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矩阵论试题一、(10分)设函数矩阵 求：和()。解：= ()=二、(15分)在中线性变换将基 ，变为基 ，(1)求在基下的矩阵表示A；(2)求向量及在基下的坐标；(3)求向量在基下的坐标。解：(1)不难求得： 因此在下矩阵表示为 (2)设，即 解之得：所以在下坐标为。在下坐标可得(3)在基下坐标为 在基下坐标为 三、(20分)设，求。解：容易算得 由于是2次多项式，且，故是1次多项式，设 由于，且，故 于是解得：从而： 四、(15分)求矩阵的奇异值分解。解：的特征值是对应的特征向量依次为 ，于是可得 ， 计算： 构造 ，则 则A的奇异值分解为： 五、(15分)求矩阵 的满秩分解：解：可求得： ，于是有 或 六、(10分)求矩阵的Jordan标准形。解：求的初等因子组，由于 因此，所求的初等因子组为，于是有AJ=七、(10分)设V是数域F上的线性空间，是V的子空间，则也是V的子空间。证明：由，知，即说非空，对于任意，则。因为是子空间，所以，故。对任意，有，且，因此知，故知为V的子空间。八、(5分)设，求证。证明：矩阵A的特征多项式为令 由Hamilton-Cayley定理知因此6
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