习目标：l理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类；l理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算；l通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算；l通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。二、重点难点：l有理数的相。有理数知识总结及经典例题有理数一、学习目标：l理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类；l理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算；l通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算；l通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。二、重点难点：l有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算；l有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运算。三、学习策略：l先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达到内容系统化和应用的灵活性。四、知识框架：5、知识梳理1、知识点一：有理数的概念（一）有理数：（1）整数与分数统称_按定义分类：按符号分类：注：正数和零统称为_；负数和零统称为_正整数和零统称为_；负整数和零统称为_.（2）认识正数与负数：正数：像1，2008等大于_的数，叫做_.负数：像-1，-，-，-2008等在正数前面加上“”（读作负）号的数，叫_注意：_都大于零，_都小于零.“0”即不是_，也不是_.（3）用正数、负数表示相反意义的量：如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其_意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其_意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则3米表示向_走3米；若6米表示上升6米，则-2米表示_；表示零上，-则表示_.（4）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数、是整数表示没有3个苹果用3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数（二）数轴（1）概念：规定了_、_和_的直线注：_、_、_称为数轴的三要素，三者缺一不可.单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的，后者指所取度量单位的，即是一条人为规定的代表“1的线段，这条线段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.（2）数轴的画法及常见错误分析画一条水平的_；在这条直线上适当位置取一实心点作为_：确定向右的方向为_，用_表示；选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的要一致.数轴画法的常见错误举例：错例原因不统一没有（3）有理数与数轴的关系一切有理数都可以用数轴上的表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数，正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都是有理数，如.（三）相反数（1）相反数：只有的两个数互称为相反数特别地，0的相反数是；若，则，反之亦然.（2）相反数的性质：代数意义：只有的两个数叫做互为相反数，特别地，O的相反数是0相反数必须出现，不能单独存在例如5和互为相反数，或者说5是的相反数，5是的相反数，而单独的一个数不能说是另外，定义中的“只有”指除以外，两个数，注意应与“只要符号不同”区分开例如3与3互为相反数，而3与2虽然不同，但它们不是相反数几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于两侧，并且到原点的_相等这两点是关于_对称的求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可一般地，数a的相反数是；这里以a表示任意一个数，可以为、负数，也可以是任意一个代数式注意a不一定是注意：当a0时，a0(正数的相反数是数)；当a=0时，aO(0的相反数是)；当a0时，aO(负数的相反数是)互为相反数的两个数的和为，即若a与b互为，则ab=0，反之，若ab=O，则a与b互为多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部；一个正数前面有个“”号，也可以把“”号全部去掉；一个正数前面有个“”号，则化简后只保留一个“”号，即“负正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的，“负正”是指化简的最后结果的.（四）绝对值（1）绝对值的代数意义及几何意义绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是.绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的与_的距离.数a的绝对值记作.注意：取绝对值也是一种，这个符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质绝对值符号.绝对值具有性，取绝对值的结果总是.任何一个有理数都是由部分组成：和它的，如：5，符号是，绝对值是.（2）字母a的绝对值的分类或或（3）利用绝对值比较两个负有理数的大小规则：两个负数，绝对值大的反而.步骤：计算两个负数的.比较这两个的大小.写出正确的判断结果.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为.例如：若2、知识点二：有理数运算（一）有理数比较大小（1）数轴上的数，右边的数总左边的数（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；（3）两个负数，绝对值大的反而；（4）两数比较大小，可按符号情况分类：（二）有理数的加减法（1）有理数加法法则同号两数相加，取相同的，并把绝对值.绝对值不相等的异号两数相加，取的加数的符号，并用较大的减去较小的.一个数同0相加，仍得.（2）有理数加法的运算步骤法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：确定和的；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的.（3）有理数加法的运算律两个加数相加，交换加数的位置，不变.即ab=ba(加法律)三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，不变.即(ab)c=a(bc)（加法律）（4）有理数加法的运算技巧分数与小数均有时，应先化为形式.带分数可分为与两部分参与运算.多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合得若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合.若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.相同的数可以先结合在一起.（5）有理数减法法则减去一个数，等于，即a-b=a()（6）有理数减法的运算步骤把减号变为加号（改变运算符号）把减数变为它的相反数（改变性质符号）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.（7）有理数加减混合运算的步骤把算式中的减法转化为加法；省略加号与括号；利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有的运算，即变为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：（3）（-）(-9)(5)(-11)=5-11，它的含义是正3，负，负9，正5，负11的和。（三）有理数的乘除法（1）有理数乘法法则两数相乘，同号得，异号得，并把相乘.任何数同相乘，都得0.（2）有理数乘法的运算律两个数相乘，交换因数的位置，积相等.即ab=（乘法结合律）三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即abc=（乘法结合律）一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.即a(bc)=（乘法分配律）（3）有理数乘法法则的推广几个不等于0的数相乘，积的符号由的个数决定，当的个数是偶数时，积为；的个数是奇数时，积为.几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为.在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.（4）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的。即ab=a(b0)两数相除，同号得，异号得，并把绝对值，除以任何一个不等于0的数，都得0.（5）倒数及有理数除法乘积为的两个数互为倒数。倒数是出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定；没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母即可（正整数可以看作分母为1的分数）。注意：互为倒数，则；互为负倒数，则。反之亦然.有理数除法的运算步骤：首先确定商的，然后再求出商的绝对值.（四）有理数的乘方（1）概念：求个相同因数的积的运算，叫做，的结果叫做，在中，叫做，叫做.（2）含义：中，为底数，为指数，即表示的个数，表示有相乘.例如：表示33333，(-3)表示（-3）（-3）（-3）（-3）（-3），特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.如(-2)表示相乘，而-2则表示7个2相乘的积的。当n为奇数时，(-a)=；而当n为偶数时，(-a)=.注意：负数的奇次幂是，负数的幂是正数。正数的任何次幂都是，0的任何次幂都是，任何不为0的数的0次幂都是.（3）“奇负偶正”口诀的应用口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数，例如：=，=.有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（3）（2）（6）=，而（3）（2）6=.有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为；指数为偶数，则幂为，例如：（3）=，（3）=.（4）有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算级运算，然后级，最后级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，应先算_括号里的，再算括号里的，最后算括号里的.以上运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）”.（五）近似数、有效数字和科学记数法（1）科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是整数），此种记数法叫做科学记数法.例如：200000=就是科学记数法表示数的形式.又如：10200000=也是.（2）有效数字：从一个数的左边第一个数字起，到止，所有数字都是这个数的。如：有个有效数字：_;有个有效数字：.注意：万=，亿=6、经典例题1、类型一：正数与负数的意义例1一个物体沿着东西两个相反方向运动，如果把向东的方向规定为正，那么走6km，走-，走0km的意义各是什么？思路点拨：正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向东运动，则负数表示运动.0表示原地不动，0表示正数与的分界，在实际问题中也有确定的意义.解析：总结升华：举一反三：【变式1】博然的父母6月份共收入4800元，可以将这笔收入记作4800元；由于天气炎热，博然家用其中的1600元钱买了一台空调，又该怎样记录这笔支出呢?解析：【变式2】某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：10、5、0、8、3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？解析：2、类型二：有理数的分类例2把下列各数填入相应的括号内：6，-1，-，0，97，.整数集合：；非负集合：；分数集合：；负数集合：.思路点拨：根据有理数的分类标准，将所给数进行分类填整数集合时，不能漏掉“”；填集合时，最后要加“”，“非负数”不要仅理解为正数，既不是正数，也不是负数，属于“非负”范围内的数；负数包括和.解析：总结升华：举一反三：【变式】（1）最小的正整数是：最大的负整数是；最小的整数是；最小的正数是；最大的负数是；最小的有理数；绝对值最小的有理数是。（2）一个数的相反数等于它本身，这个数是；一个数的绝对值等于它本身，这个数是；一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是；一个数的倒数等于它本身，这个数是；一个数的平方等于它本身，这个数是；一个数的平方等于它的绝对值，这个数是；一个数的平方等于它的相反数，这个数是；一个数的立方等于它本身，这个数是。解析：3、类型三：多重符号的化简例3、化简下列各数：思路点拨：多重符号的化简是由“”的个数来定，若“-”个数是个时，化简结果为正；若“-”个数是奇数个时，化简结果为。解析：总结升华：举一反三：【变式1】【变式2】说出下列各式的意义，然后化简：(1)-(2)-；(3)-(-6)（共n个负号）4、类型四：有理数的大小比较例4在数轴上画出表示下列各数的点，并用“思路点拨：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用“解析：总结升华：举一反三：【变式】利用绝对值比较下列有理数的大小.（1）-，-60（2）思路点拨：比较负数的大小，先求出各数的，关键是比较绝对值的大小，绝对值大的反而，比较分数大小，一般要化成同的分数来比较.解析5、类型五：绝对值的概念例5若|2b5|=0,计算2a-b的值.思路点拨：从表面看条件比较复杂，但根据绝对值的非负性，可求出a,b值。解析：总结升华：举一反三：【变式1】若，化简：解析：【变式2】代数式的最小值为。解析：【变式3】a，b在数轴上的位置如图（1）化简：。（2）比较大小：；。解析：5、类型六：相反数，倒数的概念例6已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，且，那么的值为。思路点拨：根据相反数与倒数的意义可得：互为相反数的两数的和为，互为倒数的两数之积为.解析：总结升华：举一反三：【变式】已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，ab，a的形式，又可表示为0，b的形式，且x的绝对值为2，求的值解析：7、类型七：有理数的混合运算例7、计算思路点拨：本题有五种运算，因为有括号，应先算括号里面的，括号里面显然又要先算_，接着算_法，再算_法注意除法运算，要把除法转化为_解：总结升华：举一反三：【变式】计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解析：8、类型八：科